Aufgaben: Tabellen

An einer Schule in Berlin soll untersucht werden, welche Sportart bei den Schülerinnen und Schülern der Klasse 7 am beliebtesten ist. Ordne die folgenden statistischen Merkmale den qualitativen oder quantitativen Merkmalen zu:

• Die bevorzugte Sportart (Fußball, Basketball, Tennis ...).

• Die Anzahl der Stunden pro Woche, in denen sie Sport treiben.

• Die Marke der Sportschuhe, die sie benutzen.

• Die Körpergröße jeder Schülerin und jedes Schülers in Zentimetern.

• Die Anzahl der Medaillen oder Pokale, die sie zu Hause haben.

Die Schulleitung möchte wissen, ob den Schülerinnen und Schülern das neue Mensaessen schmeckt. Um nicht alle 800 Schülerinnen und Schüler zu fragen, hat sie aus jedem Jahrgang zufällig 25 Schülerinnen und Schüler für eine Umfrage ausgewählt. Bestimme die folgenden Elemente der Untersuchung:

• Grundgesamtheit: _____

• Stichprobe: _____

• Merkmalsträger: _____

In der Pause haben wir eine Gruppe von Freunden gefragt, welches Obst sie am liebsten als Snack essen. Die Ergebnisse waren:

Apfel, Banane, Birne, Apfel, Apfel, Birne, Banane, Apfel, Birne, Banane.

Erstelle in deinem Heft eine Häufigkeitstabelle mit einer Spalte für die Strichliste und einer weiteren für die absolute Häufigkeit ($f_i$).

In einem Videospielgeschäft wurden die Verkäufe eines Vormittags notiert:

• Action: $12$

• Abenteuer: $8$

• Sport: $15$

• Strategie: $5$

Berechne den Wert von $N$ (die Gesamtzahl der Daten), indem du die absoluten Häufigkeiten aller Kategorien addierst.

Es wurde eine Umfrage darüber durchgeführt, wie viele Haustiere 20 Familien haben. Die absolute Häufigkeit der Familien mit „2 Haustieren“ ist $4$. Berechne die relative Häufigkeit ($h_i$) dieses Wertes und gib sie als Bruch und als Dezimalzahl an.

In einer Klasse 7 kommen $20\%$ der Schülerinnen und Schüler zu Fuß zur Schule. Wenn die relative Häufigkeit in der Tabelle für diejenigen, die mit dem Bus kommen, $0,25$ beträgt, wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler entspricht dann dieser Wert?

Übertrage die Tabelle und ergänze die fehlenden Angaben in dieser Häufigkeitstabelle zur Augenfarbe einer Personengruppe. Denke daran, dass die Summe der relativen Häufigkeiten $1$ sein muss.

Betrachte die folgende Häufigkeitstabelle, die die Noten einer Mathematikarbeit von $20$ Schülerinnen und Schülern zeigt:

Beantworte die folgenden Fragen:

1. Wie viele Schülerinnen und Schüler haben ein „Befriedigend“ erhalten?

2. Welche Note kommt am häufigsten vor?

3. Wie viele Schülerinnen und Schüler haben die Arbeit bestanden (bestanden gilt von „Ausreichend“ bis „Sehr gut“)?

Elias hat seine 20 Mitschüler nach der Anzahl ihrer Geschwister befragt ($0$, $1$, $2$ oder $3$). Beim Erstellen der Spalte der kumulierten Häufigkeiten ($F_i$) hat er folgende Ergebnisse in sein Heft geschrieben:

• Für 0 Geschwister ($f_1 = 5$): schreibt er $F_1 = 5$.

• Für 1 Geschwister ($f_2 = 9$): schreibt er $F_2 = 1 + 9 = 10$.

• Für 2 Geschwister ($f_3 = 4$): schreibt er $F_3 = 2 + 4 = 6$.

• Für 3 Geschwister ($f_4 = 2$): schreibt er $F_4 = 3 + 2 = 5$.

Am Ende sagt Elias besorgt: „Die letzte kumulierte Häufigkeit ergibt bei mir 5 statt 20, ich weiß nicht, was ich falsch gemacht habe.“

1. a) Bestimme Elias’ Denkfehler und erkläre, welche Werte er versehentlich addiert.
2. b) Schreibe die korrekt berechnete Spalte der kumulierten Häufigkeiten ($F_i$) auf.
3. c) Erkläre in einem vollständigen Satz, welche tatsächliche Bedeutung der Wert von $F_2$ im Zusammenhang mit dieser Klasse hat.

