Aufgaben: Laplace-Experiment

Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses und gib die günstigen und die möglichen Fälle an:

1. a) Beim Münzwurf Kopf werfen.
2. b) Beim Würfeln eine $3$ würfeln.
3. c) Beim Münzwurf Zahl werfen.

Wir werfen einen Würfel mit $6$ Flächen. Wir berechnen Schritt für Schritt die Wahrscheinlichkeit für „eine Zahl größer als $4$ würfeln“:

1. a) Wie viele mögliche Ergebnisse hat das Zufallsexperiment? Schreibe sie auf.
2. b) Welche Ergebnisse sind günstig für das Ereignis „größer als $4$“?
3. c) Wende die Laplace-Regel an und schreibe die Wahrscheinlichkeit als Bruch.

In einem Beutel liegen $4$ rote und $6$ blaue Kugeln, alle gleich. Wir ziehen zufällig eine Kugel.

1. a) Wie viele Kugeln sind insgesamt im Beutel?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?
3. c) Und eine blaue Kugel?
4. d) Überprüfe, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten die Summe $1$ ergeben.

In einer Kiste liegen $10$ Sammelbilder: $4$ von Spielern und $6$ von Wappen. Wenn wir zufällig ein Bild ziehen:

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Spieler ist?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Wappen ist?
3. c) Welche Art von Bild wird eher gezogen? Warum?

In einer Klasse 7 wird eine Verlosung mit einer Urne veranstaltet, die $5$ grüne, $7$ blaue und $8$ weiße Lose enthält, alle gleich groß und mit gleicher Beschaffenheit.

Hugo möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, zufällig ein grünes Los zu ziehen, und schreibt an die Tafel:

$$P(\text{grün}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Als die Lehrerin nachfragt, begründet Hugo seine Rechnung so: „Es gibt $5$ günstige Fälle, nämlich die grünen Lose, und $15$ mögliche Fälle, nämlich die $7$ blauen und die $8$ weißen, die nicht grün sind.“

1. a) Erkläre, welchen Fehler Hugo bei der Bestimmung der „möglichen Fälle“ macht und warum seine Überlegung die Laplace-Regel nicht beachtet.
2. b) Korrigiere seine Lösung: Bestimme die richtige Anzahl möglicher Fälle und berechne die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, ein grünes Los zu ziehen. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
3. c) Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit fragen, aus derselben Urne zufällig ein rotes Los zu ziehen: Welchen Zahlenwert hat sie? Wie nennt man diese Art von Ereignis?

Zum Welttag des Buches wurden in der Schulbibliothek $40$ gleiche Lesezeichen, nummeriert von $1$ bis $40$, in einen Beutel gelegt. Wer zufällig ein Lesezeichen mit einer Zahl zieht, die ein Vielfaches von $6$ ist, gewinnt ein Jugendbuch.

1. a) Schätze vor jeder genauen Rechnung: Glaubst du, dass die Wahrscheinlichkeit, das Buch zu gewinnen, größer, kleiner oder gleich $0,2$ (also $20\%$) ist? Begründe deine Vermutung, indem du überlegst, bei jeder wievielten ganzen Zahl ein Vielfaches von $6$ auftritt.
2. b) Schreibe die vollständige Liste aller günstigen Fälle auf (die Vielfachen von $6$ zwischen $1$ und $40$) und berechne mit der Laplace-Regel die genaue Wahrscheinlichkeit, das Buch zu gewinnen. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl, auf Hundertstel gerundet, an.
3. c) Vergleiche dein genaues Ergebnis mit der Schätzung aus Teilaufgabe a). War deine Vorhersage treffend? Erkläre, warum die tatsächliche Wahrscheinlichkeit nicht genau mit der Division von $1$ durch $6$ übereinstimmt, wenn man nur bis zur Zahl $40$ arbeitet.

Aus dem abgebildeten Beutel, der $10$ Kugeln in drei Farben enthält, wird zufällig eine Kugel gezogen.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine rote, eine blaue und eine grüne Kugel zu ziehen.
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht rot ist?
3. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen? Wie nennt man diese Art von Ereignis?

Aus der abgebildeten Urne, die $10$ von $1$ bis $10$ nummerierte Chips enthält, wird zufällig ein Chip gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse:

1. a) Eine gerade Zahl ziehen.
2. b) Ein Vielfaches von $3$ ziehen.
3. c) Eine Zahl ziehen, die größer als $7$ ist.
4. d) Eine einstellige Zahl ziehen.

