Aufgaben: Rechnen mit Monomen

Um zu verstehen, wie mathematische Terme aufgebaut sind, ist es wichtig, die Teile eines Monoms zu kennen. Ergänze die geforderten Angaben für jedes der folgenden Monome:

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Gib jeweils an:

• Den Koeffizienten.

• Den Variablenteil.

• Den Grad des Monoms.

In der Algebra können wir nur „gleiche Dinge“ addieren oder subtrahieren. Bestimme, welche der folgenden Monome zueinander gleichartig sind, und fasse sie zu Gruppen zusammen:

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Vereinfache die folgenden Terme, indem du gleichartige Monome addierst und subtrahierst:

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Berechne das Produkt der folgenden Monome. Denke daran, die Koeffizienten miteinander zu multiplizieren und die Exponenten gleicher Buchstaben zu addieren:

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Führe die folgenden Divisionen von Monomen aus. Denke daran, die Koeffizienten zu dividieren und die Exponenten der Buchstaben zu subtrahieren:

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Berechne die Potenz dieser Monome. Vergiss nicht, sowohl den Koeffizienten als auch den Variablenteil mit dem angegebenen Exponenten zu potenzieren:

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Bestimme den Term, der den Umfang des folgenden rechteckigen Grundstücks für einen Schulgarten darstellt. Fasse den Term anschließend so weit wie möglich zusammen, indem du gleichartige Terme addierst.

In einem Autorennspiel erhältst du für jede eingesammelte Goldmünze $5x$ Punkte und für jede Silbermünze $2x$ Punkte.

Ein Spieler hat in einer Partie 4 Goldmünzen und 6 Silbermünzen erreicht:

1. a) Gib das Monom an, das die Gesamtpunktzahl der Goldmünzen darstellt.
2. b) Gib das Monom an, das die Gesamtpunktzahl der Silbermünzen darstellt.
3. c) Addiere beide Monome, um die Gesamtpunktzahl der Partie zu erhalten.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Im Mathematikunterricht hat Marcus an der Tafel die folgende Potenz eines Monoms gelöst:

$$(-3x^4)^2 = -6x^8$$

Seine Mitschülerin Alba meldet sich und behauptet, Marcus habe in diesem einen Schritt zwei verschiedene Fehler gemacht.

1. a) Finde die beiden Fehler von Marcus und erkläre jeweils klar, welche Regel für das Rechnen mit Monomen er falsch angewendet hat (einen beim Koeffizienten und einen beim Vorzeichen oder bei den Exponenten).
2. b) Schreibe die richtige, vollständig ausgeführte Lösung Schritt für Schritt auf und begründe dabei das endgültige Vorzeichen, den Koeffizienten und den Exponenten.

Ein Lehrer hat die Tafel am Ende des Unterrichts teilweise abgewischt, und diese drei Rechnungen mit Monomen sind unvollständig geblieben:

1. a) $4x^3 \cdot \Box = -20x^7$
2. b) $\frac{\Box}{3x^2} = 5x^4$
3. c) $(\Box)^3 = -8x^6$

Finde heraus, welches Monom in jedes Kästchen ($\Box$) gehört, damit die Gleichungen stimmen. Erkläre jeweils mit Begründung, wie du Vorzeichen, Koeffizient und Exponenten des Variablenteils mithilfe der entsprechenden Umkehroperation ermittelst.

Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich, indem du gleichartige Monome zusammenfasst:

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Berechne das Ergebnis der folgenden Multiplikationen von Monomen und vereinfache den Variablenteil mithilfe der Potenzgesetze:

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Bestimme den vereinfachten Term, der den Umfang des folgenden Grundstücks darstellt, das für einen Spielbereich in einem Park vorgesehen ist:

Berechne die folgenden Potenzen von Monomen. Denke daran, dass der Exponent sowohl für den Koeffizienten als auch für jede Variable des Variablenteils gilt:

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Vereinfache die folgenden Quotienten von Monomen. Gib das Ergebnis, wenn möglich, als ein einziges Monom an:

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

Bei einer Aufforstungsaktion pflanzt jeder Freiwillige morgens $3x$ Bäume und nachmittags $2x$ Bäume. Wenn es insgesamt $y$ Freiwillige gibt, gib den vereinfachten Term an, der Folgendes darstellt:

1. a) Die Gesamtzahl der Bäume, die ein einzelner Freiwilliger an einem Tag pflanzt.

