Aufgaben: Vielecke

Stell dir vor, du entwirfst die Icons für eine neue Handy-App. Damit das Design sauber wirkt, bittet dich der Programmierer herauszufinden, welche dieser Figuren Vielecke sind und welche nicht. Begründe deine Antwort kurz und gib an, welche Eigenschaft bei den Figuren fehlt, die keine Vielecke sind.

Bestimme im folgenden Vieleck, das den Grundriss eines kleinen Abstellraums darstellt, die folgenden Elemente und zähle sie:

• Anzahl der Ecken.

• Anzahl der Seiten.

• Anzahl der Innenwinkel.

• Zeichne eine Diagonale, die die Ecke $A$ mit der Ecke $C$ verbindet (zeichne das Vieleck dazu zuerst in dein Heft).

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Ordne die folgenden Vielecke nach ihrer Seitenanzahl ein und verwende dafür die passenden Fachbegriffe (Dreieck, Viereck, Fünfeck usw.):

Ein Vieleck ist konvex, wenn alle Innenwinkel kleiner als $180^\circ$ sind, und konkav, wenn mindestens ein Innenwinkel größer als $180^\circ$ ist. Betrachte diese beiden Hinweispfeile und gib an, welcher konkav und welcher konvex ist.

Ein Vieleck ist regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Betrachte die folgenden Figuren aus einem Videospiel und bestimme, welche von ihnen die Bedingungen für ein regelmäßiges Vieleck erfüllt.

Berechne den Umfang des folgenden Gartengrundstücks, wenn die Seiten die in der Zeichnung angegebenen Längen haben. Denke daran: Der Umfang ist die Summe der Längen aller Seiten.

Wir wissen, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck immer $180^\circ$ beträgt. Im Viereck $ABCD$ der Abbildung wurde die Diagonale $AC$ (gestrichelte Linie) eingezeichnet. Sie zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke: $ABC$ (orange) und $ACD$ (blau). Was vermutest du auf dieser Grundlage: Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen Viereck? Begründe deine Antwort.

Eine Diagonale ist eine Strecke, die zwei nicht benachbarte Ecken eines Vielecks verbindet. Sieh dir das Fünfeck (5 Seiten) in der Zeichnung an und zeichne alle möglichen Diagonalen ein, die von der orange markierten Ecke ausgehen. Wie viele Diagonalen hat ein Fünfeck insgesamt, wenn du alle einzeichnest?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Lea möchte für eine Bastelarbeit in der Schule ausrechnen, wie groß jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks ist, und notiert in ihrem Heft:

„Da es ein Fünfeck ist, hat es $5$ Seiten. Die Summe seiner Innenwinkel ist $180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$. Weil es regelmäßig ist, teile ich $900^\circ$ durch $5$ und erhalte, dass jeder Innenwinkel $180^\circ$ misst.“

1. a) Finde die beiden geometrischen Denkfehler, die Lea gemacht hat. Erkläre, warum es unmöglich ist, dass ein Innenwinkel eines geschlossenen Vielecks $180^\circ$ misst.
2. b) Korrigiere das Vorgehen und berechne den richtigen Wert für die Summe der Innenwinkel und die Größe jedes Innenwinkels des regelmäßigen Fünfecks.

Du baust ein Modell eines „STOP“-Verkehrsschildes, das die Form eines regelmäßigen Achtecks hat.

1. a) Schätze ohne Formeln: Überlege, wie sich ein rechter Winkel ($90^\circ$) zu einer Geraden bzw. einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) verhält. Sind die Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks deiner Meinung nach spitz, rechte oder stumpfe Winkel? Liegen sie näher an $90^\circ$ oder an $180^\circ$? Begründe deine qualitative Schätzung.
2. b) Überprüfe: Wende die Formel für den Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks an, um den genauen Wert jedes Winkels zu berechnen: $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$.
3. c) Vergleiche deine Schätzung mit dem erhaltenen Ergebnis und erkläre, ob der Zahlenwert zum Aussehen eines STOP-Schildes passt.

Eine Gruppe von Ingenieuren entwirft eine neue Kommunikationsantenne in Form eines konvexen Siebenecks. Um die Konstruktion zu sichern, müssen sie Verstärkungskabel anbringen, die alle Ecken miteinander verbinden, aber nicht die Seiten der Antenne selbst sind. Wie viele Verstärkungskabel (Diagonalen) müssen sie insgesamt installieren? Zeichne das Vieleck und zeichne alle Diagonalen ein, die von einer einzigen Ecke ausgehen, um dir beim Überlegen zu helfen.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

In einem Aufbau-Videospiel hat ein Spieler ein Grundstück in Form eines unregelmäßigen Vierecks entworfen, um einen Gemüsegarten anzulegen. Als er die Innenwinkel mit einem Spielwerkzeug misst, erhält er die folgenden Werte: $115^\circ$, $82^\circ$ und $96^\circ$. Der vierte Winkel ist wegen eines Fehlers der Benutzeroberfläche verdeckt. Berechne den Wert dieses Winkels, wobei du weißt, dass die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Vierecks immer gleich ist.