Das abgebildete Glücksrad hat $8$ gleich große Sektoren, die von $1$ bis $8$ nummeriert sind. Es wird einmal gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse:

1. a) Die Zahl $5$ erscheint.
2. b) Eine gerade Zahl erscheint.
3. c) Eine Zahl erscheint, die größer als $5$ ist.
4. d) Die $8$ erscheint nicht.

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten ($10$ je Farbe: Münzen, Kelche, Schwerter und Stäbe) wird zufällig eine Karte gezogen. Denke daran: In jeder Farbe gibt es $7$ Karten, die von $1$ bis $7$ nummeriert sind, und $3$ Bildkarten (Bube, Reiter und König).

Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse und gib den vollständig gekürzten Bruch an:

1. a) Eine Münzen-Karte ziehen.
2. b) Ein Ass ziehen.
3. c) Eine Bildkarte ziehen.
4. d) Eine Karte ziehen, die kein Kelch ist.

Für einen Mathe-Spieleworkshop hast du eine leere Kiste und dem Tastsinn nach gleiche Chips in drei Farben: grün, rot und schwarz. Insgesamt musst du genau $24$ Chips in die Kiste legen. Dein Ziel ist es, den Inhalt der Kiste so zu gestalten, dass diese beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

1. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen grünen Chip zu ziehen, muss genau $\frac{1}{3}$ betragen.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig gezogene Chip nicht schwarz ist, muss $\frac{3}{4}$ betragen.

1. a) Leite ab, wie viele grüne, rote und schwarze Chips du in die Kiste legen musst, um beide Bedingungen zu erfüllen. Erkläre Schritt für Schritt, wie du jede Anzahl erhältst.
2. b) Berechne bei der fertig bestückten Kiste die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
3. c) Wie viele schwarze Chips müsstest du zur Kiste hinzufügen, ohne einen der ursprünglichen $24$ Chips zu entnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Chip zu ziehen, genau $\frac{1}{2}$ beträgt? Begründe deine Antwort, indem du den Zusammenhang zwischen den neuen günstigen Fällen und den neuen möglichen Fällen aufstellst.

Laut den historischen Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes (DWD) für einen Ort in Norddeutschland im November (der insgesamt $30$ Tage hat) verteilten sich die Tage wie folgt:

• Es gab $12$ Tage mit Regen.

• Es gab $10$ bewölkte Tage ohne Niederschlag.

• Die übrigen Tage des Monats waren völlig klar.

Ein Outdoor-Reiseveranstalter muss zufällig ein Datum dieses Monats für eine Probewanderung auswählen.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig gewählte Tag ein klarer Tag war. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und in Prozent, auf Zehntel gerundet, an.
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am gewählten Datum nicht geregnet hat? Zeige, wie man diesen Wert auf zwei verschiedenen Wegen erhält: durch Addieren der direkten günstigen Fälle und über das Gegenereignis.
3. c) Der Koordinator des Unternehmens behauptet: „Wenn wir zufällig einen Tag im November auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet, mehr als $65\%$.“ Entscheide anhand deiner Rechnungen begründet, ob der Koordinator recht hat oder sich irrt.

In einem Beutel befinden sich $12$ Kugeln, rote und blaue. Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{1}{3}$ beträgt.

1. a) Wie viele rote Kugeln sind im Beutel? Und wie viele blaue?
2. b) Wie viele blaue Kugeln müsste man in den Beutel legen, damit die Wahrscheinlichkeit, eine rote zu ziehen, $\frac{1}{4}$ beträgt?
3. c) Was ist im Ausgangsfall, ohne Kugeln hinzuzufügen oder wegzunehmen, wahrscheinlicher: eine rote Kugel zu ziehen oder keine? Berechne beide Wahrscheinlichkeiten.

Auf dem Jahrmarkt gibt es ein Glücksrad mit $4$ Farben, aber seine Sektoren sind nicht gleich groß, wie man in der Abbildung sieht.

Ein Schüler behauptet: „Weil es $4$ Farben gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe $\frac{1}{4}$.“

1. a) Erkläre, warum seine Überlegung falsch ist. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit man die Laplace-Regel anwenden kann?
2. b) Schätze anhand der Sektoren die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe und gib sie als Bruch an.
3. c) Überprüfe, dass die vier Wahrscheinlichkeiten, die du angegeben hast, zusammen $1$ ergeben.

Wir haben zwei Beutel. In Beutel A sind $3$ rote und $5$ blaue Kugeln; in Beutel B sind $5$ rote und $7$ blaue. Wir wollen eine rote Kugel ziehen.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, in jedem Beutel eine rote Kugel zu ziehen.
2. b) In welchem Beutel ist es wahrscheinlicher, eine rote zu ziehen? Genügt es, darauf zu achten, welcher Beutel mehr rote Kugeln hat? Begründe deine Antwort.
3. c) Wie viele rote Kugeln müsste man in Beutel A legen (ohne eine herauszunehmen), damit die Wahrscheinlichkeit, eine rote zu ziehen, $\frac{1}{2}$ betrüge?

