Aufgaben: Lineare Gleichungen

Die Sprache der Gleichungen erlaubt es uns, Rätsel zu lösen. Stell dir vor, du spielst mit einem Freund „Errate meine Zahl“. Dein Freund sagt dir:

„Wenn du zu meiner geheimen Zahl $12$ addierst, ist das Ergebnis $35$.“

Übersetze diesen Satz in die Sprache der Algebra, indem du die geheime Zahl $x$ nennst, und schreibe die passende Gleichung auf.

Eine Gleichung ist wie eine Waage im perfekten Gleichgewicht. Betrachte das folgende Bild, in dem die orangen Kreise unsere Variable $x$ darstellen und die grauen Quadrate Einheiten von $1$ kg.

Schreibe die Gleichung auf, die das Gleichgewicht der Waage darstellt:

In deinem Lieblingsvideospiel hast du $x$ Punkte erreicht. Nachdem du eine tägliche Mission abgeschlossen hast, hast du $25$ Bonuspunkte geschenkt bekommen und hast nun insgesamt $110$ Punkte.

Schreibe die Gleichung auf, die diese Situation beschreibt, und finde im Kopf heraus, wie viele Punkte du am Anfang hattest.

Es ist grundlegend, zu überprüfen, ob eine Zahl die Lösung einer Gleichung ist. Gib an, ob der Wert $x = 4$ die Lösung der folgenden linearen Gleichungen ist:

1. a) $x + 7 = 11$

1. b) $3x = 12$

1. c) $2x - 1 = 5$

Aisha hat eine Sammlung von Fußballkarten. Ihr kleiner Bruder hat ihr $8$ Karten weggenommen und jetzt hat sie nur noch $22$.

Wenn wir die ursprüngliche Anzahl der Karten, die Aisha hatte, $x$ nennen, schreibe die Gleichung auf, die dieses Problem darstellt, und löse sie, um herauszufinden, wie viele Karten sie am Anfang hatte.

Löse diese ganz einfachen linearen Gleichungen mithilfe der Umkehroperation (wenn etwas addiert wird, wird es auf der anderen Seite subtrahiert; wenn etwas multipliziert wird, wird es auf der anderen Seite dividiert):

1. a) $x + 5 = 15$

1. b) $x - 9 = 2$

1. c) $4x = 24$

1. d) $\frac{x}{3} = 5$

Der Umfang eines rechteckigen Grundstücks beträgt $60$ Meter. Wir wissen, dass das Grundstück $20$ Meter lang ist. Wir wollen herausfinden, wie breit es ist ($x$).

Verwende die Formel für den Umfang des Rechtecks, um eine Gleichung aufzustellen:

$2 \cdot 20 + 2 \cdot x = 60$

Schreibe die Schritte auf, um $x$ freizustellen und die Breite des Grundstücks zu berechnen.

Drei Freunde sind Eis essen gegangen und haben drei gleiche Milchshakes bestellt. Beim Bezahlen mit einem $20$-€-Schein haben sie $11$ € zurückbekommen.

Wir bezeichnen den Preis eines einzelnen Milchshakes mit $x$. Stelle eine Gleichung auf, die die Gesamtkosten für die Milchshakes und das erhaltene Rückgeld darstellt.

(Tipp: $3 \cdot (\text{Preis des Shakes}) + \text{Rückgeld} = \text{insgesamt gezahlt}$)

Marcos hat versucht, die Gleichung $4x - 6 = 14$ in seinem Heft zu lösen, und hat die folgende Lösung Schritt für Schritt aufgeschrieben:

Schritt 1: $4x = 14 - 6$

Schritt 2: $4x = 8$

Schritt 3: $x = \dfrac{8}{4} = 2$

1. a) Finde den Fehler, den Marcos beim Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu Schritt 1 gemacht hat, und erkläre, welche grundlegende Regel der Äquivalenzumformung er nicht beachtet hat.
2. b) Löse die Gleichung richtig und zeige alle Schritte.
3. c) Überprüfe deine Lösung, indem du den gefundenen Wert in die ursprüngliche Gleichung einsetzt und zeigst, dass die Gleichung erfüllt ist.

Stell dir vor, du bereitest eine Aufgabe für deine Mitschüler vor. Erfinde eine lineare Gleichung, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihre exakte Lösung muss $x = -2$ sein.

2. Die Variable $x$ muss auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen.

3. Mindestens einer der Koeffizienten, die mit $x$ multipliziert werden, muss größer als $1$ sein.

Erkläre verständlich, wie du beim Aufstellen deiner Gleichung vorgegangen bist, und zeige, dass sie richtig ist, indem du überprüfst, dass beim Einsetzen von $x = -2$ beide Seiten denselben Zahlenwert ergeben.