Eine Skatepark-Bahn hat das Seitenprofil, das in der folgenden Zeichnung gezeigt wird. Betrachte die Figur und beantworte begründet die folgenden Fragen:

• Handelt es sich um ein konkaves oder konvexes Vieleck? Warum?

• Gib die Anzahl der Seiten, Ecken und Diagonalen an, die dieses Vieleck insgesamt hat.

Die Blende einer professionellen Kamera besteht aus Lamellen, die beim Schließen eine Öffnung in Form eines regelmäßigen Achtecks freilassen.

• Berechne, wie groß der Mittelpunktswinkel dieses Achtecks ist.

• Berechne, wie groß jeder seiner Innenwinkel ist.

• Wenn die Kamera eine Blende mit 10 Seiten (regelmäßiges Zehneck) hätte, wäre der Mittelpunktswinkel dann größer oder kleiner? Begründe deine Antwort.

Ein Dekorateur entwirft ein modernes Mosaik aus Teilen in Form eines regelmäßigen Fünfecks. Als er versucht, drei Teile in einem gemeinsamen Punkt (Ecke) zusammenzufügen, bemerkt er, dass eine kleine Lücke bleibt.

• Berechne die Größe des Innenwinkels eines regelmäßigen Fünfecks.

• Wenn eine volle Drehung um einen Punkt $360^\circ$ beträgt, wie viel Grad misst dann die Lücke, die beim Zusammenfügen von drei Fünfecken frei bleibt?

Für ein Robotikprojekt soll eine Metallplatte die Form eines Sechsecks haben. Der Hersteller sagt, die Platte sei „gleichwinklig" (alle Innenwinkel sind gleich), aber nicht „gleichseitig" (die Seiten sind nicht gleich lang).

• Ist dieses Sechseck ein regelmäßiges Vieleck? Begründe deine Antwort anhand der Definition.

• Wenn die Platte 6 Seiten hat, wie groß muss die Summe aller ihrer Innenwinkel sein?

• Wie groß ist jeder ihrer Innenwinkel?

Acht Freunde sitzen um einen runden Tisch, um ein Rollenspiel zu spielen. Jeder Spieler soll mit allen anderen Spielern am Tisch eine „magische Verbindung" (eine farbige Schnur) haben, außer mit denen, die direkt links und rechts neben ihm sitzen. Wenn wir die Spieler als Ecken eines Achtecks betrachten:

1. a) Welches Element des Vielecks stellen die Schnüre der „magischen Verbindungen" dar?

1. b) Berechne die Gesamtzahl der Schnüre, die auf dem Tisch liegen werden.

In der Abbildung sind für den Spieler P₁ seine beiden Nachbarn (rote Punkte, mit denen er keine Verbindung hat) und seine magischen Verbindungen (orangefarbene Linien) eingezeichnet.

Berechne den Umfang eines unregelmäßigen Fünfecks. Es hat zwei Seiten von jeweils $8\text{ cm}$, zwei weitere Seiten, die doppelt so lang sind wie die ersten beiden, und eine letzte Seite, die halb so lang ist wie die Summe der anderen vier. Könnte dieses Fünfeck regelmäßig sein? Erkläre, warum bzw. warum nicht.

Ein Grafikdesign-Team entwirft eine neue Fliese in Form eines konkaven Vierecks (Pfeilspitze), um die Wand einer Sporthalle zu gestalten.

1. a) Wie groß muss die Summe der vier Innenwinkel eines beliebigen Vierecks genau sein? Begründe dies mithilfe der Anzahl der Dreiecke, in die sich das Viereck von einer Ecke aus zerlegen lässt.
2. b) Der Designer hat festgelegt, dass der konkave Innenwinkel („der einspringende“) $210^\circ$ misst und die anderen drei Innenwinkel untereinander genau gleich groß sind. Stelle eine Gleichung auf und berechne die Größe jedes dieser drei Winkel.
3. c) Begründe, ob es möglich wäre, ein Viereck mit zwei konkaven Innenwinkeln zu konstruieren (also mit zwei Winkeln, die jeweils größer als $180^\circ$ sind). Stütze dich bei deiner Begründung auf die Winkelsumme.

