Aufgaben: Brüche. Gleichwertige Brüche

Betrachte die folgende Abbildung und bestimme, welchen Bruch der schraffierte Teil darstellt. Schreibe anschließend einen gleichwertigen Bruch auf, der die Zahl $16$ als Nenner hat.

Berechne den fehlenden Wert so, dass das folgende Bruchpaar gleichwertig ist:

Überprüfe mit der Methode der Kreuzprodukte, ob die folgenden Brüche gleichwertig sind:

Zeige deine Rechnungen.

Lukas hat eine Tafel Schokolade in $12$ gleiche Stücke gebrochen und $4$ davon gegessen. Seine Freundin Sophie hat eine gleiche Tafel, die aber nur in $3$ große Stücke gebrochen ist. Wie viele Stücke müsste Sophie essen, um genauso viel Schokolade gegessen zu haben wie Lukas? Gib es mithilfe gleichwertiger Brüche an.

In der Abbildung sind die gefärbten Stücke diejenigen, die Lukas gegessen hat. Sophies Tafel ist nicht gefärbt.

Bestimme drei zu $\frac{2}{7}$ gleichwertige Brüche durch Erweitern. Multipliziere dazu Zähler und Nenner mit $2$, mit $3$ und mit $10$.

Kürze den folgenden Bruch, bis du seinen vollständig gekürzten Bruch erhältst:

Gib an, durch welche Zahl du Zähler und Nenner in jedem Schritt geteilt hast.

Betrachte die Lage des Punktes $P$ auf dem Zahlenstrahl. Welchen Bruch stellt er dar? Schreibe einen dazu gleichwertigen Bruch auf, dessen Nenner $10$ ist.

In einer Basketballmannschaft sind $6$ der $15$ Spieler Linkshänder.

1. a) Schreibe den Bruch der Linkshänder auf.
2. b) Welcher der folgenden Brüche ist zum vorherigen gleichwertig?

• $\frac{1}{3}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{3}{10}$

Matthias sucht einen zu $\frac{2}{5}$ gleichwertigen Bruch, dessen Nenner $15$ ist. In sein Heft hat er Folgendes geschrieben: „Um vom Nenner $5$ auf $15$ zu kommen, muss ich $10$ addieren. Also addiere ich auch zum Zähler $10$, sodass der gleichwertige Bruch $\frac{12}{15}$ ist.“ Erkläre begründet, warum Matthias' Vorgehen falsch ist, und stütze dich dabei auf den Begriff des Erweiterns. Korrigiere anschließend seinen Fehler, berechne den richtigen gleichwertigen Bruch und zeige formal mit der Kreuzprodukt-Regel, dass er gleichwertig zu $\frac{2}{5}$ ist.

Bei einer Umfrage zur nachhaltigen Mobilität an einer Schule geben $18$ der $40$ Schülerinnen und Schüler einer Klasse 7 an, dass sie zu Fuß oder mit dem Fahrrad zur Schule kommen.

1. a) Schätze, bevor du irgendetwas genau berechnest, begründet ab, ob dieser Anteil mehr als die Hälfte, weniger als die Hälfte oder genau die Hälfte der Klasse darstellt. Nimm dazu den Bruch $\frac{1}{2}$ als Bezug.
2. b) Kürze den Bruch $\frac{18}{40}$ vollständig und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.
3. c) Wenn es in der gesamten Jahrgangsstufe 7 insgesamt $200$ Schülerinnen und Schüler gibt und genau derselbe Anteil gelten würde, wie viele kämen zu Fuß oder mit dem Fahrrad? Überprüfe mit den Kreuzprodukten, dass der neu erhaltene Bruch zum vollständig gekürzten Bruch gleichwertig ist.

Zwei Freunde, Marko und Lea, vergleichen, wie weit sie beim Lesen desselben Buches gekommen sind. Marko sagt, er habe $\frac{3}{4}$ des Ganzen gelesen, während Lea behauptet, $\frac{9}{12}$ der Seiten geschafft zu haben. Überprüfe mithilfe einer zeichnerischen Darstellung, ob beide denselben Anteil des Buches gelesen haben, und begründe deine Antwort mit dem Kreuzprodukt.

