Aufgaben: Antiproportionale Funktionen

Eine Gruppe von Freunden möchte einen Padelplatz mieten, der insgesamt $20$ € kostet. Der Betrag, den jeder zahlen muss, hängt von der Zahl der Spielenden ab. Betrachte die folgende Tabelle, die die Anzahl der Freunde ($x$) und das Geld, das jeder zahlt ($y$), zuordnet:

Berechne für jede Spalte das Produkt der beiden Größen ($x \cdot y$) und prüfe, dass es immer gleich ist. Wie nennt man diesen konstanten Wert bei antiproportionalen Funktionen?

Gib an, welcher der folgenden Terme zu einer antiproportionalen Funktion gehört, und erkläre, warum:

1. a) $y = 4x$
2. b) $y = \frac{4}{x}$
3. c) $y = x + 4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$

Vervollständige die folgende Wertetabelle, wenn die antiproportionale Funktion die Konstante $k = 12$ hat. Die Funktionsgleichung lautet $y = \frac{12}{x}$.

Ein Paketdienst muss $60$ Pakete ausliefern. Stellt er mehr Zusteller ein, muss jeder weniger Pakete tragen. Der Zusammenhang wird durch die Funktion $y = \frac{60}{x}$ beschrieben, wobei $x$ die Anzahl der Zusteller und $y$ die Anzahl der Pakete pro Zusteller ist.

Wenn das Unternehmen $6$ Zusteller einstellt, wie viele Pakete trägt dann jeder?

Betrachte den folgenden Graphen. Entscheide ohne Rechnung, ob er eine lineare Funktion (proportionale Zuordnung) oder eine antiproportionale Funktion (Hyperbel) darstellt. Begründe deine Antwort anhand der Form der Linie.

Bestimme die Konstante $k$ einer antiproportionalen Funktion, deren Graph durch den Punkt $P(3|10)$ verläuft. Schreibe anschließend, wenn du $k$ hast, die Funktionsgleichung auf.

(Tipp: Denke daran, dass bei dieser Art von Funktionen $k = x \cdot y$ gilt).

Wir wollen Rechtecke konstruieren, die alle denselben Flächeninhalt haben: $24$ $cm^2$. Der Zusammenhang zwischen Grundseite ($x$) und Höhe ($y$) dieser Rechtecke folgt einer antiproportionalen Funktion. In der Abbildung siehst du den Graphen dieses Zusammenhangs und als Beispiel ein Rechteck mit der Grundseite $6$ $cm$ und der Höhe $4$ $cm$.

1. a) Gib die Gleichung an, die die Höhe in Abhängigkeit von der Grundseite beschreibt.
2. b) Wenn die Grundseite $8$ $cm$ misst, wie groß ist dann die Höhe?

Prüfe, ob der Punkt $A(2|9)$ zur antiproportionalen Funktion $y = \frac{18}{x}$ gehört. Erkläre, welche Rechnung du durchgeführt hast, um das herauszufinden.

Eine Gruppe von Freunden möchte am Wochenende einen Padelplatz mieten. Der Gesamtpreis der Buchung ist fest, die Kosten pro Person hängen also davon ab, wie viele am Ende mitmachen. Betrachte die folgende Tabelle:

1. a) Prüfe begründet, ob es sich um eine antiproportionale Funktion handelt.
2. b) Bestimme die Konstante $k$ der antiproportionalen Zuordnung und erkläre, was sie in diesem Zusammenhang bedeutet.
3. c) Gib die Funktionsgleichung an, die beide Größen verbindet.

Gegeben ist der folgende Graph, der eine antiproportionale Funktion $y = \dfrac{k}{x}$ darstellt:

1. a) Berechne mithilfe des hervorgehobenen Punktes $P(2|12)$ die Konstante $k$ der Funktion.

1. b) Gib den Funktionsterm an.

1. c) Welchen Wert hätte $y$, wenn $x = 6$? Und welchen Wert hätte $x$, wenn $y = 3$?

Ein E-Scooter muss eine feste Strecke von $12$ km zurücklegen, um von der Schule zur städtischen Sporthalle zu gelangen. Die benötigte Zeit ($y$, in Stunden) hängt von der konstanten Geschwindigkeit ab, mit der er fährt ($x$, in km/h).