Das Grünflächenamt einer Stadt plant eine Rasenfläche in Form eines konvexen Vielecks. Für die Planung der Sprinkler stellt ein Techniker fest, dass sich von einer Ecke (einem einzigen Eckpunkt) aus genau $4$ gerade Linien zu anderen Ecken ziehen lassen, die keine Seiten der Fläche sind (also genau $4$ Diagonalen).

1. a) Beschreibe die Situation mathematisch und bestimme, wie viele Seiten das Grundstück insgesamt hat. Erkläre ausführlich, wie die Anzahl der Diagonalen von einer Ecke aus mit der Gesamtzahl $n$ der Seiten zusammenhängt.
2. b) Der Umfang des Grundstücks beträgt $49\text{ m}$ und die Arbeiter haben gemessen, dass alle Seiten gleich lang sind. Kann man mit mathematischer Sicherheit behaupten, dass die Rasenfläche ein regelmäßiges Vieleck ist? Begründe deine Antwort und gib ein Beispiel für ein Viereck an, bei dem alle Seiten gleich lang sind, die Figur aber nicht regelmäßig ist.
3. c) Wenn das Grundstück tatsächlich ein regelmäßiges Vieleck wäre: Wie lang wäre jede Seite und wie groß wäre die Summe aller Innenwinkel?

Ein Architekt entwirft ein Oberlicht in Form eines regelmäßigen Vielecks. Man weiß, dass die Summe aller seiner Innenwinkel genau $1080^\circ$ beträgt. Durch einen Fertigungsfehler ist jedoch einer der Innenwinkel um $5^\circ$ größer geworden, als er sein sollte.

1. Wie viele Seiten hat das ursprüngliche Oberlicht?

2. Wenn die übrigen Winkel unverändert bleiben, wie groß ist der fehlerhafte Winkel?

3. Ist es immer noch ein regelmäßiges Vieleck? Begründe deine Antwort anhand der Definition des regelmäßigen Vielecks.

In einer Schmuckwerkstatt wird ein Anhänger entworfen, indem zwei Arten von Teilen zusammengesetzt werden: ein regelmäßiges Sechseck und sechs gleichseitige Dreiecke. Wenn der Umfang des Sechsecks in der Mitte $24 \text{ cm}$ beträgt:

1. Wie groß ist der Gesamtumfang der entstehenden Sternfigur?

2. Berechne die Größe des Innenwinkels an den Spitzen des Sterns (die Winkel, die das Sechseck nicht berühren).

3. Was passiert mit dem Gesamtumfang des Sterns, wenn wir die Seitenlänge des Sechsecks verdoppeln? Verdoppelt er sich, verdreifacht er sich oder nimmt er in einem anderen Verhältnis zu?

Du hast drei starre Stäbe, mit denen du ein Dreieck bauen sollst. Der erste ist $15 \text{ cm}$ lang und der zweite $8 \text{ cm}$. Die Länge des dritten ist $x$.

1. a) Welche Mindestlänge (in ganzen Zentimetern) muss der dritte Stab haben, damit man das Dreieck bilden kann?

1. b) Welche Höchstlänge (in ganzen Zentimetern) könnte er haben?

1. c) Wenn der dritte Stab genau $17 \text{ cm}$ lang wäre, welche Art von Dreieck erhieltest du nach seinen Winkeln? (Tipp: Prüfe, ob die Beziehung $a^2 = b^2 + c^2$ gilt.)

Betrachte die folgende Figur, die ein Logo darstellt, das aus einem Quadrat mit der Seitenlänge $10 \text{ cm}$ besteht, bei dem an den oberen Ecken zwei Dreiecke „abgeschnitten" wurden.

1. Ordne das entstandene Vieleck (die schattierte Fläche) nach seiner Seitenanzahl und seiner Art (konkav oder konvex) ein.

2. Wenn die Schnitte genau durch die Mittelpunkte der Quadratseiten gemacht wurden, berechne den Umfang des neuen Vielecks.

3. Wie groß ist die Summe der Innenwinkel dieses neuen Vielecks?

Ein Spielplatz hat die Form eines unregelmäßigen Fünfecks. Seine Innenwinkel sind $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ und $90^\circ$.

1. Berechne die Größe des fünften Winkels.

2. Kann dieser Spielplatz ein konvexes Fünfeck sein? Begründe deine Antwort.

3. Wenn der Winkel von $90^\circ$ zwischen zwei Seiten der Längen $12 \text{ m}$ und $16 \text{ m}$ liegt, wie lang wäre dann die Strecke, die die Endpunkte dieser beiden Seiten verbindet? (Benutze den Satz des Pythagoras.)

In einem beliebigen Viereck wissen wir, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und gleich lang sind, sich aber nicht in ihrem Mittelpunkt schneiden.

