Aufgaben: Größter gemeinsamer Teiler

Bestimme alle Teiler der Zahlen $12$ und $18$. Gib anschließend die gemeinsamen Teiler an und kennzeichne, welcher davon der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist.

Du kannst dir mit einem Diagramm wie in der Abbildung helfen: Schreibe in jeden Kreis die Teiler der jeweiligen Zahl und in den Bereich, in dem sich die Kreise überschneiden, die gemeinsamen.

Betrachte die Primfaktorzerlegungen dieser beiden Zahlen und bestimme ihren ggT:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Erinnere dich an die Regel: „Für den ggT nehmen wir die gemeinsamen Faktoren mit dem kleinsten Exponenten."

Bestimme im Kopf den $\text{ggT}$ der folgenden Zahlenpaare. Es sind kleine Zahlen, bei denen du den größten gemeinsamen Teiler auf einen Blick erkennen kannst:

1. a) $\text{ggT}(4, 8)$
2. b) $\text{ggT}(5, 10)$
3. c) $\text{ggT}(7, 14)$
4. d) $\text{ggT}(10, 20)$

Was haben alle diese Ergebnisse gemeinsam?

In der Technik-Werkstatt haben die Schüler zwei Holzleisten mit den Längen $36$ cm und $48$ cm. Sie sollen in gleich lange Stücke zersägt werden, wobei die Länge so groß wie möglich sein soll.

1. a) Wie lang ist jedes Stück?
2. b) Wie viele Stücke erhalten sie insgesamt aus beiden Leisten?

In einer Bibliothek sollen $45$ Abenteuerbücher und $60$ Science-Fiction-Bücher so in Regale einsortiert werden, dass in jedem Regalbrett gleich viele Bücher stehen und diese Anzahl so groß wie möglich ist.

1. a) Wie viele Bücher kommen auf jedes Regalbrett?
2. b) Wie viele Regalbretter werden für die Abenteuerbücher und wie viele für die Science-Fiction-Bücher benötigt?

Lukas soll den größten gemeinsamen Teiler von $72$ und $120$ berechnen. In seinem Heft führt er die Primfaktorzerlegung durch und schreibt Folgendes auf:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$\text{ggT}(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$

Auf die Frage seiner Lehrerin nach dem Vorgehen erklärt Lukas: „Ich habe die Faktoren mit dem größten Exponenten genommen, auch die nicht gemeinsamen, weil die Regel ‚größter Teiler' heißt. Das Ergebnis muss also der größtmögliche Teiler sein."

1. a) Erkläre begründet, ohne die Rechnungen neu zu machen, warum das Ergebnis $360$ als Teiler von $72$ und von $120$ absurd und unmöglich ist.
2. b) Welchen mathematischen Begriff hat Lukas durch seinen Fehler bei der Anwendung dieser Regel tatsächlich berechnet?
3. c) Korrigiere Lukas' Lösung: Erkläre, nach welchem Kriterium man bei der Berechnung des ggT die Primfaktoren auswählt, und berechne den richtigen Wert von $\text{ggT}(72, 120)$.

Du sollst den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen berechnen: $48$ und $72$.

1. a) Überlege vor dem Rechnen die Grenzen des Ergebnisses: Könnte der ggT gleich $96$ sein? Und könnte er gleich $48$ sein? Erkläre, warum der ggT zweier Zahlen nie größer sein kann als die kleinere von beiden.
2. b) Beide Zahlen sind gerade (durch $2$ teilbar) und die Quersumme beider Zahlen ist ein Vielfaches von $3$ (durch $3$ teilbar). Schätze, welcher der folgenden vier Werte vor der Zerlegung der plausibelste Kandidat für den ggT ist: $5$, $12$, $24$ oder $36$. Begründe, warum du die anderen drei ausschließt.
3. c) Zerlege $48$ und $72$ in Primfaktoren, berechne den $\text{ggT}(48, 72)$ genau und prüfe, ob deine Schätzung aus dem vorherigen Teil richtig war.

Berechne den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der folgenden Zahlengruppen mithilfe der Primfaktorzerlegung:

1. a) $48$ und $72$
2. b) $30, 45$ und $60$
3. c) $120$ und $150$

An der Schule wurde ein Kennenlerntag organisiert. Es gibt $54$ Schüler der Klasse 7 und $42$ Schüler der Klasse 8. Es sollen Teams gebildet werden, sodass jedes Team nur aus Schülern derselben Klassenstufe besteht (Klasse 7 und 8 werden nicht gemischt). Alle Teams müssen genau gleich groß sein, und diese Größe soll so groß wie möglich sein, ohne dass jemand übrig bleibt.

1. a) Wie viele Schüler sind in jedem Team?

1. b) Wie viele Teams aus Klasse 7 und wie viele aus Klasse 8 werden gebildet?