In einer Klasse 7 mit $N = 40$ Schülerinnen und Schülern wird abgestimmt, welches Verkehrsmittel sie hauptsächlich für den Schulweg nutzen:

• Zu Fuß: 18 Schülerinnen und Schüler.

• Mit dem Stadtbus: 12 Schülerinnen und Schüler.

• Mit dem Fahrrad oder Tretroller: 6 Schülerinnen und Schüler.

• Mit dem Auto der Eltern: 4 Schülerinnen und Schüler.

1. a) Schätze ohne zu rechnen:

• Da die Gesamtzahl 40 beträgt: Ist der Prozentsatz der Schülerinnen und Schüler, die zu Fuß gehen, größer, kleiner oder gleich $50\,\%$? Begründe deine Schätzung mit einem Satz.

• Erreicht die Gruppe der Autofahrer $15\,\%$ der Gesamtzahl? Begründe.

1. b) Berechne: Erstelle die vollständige Häufigkeitstabelle mit den Spalten: Verkehrsmittel ($x_i$), absolute Häufigkeit ($f_i$), relative Häufigkeit ($h_i$) und Prozentsatz ($\%$).
2. c) Überprüfe: Vergleiche die genauen Prozentsätze, die du erhalten hast, mit deinen Schätzungen aus Teilaufgabe a) und überprüfe die Kontrollsummen: $\sum f_i$ und $\sum h_i$.

An einem Gymnasium in Berlin soll eine Untersuchung zu den Freizeitgewohnheiten der Schüler durchgeführt werden. Dazu werden die $30$ Schüler der Klasse 7c nach ihrem Lieblingssozialnetzwerk gefragt. Bestimme begründet die folgenden Elemente der statistischen Untersuchung:

• Grundgesamtheit.

• Stichprobe.

• Merkmalsträger.

• Art des Merkmals (qualitativ oder quantitativ).

Eine Gruppe von Freunden hat notiert, wie oft sie in den letzten sechs Monaten im Kino waren. Die erhobenen Daten sind:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1$.

Ordne diese Daten in einer Häufigkeitstabelle, die Folgendes enthält: den Wert des Merkmals ($x_i$), die absolute Häufigkeit ($f_i$) und die kumulierte absolute Häufigkeit ($F_i$).

Es wurde eine Umfrage unter $40$ Jugendlichen zu ihrer bevorzugten Sportart in der städtischen Sporthalle durchgeführt. Ergänze die fehlenden Werte in der folgenden Häufigkeitstabelle, wenn der Stichprobenumfang $N = 40$ beträgt.

In einer Musikklasse wurden die Schüler gefragt, wie viele Instrumente sie spielen können. Die Ergebnisse der kumulierten absoluten Häufigkeit ($F_i$) sind:

• $0$ Instrumente: $F_1 = 4$

• $1$ Instrument: $F_2 = 15$

• $2$ Instrumente: $F_3 = 22$

• $3$ Instrumente: $F_4 = 25$

Berechne die absolute Häufigkeit ($f_i$) für jeden Wert und bestimme, wie viele Schüler insgesamt in der Klasse sind. Wie viel Prozent der Schüler können genau $2$ Instrumente spielen?

Ein Recyclinghof hat den Inhalt eines Gelben Sacks bzw. einer Gelben Tonne untersucht. $45\%$ der Gegenstände waren Plastikflaschen, $30\%$ waren Getränkedosen, $15\%$ waren Milchtüten und der Rest waren andere Metallverpackungen. Wenn insgesamt $200$ Gegenstände untersucht wurden, erstelle eine Häufigkeitstabelle, die die absolute Häufigkeit jeder Abfallart zeigt.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Rekonstruiere aus dem folgenden Säulendiagramm, das die Noten der Schüler einer Klasse in einer Nachschreibarbeit darstellt, die vollständige Häufigkeitstabelle ($x_i, f_i, h_i, \%$).

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Es wurde eine Untersuchung zur Anzahl der Geschwister der Schüler einer Schule durchgeführt. Der Untersuchende hat bei der Berechnung der relativen Häufigkeiten einige Fehler gemacht. Gib an, welche das sind, und korrigiere sie, sodass die Tabelle stimmt.