Berechne den Wert der Variablen $x$ so, dass die folgenden Bruchpaare gleichwertig sind:

1. a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$

1. b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$

1. c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$

In einem Videospiel ist die Energieleiste einer Figur ursprünglich in $8$ gleiche Segmente unterteilt. Die Figur hat derzeit $\frac{6}{8}$ ihrer Energie. Wie viele Segmente wären gefüllt, wenn wir dieselbe Leiste in $24$ kleinere Teile unterteilen würden? Schreibe den entsprechenden gleichwertigen Bruch auf.

In der Abbildung ist der obere Balken der ursprüngliche (mit $6$ gefüllten Segmenten von $8$) und der untere ist derselbe Balken, in $24$ gleiche Teile unterteilt, noch nicht gefärbt.

Bestimme den vollständig gekürzten Bruch der folgenden Ausdrücke mit dem Verfahren der fortgesetzten Division oder durch Berechnung des größten gemeinsamen Teilers ($\text{ggT}$):

1. a) $\dfrac{120}{180}$

1. b) $\dfrac{45}{105}$

1. c) $\dfrac{256}{512}$

Fasse aus der folgenden Liste von Brüchen diejenigen zusammen, die untereinander gleichwertig sind:

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$

Für einen Fruchtshake verlangt ein Rezept $\frac{2}{5}$ Liter Milch. Du hast nur einen Messbecher mit Milliliter-Skala ($1$ Liter = $1000$ ml). Welcher Bruch mit dem Nenner $1000$ wäre gleichwertig zu $\frac{2}{5}$? Wie viele Milliliter Milch musst du genau einfüllen?

Vervollständige die folgenden Ketten gleichwertiger Brüche:

1. a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{\square} = \dfrac{\square}{15} = \dfrac{20}{\square}$

1. b) $\dfrac{60}{48} = \dfrac{30}{\square} = \dfrac{\square}{12} = \dfrac{5}{\square}$

Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind, und begründe deine Antwort im Heft:

1. a) Wenn wir den Zähler eines Bruchs mit $2$ und den Nenner mit $2$ multiplizieren, erhalten wir einen gleichwertigen Bruch.

1. b) Wenn wir zum Zähler $3$ und zum Nenner $3$ des Bruchs $\frac{1}{2}$ addieren, erhalten wir einen weiteren gleichwertigen Bruch.

1. c) Der Bruch $\frac{17}{13}$ ist vollständig gekürzt, weil sowohl Zähler als auch Nenner Primzahlen sind.

Aus den vom DWD veröffentlichten Daten zum Frühling in zwei deutschen Landwirtschaftsregionen ist bekannt, dass es in Region A an $36$ von insgesamt $90$ beobachteten Tagen regnete, während es in Region B an $24$ Tagen in einem Zeitraum von $60$ erfassten Tagen regnete.

1. a) Stelle für jede der beiden Regionen den Bruch der Regentage bezogen auf die Gesamtzahl der Tage auf.
2. b) Zeige ohne Berechnung der zugehörigen Dezimalzahlen mithilfe der Kreuzprodukt-Regel, ob die relative Häufigkeit der Regentage in beiden Gebieten genau gleichwertig war.
3. c) Berechne den vollständig gekürzten Bruch, den beide Regionen gemeinsam haben, indem du Zähler und Nenner durch ihren ggT teilst, und erkläre, welche praktische Bedeutung Zähler und Nenner dieses vollständig gekürzten Bruchs für einen Landwirt der Region haben.

Zwei Schüler sollen herausfinden, ob die Brüche $\frac{72}{108}$ und $\frac{60}{90}$ genau dieselbe Menge darstellen, sind sich aber uneins, wie sie das überprüfen sollen:

• Sophie schlägt vor, es direkt mit den Kreuzprodukten zu überprüfen ($72 \cdot 90$ und $108 \cdot 60$).