1. b) Die Gesamtzahl der Bäume, die alle Freiwilligen in einer Woche (7 Tage) pflanzen.

Berechne den Term für den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in der folgenden Figur, wenn die Seite des äußeren Quadrats $4x$ und die Seite des weißen inneren Quadrats $x$ misst:

Löse die folgenden gemischten Rechnungen mit Monomen unter Beachtung der Rechenreihenfolge:

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

Betrachte die folgende gemischte Rechnung mit Monomen:

$$M = \frac{(-2x^3)^3 \cdot (6x^2)}{-4x^5}$$

1. a) Mache, bevor du mit den Koeffizienten rechnest, eine begründete Abschätzung, indem du diese beiden Fragen beantwortest:

1. Welches Vorzeichen hat das Endergebnis? Begründe es, indem du nacheinander die Vorzeichen der Potenz, des Produkts im Zähler und der abschließenden Division untersuchst.

2. Welchen genauen Grad hat das entstehende Monom? Begründe es, indem du im Kopf die Summe und Differenz der Exponenten nach den Potenzgesetzen bestimmst.

1. b) Löse die gemischte Rechnung Schritt für Schritt unter Beachtung der Rechenreihenfolge und vereinfache das entstehende Monom.
2. c) Überprüfe, ob dein Ergebnis mit deinen vorherigen Überlegungen zu Vorzeichen und Grad aus Teilaufgabe a) übereinstimmt.

Eine Agrargenossenschaft aus Tomelloso (Castilla-La Mancha) installiert auf einem rechteckigen Feld Solarmodule, um die Bewässerungsmotoren zu versorgen. Die Maße des Geländes sind in Abhängigkeit von einer Variablen $x$ (in Metern) angegeben: Die Breite beträgt $3x$ Meter und die Länge ist dreimal so groß wie die Breite.

1. a) Bestimme das vereinfachte Monom, das den gesamten Flächeninhalt des Grundstücks in Quadratmetern darstellt.
2. b) Zur Verlegung der Kabel teilen sie das gesamte Feld in identische quadratische Parzellen mit der Seitenlänge $x$ Meter. Gib das Monom an, das den Flächeninhalt einer dieser Parzellen darstellt, und berechne durch die passende Division von Monomen, wie viele Parzellen insgesamt hineinpassen.
3. c) Die jährlichen Instandhaltungskosten des Feldes betragen $0,5$ Euro pro Quadratmeter Fläche. Wenn die Genossenschaft eine feste jährliche Landesförderung von $15x^2$ Euro erhält, bestimme mithilfe von Rechnungen mit Monomen, ob die Förderung ausreicht, um die Instandhaltung zu decken, und wie viel Geld übrig bleibt oder fehlt, in Abhängigkeit von $x$.

Führe die folgende gemischte Rechnung mit Monomen aus und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Achte besonders auf die Rechenreihenfolge und die Potenzgesetze:

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Ein Designunternehmen fertigt Aluminiumrahmen für Tablet-Displays. Das Design folgt den Proportionen in der folgenden Figur, in der alle Maße in Abhängigkeit von einer Variablen $x$ angegeben sind. Bestimme das Monom, das den gesamten Flächeninhalt des Rahmens (der schraffierten Fläche) darstellt.

Finde die unbekannten Monome $M$ und $N$, für die die folgenden Gleichungen gelten:

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

In einem Strategiespiel wird die Energie eines Bataillons berechnet als Produkt aus Angriffsstufe und Verteidigungsstufe, geteilt durch die Erschöpfung. Es gilt:

• Angriff: $ 12a^2b^3 $

• Verteidigung: $ 5a^3b $

• Erschöpfung: $ 10ab^2 $

Gib die Gesamtenergie des Bataillons als ein einziges Monom an und bestimme seinen Grad.