Eine Ernährungsberaterin hat $50$ Personen gebeten, eine Woche lang aufzuschreiben, wie viele Stücke Obst sie pro Tag essen. Die zusammengefassten Daten sind:

• $20\%$ essen kein Stück.

• $15$ Personen essen $1$ Stück.

• Die relative Häufigkeit derer, die $2$ Stück essen, beträgt $0,3$.

• Die übrigen essen $3$ Stück.

Erstelle die vollständige Häufigkeitstabelle und beantworte: Welche Anzahl(en) von Obststücken ist bzw. sind der Modalwert dieser Untersuchung?

In einem Kopfrechentest der Klasse 7, bewertet mit Noten von 1 bis 5, erzielte eine Gruppe von $N = 25$ Schülerinnen und Schülern verschiedene Noten. Die Liste der einzelnen Noten ist verloren gegangen, aber aus dem statistischen Bericht gibt es noch diese Hinweise:

1. Die erste kumulierte Häufigkeit ist $F_1 = 3$.

2. Die kumulierte Häufigkeit bis zur Note 2 ist $F_2 = 8$.

3. Die relative Häufigkeit der Note 3 beträgt genau $h_3 = 0,24$.

4. Die kumulierte Häufigkeit bis zur Note 4 ist $F_4 = 22$.

5. Alle bewerteten Schülerinnen und Schüler erhielten eine Note zwischen 1 und 5.

1. a) Leite Schritt für Schritt die absolute Häufigkeit ($f_i$) jeder der 5 möglichen Noten her und gib jeweils die Rechnung oder Eigenschaft an, die du verwendest.
2. b) Wie viele Schülerinnen und Schüler haben den Test bestanden (Note 3 oder besser)? Antworte mit zwei verschiedenen Verfahren: einmal durch Addieren der absoluten Häufigkeiten und einmal mithilfe der kumulierten Häufigkeiten.
3. c) Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler erzielten die Höchstnote (5)?

Im Rahmen einer Initiative zum verantwortungsvollen Umgang mit Bildschirmen befragt eine Klasse 7 50 Familien aus ihrem Viertel, wie viele Geräte mit großem Bildschirm (Computer, Tablets und Smart-TVs, Handys nicht mitgezählt) sie zu Hause haben. Die Daten lauten:

• 1 Gerät: 6 Familien.

• 2 Geräte: 14 Familien.

• 3 Geräte: 18 Familien.

• 4 Geräte: 8 Familien.

• 5 Geräte: 4 Familien.

1. a) Stelle diese Daten in einer vollständigen Häufigkeitstabelle dar. Sie soll enthalten: Anzahl der Geräte ($x_i$), absolute Häufigkeit ($f_i$), relative Häufigkeit ($h_i$), Prozentsatz ($\%$) und kumulierte Häufigkeit ($F_i$).
2. b) Als „mäßige Ausstattung“ gilt es, höchstens 3 Geräte zu Hause zu haben. Welche Spalte und welcher Wert der Tabelle zeigt dir direkt, wie viele Familien diese Bedingung erfüllen, ohne Zeile für Zeile addieren zu müssen? Wie viel Prozent der Gesamtzahl sind das?
3. c) Die Gemeinde bietet Familien mit 2 oder weniger Geräten ein Leihprogramm für Computer an. Wie vielen Familien der Stichprobe würde das nützen? Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und in Prozent an.

Bei einer Umfrage zur Anzahl der Haustiere in 50 Haushalten eines Stadtviertels ist die Häufigkeitstabelle verschmiert worden und mehrere Daten sind verloren gegangen. Deine Aufgabe ist es, die vollständige Tabelle mithilfe der verbleibenden Hinweise zu rekonstruieren:

1. Der Stichprobenumfang ist $N = 50$.

2. Die relative Häufigkeit für 1 Haustier beträgt genau $0,32$.

3. Die Anzahl der Haushalte mit 3 Haustieren ist doppelt so groß wie die der Haushalte mit 4 Haustieren.

4. Es gibt nur einen Haushalt mit 5 Haustieren.

5. Der Anteil der Haushalte ohne Haustiere (0) beträgt $12\%$.

Vervollständige die Tabelle, indem du für jeden Wert die absolute Häufigkeit ($f_i$), die relative Häufigkeit ($h_i$) und den Prozentsatz ($\%$) berechnest.