• Alexander möchte lieber jeden Bruch kürzen, indem er seine Terme durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) teilt, um sie in vollständig gekürzter Form zu vergleichen.

1. a) Wende Sophies Verfahren an und bestimme, ob die Brüche gleichwertig sind.
2. b) Wende Alexanders Verfahren an, indem du den ggT jedes Bruchs berechnest und die vollständig gekürzten Brüche bestimmst.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welche der beiden Methoden hältst du für sicherer und vorteilhafter, wenn du die Rechnungen von Hand und ohne Taschenrechner ausführen musst? Begründe deine Antwort, indem du untersuchst, was in jedem Fall mit der Größe der Zahlen bei den Rechnungen passiert.

In einem Grafikdesign-Studio werden zwei Bildformate verglichen. Das erste Format belegt $\frac{5}{8}$ des Speichers einer Karte, das zweite belegt $\frac{7}{12}$. Für ein neues Projekt soll zu jedem der beiden Brüche ein gleichwertiger Bruch gefunden werden, dessen Nenner das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ist. Suche danach eine natürliche Zahl $x$, sodass der Bruch $\frac{x}{48}$ genau zwischen den beiden ursprünglichen Brüchen liegt.

Drei Freunde, Lea, Marko und Sophie, haben ein rechteckiges Grundstück gekauft, um einen Gemeinschaftsgarten anzulegen. Lea bekommt $\frac{2}{5}$ des Grundstücks, Marko $\frac{4}{15}$ und Sophie den Rest.

1. a) Berechne den gekürzten Bruch, der Sophie zusteht.
2. b) Finde einen gleichwertigen Bruch zu Sophies Anteil, dessen Zähler doppelt so groß ist wie der Zähler von Markos Anteil.
3. c) Das gesamte Grundstück misst $300$ Quadratmeter. Stimmt es, dass Markos Anteil gleichwertig damit ist, $20$ Stücke von je $\frac{4}{1}$ Quadratmetern zu haben? Begründe deine Antwort.

Bestimme den Wert der Variablen $n$ in jeder der folgenden Gleichungen so, dass die Brüche gleichwertig sind, wobei $n$ eine positive ganze Zahl sein muss:

1. a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$

1. b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$

1. c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{21}$

Ein Architekt teilt ein rechteckiges Fenster in $8$ gleiche Abschnitte (in zwei Reihen zu je vier). Drei dieser Abschnitte sind schraffiert und stellen den Teil dar, der getöntes Glas erhält. Bestimme:

1. a) Welchen vollständig gekürzten Bruch des Ganzen stellt der schraffierte Bereich dar?
2. b) Finde einen zum vorherigen gleichwertigen Bruch, dessen Nenner gleich dem Nenner des in Teilaufgabe a erhaltenen vollständig gekürzten Bruchs multipliziert mit $3$ ist.

Wir haben einen geheimnisvollen Bruch. Wir wissen, dass er gleichwertig zu $\frac{45}{105}$ ist. Außerdem gelten die folgenden Hinweise:

1. Sein Zähler ist eine zweistellige Zahl, die ein Vielfaches von $6$ ist.

2. Addiert man Zähler und Nenner, ist das Ergebnis eine Zahl kleiner als $100$.

Welche Brüche erfüllen alle Hinweise? Finde alle und gib die durchgeführten Schritte an.

Bei einem Roboterwettbewerb hat Ireens Roboter $\frac{18}{24}$ des Parcours geschafft, Alexanders Roboter dagegen $\frac{25}{30}$.

1. a) Kürze beide Brüche vollständig, um zu erfahren, welcher Roboter vorn liegt.
2. b) Ireen behauptet, dass die Brüche beider Roboter gleichwertig werden, wenn ihr Roboter noch ein Stück zurücklegt, das $\frac{1}{12}$ der Gesamtstrecke entspricht. Stimmt ihre Behauptung? Weise es mathematisch nach.