1. a) Vervollständige die Wertetabelle, die Geschwindigkeit und Zeit verbindet:

1. b) Gib die Funktionsgleichung an.
2. c) Wenn die Stadt die Geschwindigkeit der E-Scooter auf höchstens $25$ km/h begrenzt, wie lange (in Minuten) dauert die Fahrt mindestens?

Wir wollen auf dem Schulhof ein rechteckiges Beet anlegen, das immer einen festen Flächeninhalt von $24\ \text{m}^2$ hat.

1. a) Gib die Funktion an, die die Länge der Höhe ($y$) in Abhängigkeit von der Länge der Grundseite ($x$) beschreibt.

1. b) Gib an, ob die Funktion monoton steigend oder fallend ist, und begründe deine Antwort mithilfe des Sachzusammenhangs.

1. c) Zeichne den Graphen der Funktion für Werte der Grundseite zwischen $1$ und $12$ Metern. Eine Wertetabelle kann dir helfen.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Gib an, welche der folgenden Situationen sich durch eine antiproportionale Funktion modellieren lässt, und schreibe in diesem Fall ihre Gleichung auf:

1. Die Anzahl der Konzertkarten, die wir mit $100$ $€$ kaufen können, je nach Preis einer Karte.

2. Die zurückgelegte Strecke eines Autos, das mit konstant $90$ km/h fährt, in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit.

3. Die Anzahl der Arbeiter, die für den Bau einer Mauer nötig sind, je nachdem, wie viele Tage sie bis zur Fertigstellung brauchen (bei gleichem Arbeitstempo).

4. Der Preis einer Tüte Orangen, wenn das Kilo $1,50$ $€$ kostet.

Gegeben ist die antiproportionale Funktion $y = \frac{18}{x}$:

1. a) Gib die Definitionsmenge an (die Funktion ist rein mathematisch, ohne realen Sachzusammenhang).
2. b) Berechne die Funktionswerte für $x = -3$, $x = 1$, $x = 2$ und $x = 9$.
3. c) Bestimme die Punkte des Graphen, in denen der y-Wert gleich dem x-Wert ist ($y = x$).

Ein Tankwagen mit $15.000$ Litern Fassungsvermögen wird durch mehrere identische Pumpen geleert. Werden $2$ Pumpen eingesetzt, ist der Tank in $6$ Stunden leer.

1. a) Wie lange würde es dauern, wenn $4$ Pumpen eingesetzt würden?
2. b) Und wie viele Pumpen bräuchte man, um ihn in nur $2$ Stunden zu leeren?
3. c) Bestimme die unabhängige und die abhängige Variable und gib die Funktionsgleichung an, die sie verbindet.

Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern der Klasse 8 hat bei einem Robotik-Wettbewerb einen gemeinsamen Preis von $600$ $€$ gewonnen. Der Preis wird zu gleichen Teilen unter allen Teammitgliedern aufgeteilt.

1. a) Erstelle eine Tabelle, die die Anzahl der Schülerinnen und Schüler im Team ($x$) und den Geldbetrag, den jeder erhält ($y$), zuordnet.

1. b) Stelle die Funktion grafisch dar. Ist sie stetig oder nicht stetig? Begründe deine Antwort.

1. c) Wenn jede Schülerin und jeder Schüler mindestens $75$ $€$ erhalten möchte, wie viele Personen dürfen höchstens im Team sein?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Spieleserver hat eine feste Datenübertragungskapazität, um ein Update von $1,2$ GB ($1228,8$ MB) herunterzuladen. Die Downloadgeschwindigkeit $v$ (in MB/s) und die benötigte Zeit $t$ (in Sekunden) sind antiproportionale Größen.

1. a) Schreibe die Funktion auf, die die Zeit $t$ in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $v$ angibt.
2. b) Wenn ein Nutzer eine auf $4$ MB/s begrenzte Verbindung hat, wie viele Minuten braucht er für den Download des Updates?
3. c) Wenn der Download nicht länger als $2$ Minuten dauern soll, wie groß muss die Geschwindigkeit unserer Verbindung mindestens sein?