Klammere im folgenden Term den größtmöglichen gemeinsamen Faktor aus. Denke daran, dass du sowohl den ggT der Koeffizienten als auch die gemeinsamen Variablen mit ihrem kleinsten Exponenten ausklammern musst:

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Berechne das Monom an der Spitze dieser „Produktpyramide“, in der jeder Stein das Produkt der beiden Monome direkt darunter ist:

Vereinfache den folgenden Term, indem du das Distributivgesetz anwendest und die entstehenden gleichartigen Monome zusammenfasst:

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Berechne das Monom, das das Volumen eines Körpers darstellt, der aus 5 identischen Würfeln zusammengesetzt ist, wobei die Kantenlänge jedes Würfels $ \frac{2}{3}x^2 $ Meter beträgt. Gib das Endergebnis in vereinfachter Form an.

Um den Wert des Terms

$$E = \frac{(6x^4)^2 \cdot x^3}{12x^7}$$

für $x = -2$ zu berechnen, schlagen zwei Schüler der Klasse 8 zwei verschiedene Strategien vor:

• Sergios Methode: Er setzt den Wert $x = -2$ direkt an jeder der $x$ im ursprünglichen Term ein, berechnet die entstehenden Zahlenpotenzen und führt dann die Multiplikationen und die Division mit den erhaltenen Zahlen aus.

• Irenes Methode: Sie wendet zuerst die Rechengesetze für Monome an, um den Term zu einem einzigen, nicht weiter kürzbaren Monom zu vereinfachen, und setzt erst am Ende $x = -2$ ein.

1. a) Wende Sergios Methode an und gib die Zwischenwerte an, die er im Zähler und im Nenner vor dem Kürzen erhält.
2. b) Wende Irenes Methode an, indem du zuerst den Term vereinfachst und dann den endgültigen Wert berechnest.
3. c) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche in der Mathematik vorteilhafter und sicherer ist. Berücksichtige dabei die Größe der verwendeten Zahlen und die Wahrscheinlichkeit von Rechenfehlern bei jedem Verfahren.

Es soll ein Metalltrichter zur Lagerung von Getreide entworfen werden, dessen Fassungsvermögen durch das Volumen eines Quaders gegeben ist. Das Gesamtvolumen ist das Produkt dreier Monome, die den drei Abmessungen entsprechen (Länge $L(x)$, Breite $A(x)$ und Höhe $H(x)$), also $V(x) = L(x) \cdot A(x) \cdot H(x)$. Folgende technische Daten sind bekannt:

• Das Monom des Gesamtvolumens ist $V(x) = 72x^7$.

• Die Höhe des Trichters ist das Monom $H(x) = 2x^2$.

• Sowohl die Länge $L(x)$ als auch die Breite $A(x)$ haben positive ganzzahlige Koeffizienten.

• Der Grad der Länge $L(x)$ ist um eins größer als der Grad der Breite $A(x)$.

• Der Koeffizient der Länge $L(x)$ ist genau das Vierfache des Koeffizienten der Breite $A(x)$.

1. a) Bestimme Schritt für Schritt die genauen Monome für $L(x)$ und $A(x)$ und begründe, wie du sowohl die Koeffizienten als auch die Grade mithilfe der Rechengesetze für Monome erhältst.
2. b) Stelle den Term für den Flächeninhalt der Grundfläche des Trichters auf, $B(x) = L(x) \cdot A(x)$. Beantworte dann mit Begründung: Ist es möglich, die Abmessungen $L(x)$ und $A(x)$ (wobei ihr Produkt gleich bleibt und sie weiterhin Monome sind) so zu verändern, dass der Grad der Grundfläche 6 beträgt? Begründe anhand des Zusammenhangs zwischen dem Grad des Volumens und dem der Höhe, warum das möglich oder nicht möglich ist.