Ein Streamingdienst hat untersucht, wie viele Stunden 40 Jugendliche am Wochenende Serien schauen. Wir haben nur die Spalte der kumulierten absoluten Häufigkeiten ($F_i$) erhalten:

• 1 Stunde: $F_1 = 6$

• 2 Stunden: $F_2 = 15$

• 3 Stunden: $h_3 = 0,25$ (relative Häufigkeit, nicht kumuliert)

• 4 Stunden: $F_4 = 34$

• 5 Stunden: $F_5 = 40$

Erstelle aus diesen Daten die vollständige Häufigkeitstabelle mit der absoluten Häufigkeit ($f_i$) jedes Werts, der kumulierten relativen Häufigkeit ($H_i$) und dem Prozentsatz ($\%$) jedes Werts.

Bei einem E-Sport-Turnier wird die Anzahl der Siege von 80 Teilnehmenden erfasst. Das Kreisdiagramm, das diese Daten darstellt, hat für die einzelnen Kategorien die folgenden Winkel:

• 0 Siege: $72^\circ$

• 1 Sieg: $108^\circ$

• 2 Siege: $144^\circ$

• 3 Siege: Der Rest des Kreises.

Erstelle die vollständige Häufigkeitstabelle ($f_i$, $h_i$, $\%$), wenn die Gesamtzahl der Merkmalsträger $N = 80$ beträgt. Wie viele Spieler haben die höchste Anzahl an Siegen erreicht?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Eine Mathematikarbeit in Klasse 7 wird mit 1 bis 10 Punkten bewertet. Der Lehrer gibt uns die folgenden Informationen zu den Ergebnissen der 30 Schülerinnen und Schüler:

1. $20\%$ der Klasse haben 5 Punkte erhalten.

2. Die Punktzahlen 1, 2, 3 und 10 haben eine absolute Häufigkeit von 0.

3. Es gibt gleich viele Schüler mit 6 Punkten wie mit 7 Punkten.

4. Die relative Häufigkeit derjenigen, die 9 Punkte hatten, beträgt $0,1$.

5. Es gibt 4 Schüler mit 4 Punkten und 3 Schüler mit 8 Punkten.

Berechne, wie viele Schüler 6 Punkte und wie viele 7 Punkte hatten, und erstelle die vollständige Häufigkeitstabelle mit allen behandelten Spalten ($f_i, F_i, h_i, H_i, \%$).

Die Stadt hat die Anzahl der Insassen der Fahrzeuge erfasst, die gestern in die Innenstadt gefahren sind. Im Abschlussbericht wurden Fehler entdeckt. Bestimme, welche Angaben in der folgenden Tabelle mit 200 Fahrzeugen unmöglich oder falsch sind, und korrigiere sie unter der Annahme, dass in der Zeile „3 Personen“ die Angabe in der Spalte $f_i$ falsch ist (und nicht die in $h_i$ oder der Prozentsatz):

Bei einer Stichprobe von Personen wurde der tägliche Obstkonsum untersucht. Wir wissen:

• $H_2$ (kumulierte relative Häufigkeit für den Verzehr von 2 Stück) beträgt $0,75$.

• $f_1 = 12$

• $f_0$ (0 Stück) ist halb so groß wie $f_1$.

• Der Stichprobenumfang ist $N = 40$.

Berechne die absolute Häufigkeit für den Verzehr von 2 Stück ($f_2$) und vervollständige die Tabelle für die Werte 0, 1, 2 und 3 (3 ist der größte Wert der Untersuchung).

Bei einer Qualitätskontrolle in einer Glühlampenfabrik werden 120 Stück getestet, um zu sehen, wie viele Stunden sie bis zum Ausfall brennen (auf Tausend Stunden gerundet). Die erhobenen Daten sind:

• $35\%$ hielten 1000 h.

• Die absolute Häufigkeit der Lampen mit 2000 h ist 30.

• Die relative Häufigkeit der Lampen mit 3000 h ist $0,15$.

• Die übrigen Lampen hielten 4000 h.

Ordne diese Daten in einer Häufigkeitstabelle, die absolute und relative Häufigkeiten, Prozentsätze und kumulierte Häufigkeiten enthält. Wie viel Prozent der Lampen hielten 3000 Stunden oder länger?