Auf einer digitalen Präzisionswaage haben wir zwei gleiche Versandkisten (die wir $x$ nennen) und ein Gewicht von $25$ Gramm auf die linke Waagschale gelegt. Um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen, haben wir auf die rechte Waagschale ein Gewicht von $135$ Gramm gelegt.

Stelle die Gleichung auf, die dieses Gleichgewicht darstellt, und berechne, wie viel jede Kiste $x$ wiegt.

Ein bekannter Streamer verlost Geschenkkarten unter seinen Abonnenten. Er hat angekündigt: „Das Dreifache der Karten, die ich gestern verschenkt habe, minus die 12, die ich für heute aufgehoben habe, ergibt 48 Karten.“

Wenn wir die Anzahl der Karten, die er gestern verschenkt hat, $x$ nennen, schreibe die Gleichung auf, die die Situation beschreibt, und löse sie, um diese Anzahl zu bestimmen.

Löse die folgende lineare Gleichung, indem du zuerst die Klammern auflöst und danach die Terme mit der Variablen zusammenfasst:

$4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$

Bestimme eine Zahl, deren Hälfte plus ihr Viertel gleich $15$ ist. Suche zur Lösung das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, um die Gleichung von Brüchen zu befreien.

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 15$

Drei Freunde sammeln Sammelkarten einer Animationsserie. Lea hat doppelt so viele Karten wie Markus und Paula hat 10 Karten mehr als Markus. Wenn die drei zusammen $110$ Karten haben, wie viele hat jeder?

Löse die folgende Gleichung mit Nennern und vereinfache dabei jeden Schritt:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$

Denke daran, alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen $\text{kgV}(3, 6)$ zu multiplizieren, damit du nur mit ganzen Zahlen arbeitest.

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist gleich $72$. Stelle eine lineare Gleichung auf, um herauszufinden, welche drei Zahlen das sind.

In einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes in Münster betrug die Temperatur an einem Frühlingstag um 9:00 Uhr $14\ ^\circ\text{C}$. Ab dieser Uhrzeit stieg die Temperatur gleichmäßig um $3\ ^\circ\text{C}$ pro vergangener Stunde, bis sie die Tageshöchsttemperatur von $29\ ^\circ\text{C}$ erreichte.

1. a) Bevor du irgendeine algebraische Rechnung aufstellst, schätze im Kopf: Glaubst du, dass die Höchsttemperatur vor 13:00 Uhr oder danach erreicht wurde? Begründe deine Vermutung kurz.
2. b) Nenne die Anzahl der seit 9:00 Uhr vergangenen Stunden $t$. Stelle eine lineare Gleichung auf, die die Situation beschreibt, und löse sie Schritt für Schritt, um zu erfahren, wie viele Stunden vergangen sind.
3. c) Bestimme, zu welcher genauen Uhrzeit $29\ ^\circ\text{C}$ erreicht wurden, und beurteile, ob das Zahlenergebnis deine Schätzung bestätigt und zum Tagesverlauf passt.

Um täglich zur Schule und zum Basketballtraining zu fahren, vergleicht Paul zwei Tarife der Verkehrsverbund-Karte:

• Tarif Jugend: monatlicher Grundpreis von $15$ Euro plus $0,60$ Euro für jede durchgeführte Fahrt.

• Tarif Einzelfahrt: kein monatlicher Grundpreis, aber jede Fahrt kostet $1,10$ Euro.

1. a) Stelle eine lineare Gleichung auf, mit der man die Anzahl der Fahrten $v$ berechnen kann, bei der die monatlichen Kosten in beiden Optionen gleich wären.
2. b) Löse die Gleichung, um diese Anzahl der Fahrten zu bestimmen.
3. c) Wenn Paul schätzt, dass er etwa $36$ Fahrten pro Monat machen wird, deute das Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe, um ihm zu raten, welcher der beiden Tarife günstiger ist. Begründe deinen Rat, indem du die erwarteten Kosten vergleichst.

In einem Rollenspiel wird die Stärke deiner Figur mit einer „Gleichgewichtsformel“ berechnet. Um ein Level aufzusteigen, musst du den Wert der Variablen $x$ finden, für den beide Seiten der magischen Waage gleich sind. Löse die folgende Gleichung:

$2(3x - 5) - 4(x - 2) = 16 - (x + 3)$

Drei Freunde beschließen, ein Jahresabo für eine Streaming-Plattform zu kaufen, das insgesamt $165$ € kostet. Entsprechend der Nutzung haben sie vereinbart:

• Sarah zahlt doppelt so viel wie Lukas.

• Lukas zahlt $15$ € mehr als Matthias.