In einem Tierreservat wurde eine Futterlieferung gekauft, die genau $24$ Tage reicht, um die $80$ Wölfe im Gehege zu füttern. Aufgrund einer Rettungsaktion ändert sich die Anzahl der Wölfe.

1. a) Bestimme die Konstante $k$ der Antiproportionalität und erkläre, was sie in diesem Zusammenhang darstellt.
2. b) Gib die Funktion an, die die Anzahl der Tage $d$, die das Futter reicht, in Abhängigkeit von der Anzahl der Wölfe $n$ angibt.
3. c) Wenn das Futter nach der Rettungsaktion nur noch $15$ Tage reicht, wie viele neue Wölfe sind ins Reservat gekommen?

Betrachte den folgenden Graphen, der eine antiproportionale Funktion der Form $y = \frac{k}{x}$ darstellt. Bearbeite anhand der Informationen aus dem Graphen:

1. a) Bestimme den Wert der Konstanten $k$, wenn du weißt, dass die Kurve genau durch den orange markierten Punkt verläuft.
2. b) Berechne den Wert der y-Koordinate $y$, wenn die x-Koordinate $x = -2,5$ ist.
3. c) Gehört der Punkt $P(12|-0,5)$ zur Funktion? Begründe deine Antwort.

Eine Gruppe von Freunden möchte für das lange Wochenende im Dezember ein Ferienhaus mieten, das insgesamt $720$ € kostet. Der Preis pro Person hängt von der Anzahl der Freunde ab, die letztlich mitfahren.

1. a) Schreibe die Gleichung der Funktion auf.
2. b) Wenn es zunächst $6$ Freunde waren, sich aber schließlich $3$ Personen mehr anmelden, wie viel Geld spart dann jeder der $6$ ursprünglichen Freunde?
3. c) Wenn das maximale Budget jedes Freundes $50$ € beträgt, wie viele Personen werden mindestens benötigt, damit sie das Haus mieten können?

Betrachte ein Rechteck mit konstantem Flächeninhalt von $48$ cm². Die Grundseite des Rechtecks ist $x$ und die Höhe ist $y$.

1. a) Gib die Höhe in Abhängigkeit von der Grundseite an. Um welche Art von Funktion handelt es sich?

1. b) Wenn wir die Grundseite um $4$ cm verlängern, beträgt die neue Höhe $4$ cm. Wie lang war die ursprüngliche Grundseite?

1. c) Stelle die Situation grafisch dar für Werte der Grundseite zwischen $2$ und $16$ cm.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Zwei Größen $A$ und $B$ sind antiproportional. Man weiß: Wenn $A$ um $5$ Einheiten zunimmt, halbiert sich der Wert von $B$ gegenüber dem ursprünglichen Wert (der $B = 20$ war).

1. a) Berechne den Anfangswert der Größe $A$.
2. b) Bestimme die Konstante $k$ der antiproportionalen Zuordnung.
3. c) Gib die Funktionsgleichung an, die beide Größen verbindet.

Ein Getriebe besteht aus zwei Zahnrädern, $R_1$ und $R_2$. Die Zähnezahl und die Drehzahl (in U/min) sind antiproportionale Größen. Das Rad $R_1$ hat $40$ Zähne und dreht sich mit $120$ U/min.

1. a) Wenn sich das Rad $R_2$ mit $300$ U/min dreht, wie viele Zähne hat es?
2. b) Das zweite Rad soll sich möglichst langsam drehen, darf aber höchstens $80$ Zähne haben. Wie groß ist seine minimale Drehzahl?
3. c) Bestimme die Funktion, die die Drehzahl $y$ in Abhängigkeit von der Zähnezahl $x$ angibt.

Gegeben ist die folgende Wertetabelle einer antiproportionalen Funktion. Bestimme die mit Buchstaben markierten fehlenden Werte und beantworte die Fragen:

1. a) Berechne die Werte von $a$, $b$, $c$ und $d$.
2. b) Gib an, ob die Funktion im ersten Quadranten streng monoton steigend oder fallend ist.
3. c) Für welchen Wert von $x$ erhält man den Funktionswert $y = 0,01$?