Eine Gruppe von Schülern wird nach der Anzahl der im letzten Jahr gelesenen Bücher gefragt. Die Gesamtzahl der Schüler ist nicht angegeben, aber wir wissen:

• Absolute Häufigkeit von 1 Buch: $f_1 = 8$.

• Relative Häufigkeit von 1 Buch: $h_1 = 0,16$.

• Kumulierte relative Häufigkeit bis 2 Bücher: $H_2 = 0,5$.

• Absolute Häufigkeit von 3 Büchern: $f_3 = 15$.

• Die übrigen Schüler lasen 4 Bücher (alle lasen mindestens 1 Buch und niemand las mehr als 4).

Berechne zuerst den Umfang der Grundgesamtheit ($N$). Vervollständige danach die Häufigkeitstabelle und finde heraus, wie viele Schüler 4 Bücher gelesen haben.

Zwei Klassen der Jahrgangsstufe 7 treten eine Woche lang in einer schulischen Recycling-Aktion für Verpackungen gegeneinander an:

• In der 7a sind 25 Schüler, und 15 von ihnen haben mehr als 5 Verpackungen recycelt.

• In der 7b sind 30 Schüler, und 17 von ihnen haben mehr als 5 Verpackungen recycelt.

Um den Preis an die engagiertere Klasse zu vergeben, werden zwei Kriterien vorgeschlagen:

• Kriterium von Sven: „Die 7b muss gewinnen, weil ihre absolute Häufigkeit größer ist ($17 > 15$). Es haben mehr Schüler recycelt.“

• Kriterium von Lea: „Es ist nicht fair, absolute Häufigkeiten zu vergleichen, weil die Gruppen nicht gleich groß sind; wir müssen relative Häufigkeiten oder Prozentsätze vergleichen.“

1. a) Wende beide Methoden an: Berechne die absolute Häufigkeit und die relative Häufigkeit (in Prozent) der engagierten Schüler in jeder Klasse. Welche Gruppe gewinnt nach welchem Kriterium?
2. b) Begründe, welche der beiden Methoden statistisch gültig ist, um zwei Stichproben unterschiedlichen Umfangs ($N_A \ne N_B$) zu vergleichen, und warum die andere zu falschen Schlüssen führen kann.
3. c) Gib ein Zahlenbeispiel mit zwei unterschiedlich großen Gruppen ($N_1 = 20$ und $N_2 = 40$) an, bei dem beide Kriterien (absolut und relativ) dieselbe Gruppe als Gewinner nennen, und erkläre, warum das so ist.

In einem Jugendleseclub wird untersucht, wie viele Bücher die Mitglieder im letzten Quartal gelesen haben. Das Merkmal nimmt nur ganzzahlige Werte von 0 bis 4 an. Wegen eines Computerfehlers wurde ein Teil des Berichts gelöscht, aber die folgenden Beziehungen sind bekannt:

1. Die kumulierte relative Häufigkeit für 2 oder weniger Bücher ist $H_2 = 0,70$ (das heißt, $70\,\%$ der Mitglieder lasen höchstens 2 Bücher).

2. Genau $20\,\%$ der Mitglieder lasen 3 Bücher ($h_3 = 0,20$).

3. Nur 4 Mitglieder lasen 4 Bücher ($f_4 = 4$).

4. Die Anzahl der Mitglieder, die kein Buch gelesen haben ($x_0 = 0$), ist genau gleich der Anzahl der Mitglieder, die 2 Bücher gelesen haben ($x_2 = 2$).

5. Die Anzahl der Mitglieder, die 1 Buch gelesen haben ($x_1 = 1$), ist doppelt so groß wie die derjenigen, die keines gelesen haben.

1. a) Leite aus den Anteilen der Mitglieder, die 3 und 4 Bücher gelesen haben, begründet den Gesamtumfang der Stichprobe ($N$) her.
2. b) Berechne mithilfe der Gesamtzahl $N$ und der Bedingungen zu 0, 1 und 2 Büchern die absolute Häufigkeit ($f_i$) jedes dieser drei Werte.
3. c) Erstelle die vollständige Häufigkeitstabelle ($x_i$, $f_i$, $h_i$, $\%$, $F_i$) und überprüfe, dass alle Bedingungen der Aufgabe und die Kontrollsummen erfüllt sind.