Aufgaben: Laplace-Experimente abgrenzen

Entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt, und begründe kurz:

1. a) Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels

1. b) Werfen einer Reißzwecke (Lage: Spitze oben oder seitlich)

1. c) Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit $5$ gleichen roten und $5$ gleichen blauen Kugeln, Ergebnis: Farbe

Ein Glücksrad hat $8$ gleich große Sektoren, nummeriert von $1$ bis $8$.

1. a) Gib die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl an.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „gerade Zahl“.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „Zahl größer als $5$“.

Eine Urne enthält $3$ rote, $2$ blaue und $5$ grüne Kugeln. Eine Kugel wird gezogen.

1. a) Gib die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe an.

1. b) Ist das Experiment mit den Ergebnissen „rot“, „blau“, „grün“ ein Laplace-Experiment? Begründe.

Zwei faire Würfel werden geworfen, es wird die Augensumme betrachtet.

1. a) Begründe, dass die Augensummen $2$ bis $12$ nicht alle gleich wahrscheinlich sind.

1. b) Gib die Anzahl der Möglichkeiten für die Summen $2$, $7$ und $12$ an.

1. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe $7$?

Ein Glücksrad hat drei Sektoren: Rot (Mittelpunktswinkel $180°$), Blau ($120°$) und Gelb ($60°$).

1. a) Begründe, dass dies kein Laplace-Experiment mit den drei Farben als Ergebnissen ist.

1. b) Gib die Wahrscheinlichkeiten der drei Farben an.

1. c) Wie könntest du das Glücksrad in gleich große Sektoren einteilen, sodass ein Laplace-Experiment entsteht? Gib die Anzahl der Sektoren und ihre Verteilung auf die Farben an.

In einer Klasse aus Siegen mit $30$ Kindern wird eine Person zufällig ausgelost. $18$ Kinder sind Mädchen, $12$ sind Jungen.

1. a) Ist das Experiment mit den Ergebnissen „Mädchen“ und „Junge“ ein Laplace-Experiment? Begründe.

1. b) Ist das Experiment mit den Ergebnissen „Kind Nr. 1“ bis „Kind Nr. 30“ ein Laplace-Experiment? Begründe.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ausgelost wird.

Anna und Ben spielen: Zwei faire Münzen werden geworfen. Anna sagt: „Es gibt drei Ergebnisse: zweimal Wappen, zweimal Zahl, einmal jeweils. Also ist jedes mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$.“

1. a) Beschreibe den Fehler in Annas Überlegung.

1. b) Gib einen Ergebnisraum an, in dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, und bestimme die richtigen Wahrscheinlichkeiten.

1. c) Ben wirft die beiden Münzen $12$-mal. Wie oft erwartest du „einmal Wappen, einmal Zahl“?

Eine Streichholzschachtel wird geworfen und kann auf drei Arten landen: auf der breiten Seite, auf der schmalen Seite oder auf der Stirnseite. Bei $200$ Würfen ergibt sich: breit $132$-mal, schmal $58$-mal, Stirn $10$-mal.

1. a) Berechne die relativen Häufigkeiten.

1. b) Begründe, warum hier kein Laplace-Ansatz möglich ist, und gib eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit an, dass die Schachtel nicht auf der breiten Seite landet.

1. c) Nach $2.000$ Würfen schwankt die relative Häufigkeit für „breit“ nur noch wenig um $0,65$. Erkläre, was das über die Wahrscheinlichkeit aussagt.

Du sollst das Werfen von zwei fairen Würfeln mit einer Simulation ohne Würfel nachbilden. Zur Verfügung stehen eine Urne mit Zetteln und ein Glücksrad mit $6$ gleichen Sektoren.

1. a) Beschreibe eine Simulation für „Augensumme mindestens $10$“ mit dem Glücksrad. Gib an, was ein Durchgang ist.

1. b) Bei $60$ Durchgängen trat das Ereignis $9$-mal ein. Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche sie mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

1. c) Begründe, warum man eine Simulation mit nur $60$ Durchgängen nicht für eine genaue Bestimmung der Wahrscheinlichkeit verwenden sollte, und nenne eine Maßnahme zur Verbesserung.