1. Um welche Figur handelt es sich? Zeichne ein ungefähres Beispiel.

2. Wenn die Diagonalen $14 \text{ cm}$ lang sind, können wir den Flächeninhalt des Vierecks berechnen, obwohl es keine Raute und kein Quadrat ist? Wenn ja, berechne ihn.

3. Recherchiere: Wie heißt das Viereck, das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten hat (Drachenform)?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Grafikdesign-Team möchte eine Fliese in Form eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $L$ entwerfen. Im Sechseck zeichnen sie alle Diagonalen ein, die von derselben Ecke ausgehen.

1. In wie viele Dreiecke wird das Sechseck zerlegt?

2. Sind diese Dreiecke untereinander gleich? Ordne sie nach ihren Seiten ein.

3. Wenn der Innenwinkel des Sechsecks $120^\circ$ beträgt, wie groß sind die Winkel jedes der entstandenen Dreiecke?

Stell dir ein regelmäßiges Vieleck vor, bei dem der Mittelpunktswinkel ein Viertel des Innenwinkels beträgt.

1. Stelle eine Gleichung auf, die den Mittelpunktswinkel ($360/n$) und den Innenwinkel ($180 \cdot (n-2) / n$) verbindet, um die Anzahl der Seiten $n$ zu bestimmen.

2. Wie heißt dieses Vieleck?

3. Wie groß ist die Summe seiner Außenwinkel? (Denke daran, dass diese Eigenschaft für alle konvexen Vielecke gilt.)

Um die Summe der Innenwinkel eines konvexen Siebenecks ($7$ Seiten) herzuleiten, ohne eine auswendig gelernte Formel zu benutzen, schlagen zwei Schüler der Klasse 7 zwei verschiedene Strategien vor:

• Sergios Methode: Er wählt eine einzige Ecke des Siebenecks und zeichnet von ihr aus alle möglichen Diagonalen ein, sodass das Vieleck in mehrere Dreiecke zerlegt wird.

• Albas Methode: Sie setzt einen Hilfspunkt in das Innere des Siebenecks und verbindet ihn mit den $7$ Ecken, sodass $7$ Dreiecke entstehen, die diesen Mittelpunkt gemeinsam haben.

1. a) Wende Sergios Methode an: Gib an, wie viele Dreiecke entstehen, berechne die Gesamtsumme ihrer Winkel und begründe, warum diese Summe genau mit der Summe der Innenwinkel des Siebenecks übereinstimmt.
2. b) Wende Albas Methode an: Berechne die Summe der Winkel der $7$ entstandenen Dreiecke und erkläre, welche zusätzliche Rechnung man mit den Winkeln um den inneren Punkt durchführen muss, um die Winkelsumme des Siebenecks zu erhalten.
3. c) Wähle die Methode: Wenn du einem Mitschüler erklären müsstest, wie man die Summe der Innenwinkel eines Vielecks mit $100$ Seiten findet, welche der beiden Methoden würdest du wählen? Vergleiche, wie einfach beide Überlegungen sind, und begründe deine Wahl, indem du die möglichen Flüchtigkeitsfehler bei jedem Weg analysierst.

Beim Bau von Gehwegen und Fußgängerzonen in vielen deutschen Städten werden Platten in Form regelmäßiger Vielecke verwendet. Damit ein Pflaster den Boden vollständig, ohne Lücken und ohne Überlappungen bedeckt, muss die Summe der Innenwinkel, die in einer Ecke zusammentreffen, genau $360^\circ$ betragen.

Ein Stadtplanungsbüro möchte einen Platz pflastern und untersucht drei Vorschläge für regelmäßige Platten:

1. a) Vorschlag A (regelmäßige Fünfecke): Berechne die Größe des Innenwinkels eines regelmäßigen Fünfecks und zeige rechnerisch, warum es unmöglich ist, den Platz ausschließlich mit dieser Plattenart zu pflastern.
2. b) Vorschlag B (regelmäßige Sechsecke): Berechne die Größe des Innenwinkels eines regelmäßigen Sechsecks und bestimme, ob man damit den Platz lückenlos auslegen kann. Wenn ja, wie viele Platten treffen in jeder gemeinsamen Ecke zusammen?
3. c) Vorschlag C (regelmäßige Achtecke): Ein Hersteller behauptet, man könne den Platz pflastern, indem man regelmäßige Achtecke mit einer anderen, kleineren regelmäßigen Figur kombiniert, die die verbleibenden Lücken füllt. Berechne den Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks, zeige, dass zwei Achtecke zusammen den Vollwinkel nicht ausfüllen und dass drei von ihnen nicht in eine Ecke passen, und folgere, welches bekannte regelmäßige Vieleck genau in die Lücke passt, um die $360^\circ$ zu erreichen.