Wenn wir das Geld, das Matthias zahlt, $x$ nennen, stelle eine lineare Gleichung auf und berechne, wie viel jeder beisteuern muss, damit die Zahlung vollständig ist.

Wir entwerfen eine neue Skatebahn in Dreiecksform. Der gesamte Umfang der Bahn soll $54$ Meter betragen. Die Entwurfsbedingungen lauten:

• Die längste Seite misst $x$ Meter.

• Die mittlere Seite misst die Hälfte der langen Seite plus $3$ Meter.

• Die kürzeste Seite ist $10$ Meter kürzer als die lange Seite.

Bestimme die Längen der drei Seiten der Bahn, indem du die passende Gleichung löst.

Löse die folgende Gleichung mit Nennern und achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch:

$\frac{x + 5}{2} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{5}{6}$

Denke daran: Um die Nenner zu beseitigen, musst du alle Terme mit dem kgV der Nenner multiplizieren.

Marinas Alter ist das Dreifache des Alters, das sie vor $10$ Jahren hatte. Wenn wir ihr heutiges Alter $x$ nennen, kannst du herausfinden, wie alt sie ist, indem du eine lineare Gleichung aufstellst und löst?

Das Robotik-Team deiner Schule hat für einen Wettbewerb einen rechteckigen Parcours gebaut. Die Länge des Parcours ist dreimal so groß wie seine Breite. Vergrößern wir die Breite um $2$ Meter und verkleinern die Länge um $4$ Meter, so beträgt der Umfang des neuen Rechtecks $44$ Meter. Berechne die ursprünglichen Abmessungen des Parcours.

Finde den Wert von $x$, der die folgende komplexe Gleichung mit verschachtelten Klammern löst:

$3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$

Löse zuerst die inneren Klammern auf und vereinfache jede Seite, bevor du Terme umstellst.

Ein Videospielladen hat am Vormittag ein Drittel der Konsolen verkauft, die er auf Lager hatte. Am Nachmittag hat er die Hälfte der übrigen verkauft. Wenn zum Ladenschluss noch $12$ Konsolen unverkauft sind, mit wie vielen Konsolen ist der Laden in den Tag gestartet?

Stelle die Gleichung auf, indem du die Gesamtzahl der Konsolen zu Beginn des Tages $x$ nennst.

Gegeben ist die Gleichung mit Klammern und Brüchen:

$\dfrac{3(x - 1)}{2} - \dfrac{2x + 4}{5} = 2$

Zwei Schüler verfolgen unterschiedliche Lösungsstrategien:

• Emilias Strategie: Zuerst alle Terme beider Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner ($10$) multiplizieren, um die Brüche auf einen Schlag zu beseitigen, und danach die Klammern auflösen.

• Bens Strategie: Zuerst das Distributivgesetz in den Zählern anwenden, jeden Bruch in einfache Brüche aufteilen und dann die Terme mit $x$ und die Zahlenterme durch Bruchrechnung zusammenfassen.

1. a) Löse die Gleichung nach der Strategie von Emilia, Schritt für Schritt.
2. b) Löse die Gleichung nach der Strategie von Ben.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welcher ist deiner Meinung nach in Klasse 7 wirksamer, um typische Vorzeichenfehler zu vermeiden und die Zwischenrechnungen zu vereinfachen? Begründe deine Antwort, indem du eine kritische Stelle untersuchst, an der man bei beiden Methoden leicht einen Fehler machen kann.

Die Gemeinde möchte einen rechteckigen Schulgarten einzäunen und dafür einen gespendeten Metallzaun mit einer Gesamtlänge von $68\text{ Meter}$ verwenden, der vollständig für den gesamten Umfang eingesetzt werden muss.

1. a) Die Projektplanung legt fest, dass die Länge des Gartens $4\text{ Meter}$ mehr als das Dreifache seiner Breite betragen muss. Nenne die Breite in Metern $x$, schreibe den Term für die Länge auf und stelle die Gleichung für den gesamten Umfang auf.
2. b) Löse die Gleichung und berechne die genauen Abmessungen (Breite und Länge) des geplanten Gartens.
3. c) Angenommen, der Anwohnerverein möchte die Planung ändern: Er will, dass die Länge das Vierfache der Breite beträgt, wobei genau dieselben $68\text{ Meter}$ Zaun verwendet werden. Stelle die neue Gleichung auf und löse sie. Überlege anhand des erhaltenen Werts von $x$: Ist es möglich, den Garten unter diesen neuen Bedingungen zu bauen, wenn die Begrenzungspfosten nur in Abständen gesetzt werden können, die ganze Meterzahlen sind? Begründe deine Schlussfolgerung.