Ein Würfel mit $12$ Flächen (Dodekaeder) hat Flächen, die von $1$ bis $12$ nummeriert sind. Wir werfen ihn einmal.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, ein Vielfaches von $4$ zu würfeln.
2. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu würfeln, die größer als $8$ ist.
3. c) Gib die beiden Wahrscheinlichkeiten als vollständig gekürzten Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an.
4. d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, kein Vielfaches von $4$ zu würfeln? Wie groß ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von „Vielfaches von $4$ würfeln“ und „kein Vielfaches würfeln“?

Zwei ideale $1$-Euro-Münzen werden geworfen. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$: „mindestens einmal Kopf“ berechnen. Drei Schüler der Klasse 7 schlagen verschiedene Lösungswege vor:

• Albas Methode: „Es gibt drei mögliche Ergebnisse nach der Anzahl der Köpfe: $0$ Köpfe, $1$ Kopf oder $2$ Köpfe. Da wir mindestens einen Kopf suchen, gibt es zwei günstige Fälle ($1$ Kopf oder $2$ Köpfe). Nach der Laplace-Regel gilt $P(A) = \frac{2}{3}$.“

• Brunos Methode: „Ich schreibe die Ergebnismenge auf und unterscheide dabei jede Münze: $\{KK, KZ, ZK, ZZ\}$. Es gibt $4$ mögliche Fälle, und alle sind gleich wahrscheinlich. Die günstigen Fälle mit mindestens einem Kopf sind $\{KK, KZ, ZK\}$, das sind $3$. Nach der Laplace-Regel gilt $P(A) = \frac{3}{4}$.“

• Claras Methode: „Ich berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: Das Gegenteil von ‚mindestens einmal Kopf‘ ist ‚keinmal Kopf‘ (also zweimal Zahl, $ZZ$). Da es nur $1$ Fall von $4$ möglichen gibt, gilt $P(\text{keine Kopfseite}) = \frac{1}{4}$. Dann ziehe ich von der Gewissheit ab: $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.“

1. a) Analysiere Albas Vorschlag: Erkläre genau, warum ihre Anwendung der Laplace-Regel falsch ist und welche grundlegende Bedingung an die möglichen Fälle sie missachtet hat.
2. b) Vergleiche die Methoden von Bruno und Clara. Wenn statt $2$ Münzen gleichzeitig $6$ Münzen geworfen würden: Welche der beiden Methoden wäre zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu erhalten, viel effizienter? Begründe deine Antwort und erkläre, welche Schwierigkeit die andere Methode hätte.
3. c) Verwende die günstigere der beiden Methoden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mindestens einmal Kopf zu erhalten, wenn man $3$ ideale Münzen wirft.

Anhand einer Stichprobe des Statistischen Bundesamts (Destatis) zu Nachhaltigkeit und Recycling werden $1200$ Haushalte einer deutschen Stadt untersucht, um die Mülltrennung zu erforschen. Die Daten zeigen Folgendes:

• $720$ Haushalte trennen regelmäßig Plastikverpackungen (gelbe Tonne).

• $600$ Haushalte trennen Papier und Pappe (blaue Tonne).

• $240$ Haushalte trennen keine dieser beiden Abfallarten.

Die Gemeinde wählt aus dieser Stichprobe zufällig einen Haushalt aus, um ihm eine Umweltauszeichnung zu überreichen.

1. a) Ordne die Informationen in einer Vierfeldertafel (mit den Möglichkeiten „trennt Plastik / trennt kein Plastik“ gegenüber „trennt Papier / trennt kein Papier“) und leite ab, wie viele Haushalte beide Materialien gleichzeitig trennen.
2. b) Wenn zufällig ein Haushalt ausgewählt wird, berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse und gib jedes Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und in Prozent an:

1. Der Haushalt trennt sowohl Plastik als auch Papier.

2. Der Haushalt trennt mindestens eine der beiden Abfallarten.

3. Der Haushalt trennt nur Papier und Pappe, aber kein Plastik.

1. c) Ein Techniker der Gemeinde behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Haushalt auszuwählen, der nur Plastik recycelt, ist genau doppelt so groß wie die, einen Haushalt auszuwählen, der keines der beiden Materialien recycelt.“ Überprüfe rechnerisch, ob die Aussage des Technikers wahr oder falsch ist, und begründe deine Schlussfolgerung.