Es soll eine Kette gleichwertiger Brüche konstruiert werden, die mit $\frac{12}{16}$ beginnt.

1. a) Schreibe den vollständig gekürzten Bruch der Kette auf.
2. b) Finde den fehlenden Wert in der folgenden Gleichung: $\frac{12}{16} = \frac{x}{x+5}$. (Tipp: Nutze die Eigenschaft, dass bei gleichwertigen Brüchen die Kreuzprodukte gleich sind.)
3. c) Wenn wir den Zähler des vollständig gekürzten Bruchs mit einer Primzahl $p$ und den Nenner mit der nächsten Primzahl multiplizieren, könnte der neue Bruch dann gleichwertig zum ursprünglichen sein? Begründe deine Antwort mit einem Beispiel.

Ein Saftunternehmen verwendet zwei verschiedene Behälter. Behälter A ist bis zu $\frac{3}{4}$ seines Fassungsvermögens gefüllt und Behälter B bis zu $\frac{12}{16}$ seines Fassungsvermögens.

1. a) Zeige zeichnerisch und mithilfe der Kreuzprodukte, ob die Füllanteile gleichwertig sind.

1. b) Behälter A hat ein Fassungsvermögen von $2$ Litern und Behälter B ein Fassungsvermögen von $1,5$ Litern. Enthalten sie dieselbe Menge Saft in Litern? Stellen sie weiterhin denselben Anteil bezogen auf ihren jeweiligen Behälter dar? Erkläre den Unterschied zwischen „gleichwertigem Bruch“ und „absoluter Menge“.

Finde anhand der folgenden Hinweise zu ihren Termen einen unbekannten Bruch (beide sind natürliche Zahlen):

1. Der Bruch ist nicht gekürzt; sein Nenner ist um $24$ größer als sein Zähler.

2. Die Summe aus Zähler und Nenner ist gleich $96$.

3. Beim vollständigen Kürzen ist die Summe der neuen Terme gleich $8$.

1. a) Stelle die obigen Beziehungen auf, um Zähler und Nenner des ursprünglichen, ungekürzten Bruchs zu bestimmen.
2. b) Bestimme seinen vollständig gekürzten Bruch, indem du Zähler und Nenner durch den ggT teilst, und überprüfe, dass er die dritte Bedingung erfüllt.
3. c) Bestimme, mit welchem Faktor der vollständig gekürzte Bruch erweitert wurde, um den ursprünglichen Bruch zu erhalten, und begründe mithilfe des Gleichnamigmachens, warum beide Brüche exakt denselben Anteil des Ganzen darstellen.

Bei einer Qualitätsprüfung der S-Bahn der Deutschen Bahn werden die Verspätungen auf zwei Linien während eines Quartals untersucht:

• Auf der Linie S1 wurden $140$ Züge überprüft, von denen $119$ pünktlich am Ziel ankamen.

• Auf der Linie S2 wurden $260$ Züge überprüft, von denen $221$ pünktlich ankamen.

1. a) Zeige mithilfe der Gleichheit der Kreuzprodukte, ob beide Linien gleich pünktlich waren.
2. b) Kürze den Pünktlichkeitsanteil mithilfe des ggT vollständig und deute, was beide Zahlen für eine Person bedeuten, die regelmäßig mit diesen Zügen fährt.
3. c) Für das nächste Quartal sollen auf einer dritten Linie (S3) insgesamt $450$ Züge eingesetzt werden.

1. Begründe mathematisch, warum es unmöglich ist, dass die Linie S3 genau denselben vollständig gekürzten Pünktlichkeitsanteil wie die Linien S1 und S2 erreicht, wenn alle Züge als ganze Einheiten gelten müssen.

2. Wenn $500$ Züge statt $450$ Zügen geprüft würden, wie viele verspätete Züge dürfte es höchstens geben, um den Pünktlichkeitsanteil der vorherigen Linien zu erreichen? Begründe deine Überlegung mithilfe des Erweiterns von Brüchen.