Betrachte die folgenden Primfaktorzerlegungen von drei Zahlen und gib an, ohne die Multiplikationen auszuführen, was ihr $\text{ggT}$ ist:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler die $1$ ist. Prüfe, ob die folgenden Zahlenpaare teilerfremd sind, indem du ihren größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) berechnest:

1. a) $14$ und $15$
2. b) $22$ und $33$
3. c) $21$ und $25$

Für eine Tafel spendet ein Supermarkt $36$ Dosen Hülsenfrüchte, $48$ Kartons Milch und $60$ Packungen Reis. Es sollen möglichst viele gleiche Tüten zum Verteilen gepackt werden, sodass in jeder Tüte von jeder Sorte gleich viele Produkte sind.

1. a) Wie viele Tüten können höchstens gepackt werden?
2. b) Was enthält jede Tüte?

Erfinde zwei verschiedene natürliche Zahlen $a$ und $b$, sodass die folgende Bedingung erfüllt ist:

$\text{ggT}(a, b) = 12$

Begründe deine Antwort, indem du die Primfaktorzerlegung der gewählten Zahlen angibst.

Zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers stehen dir zwei Hauptstrategien zur Verfügung:

• Methode 1 (Teilerlisten): Alle Teiler jeder Zahl aufschreiben, die gemeinsamen heraussuchen und den größten wählen.

• Methode 2 (Primfaktorzerlegung): In Primfaktoren zerlegen und nur die gemeinsamen Faktoren mit ihrem kleineren Exponenten multiplizieren.

Es gibt zwei Rechenfälle:

• Fall A: Bestimme den $\text{ggT}(15, 25)$.

• Fall B: Bestimme den $\text{ggT}(210, 294)$.

1. a) Welche Methode wählst du für Fall A, weil sie direkter ist und weniger Schritte erfordert? Wende sie an und bestimme das Ergebnis.
2. b) Erkläre für Fall B ausführlich, warum Methode 1 im Vergleich zu Methode 2 lang, mühsam und mit hohem Risiko verbunden wäre, Teiler zu vergessen.
3. c) Löse Fall B mit Methode 2 Schritt für Schritt: Zeige die Zerlegung von $210$ und von $294$, gib an, welche Faktoren du auswählst, und berechne den $\text{ggT}(210, 294)$.

In einer Genossenschaftsölmühle in Jaén ist die Ernte mit zwei besonderen Tanks Natives Olivenöl Extra abgeschlossen: Einer enthält $420$ Liter der Sorte Picual, der andere $300$ Liter der Sorte Arbequina. Für den Verkauf in Feinkostläden soll das gesamte Öl in identische Kanister mit möglichst großem Fassungsvermögen in ganzen Litern abgefüllt werden, sodass alle Kanister gleich sind, keine Sorten in einem Behälter gemischt werden und in den Tanks nichts übrig bleibt.

1. a) Modelliere das Problem mathematisch: Welches Teilbarkeitskonzept stellt das Fassungsvermögen der Kanister dar? Berechne, wie viele Liter jeder Kanister enthalten muss.
2. b) Wie viele Kanister Picual-Öl und wie viele Arbequina-Öl werden insgesamt gefüllt?
3. c) Wenn aufgrund von Transportvorschriften zum Gewicht kein Kanister mehr als $25$ Liter fassen darf, ist die obige Aufteilung dann zulässig? Wenn nicht, bestimme mithilfe der gemeinsamen Teiler der beiden Mengen das größte erlaubte Fassungsvermögen pro Kanister, das weiterhin alle ursprünglichen Bedingungen erfüllt.

Eine Streetart-Künstlerin möchte ein Wandbild auf einer rechteckigen Wand gestalten, die $210$ cm hoch und $165$ cm breit ist. Für ihren Entwurf will sie die gesamte Wand in gleich große Quadrate einteilen, die möglichst groß sind, ohne dass sie ein Stück zuschneiden muss.

1. a) Wie lang muss die Seite jedes Quadrats sein, damit die ganze Wand bedeckt ist?
2. b) Aus wie vielen Quadraten besteht das Wandbild insgesamt?

Wir suchen die größtmögliche Zahl, die beim Teilen der Zahlen $159$ und $195$ in beiden Fällen den Rest $3$ lässt. Begründe die Schritte, mit denen du sie findest, mithilfe des Begriffs größter gemeinsamer Teiler.

Wir wissen, dass der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen $12$ ist und dass eine dieser Zahlen $48$ ist. Wenn die andere Zahl größer als $50$, aber kleiner als $70$ ist:

1. a) Bestimme diese zweite Zahl.
2. b) Begründe deine Antwort mithilfe der Primfaktorzerlegung.

Ein Gärtner möchte einen rechteckigen Gemüsegarten von $90$ Metern Länge und $126$ Metern Breite mit Pfosten für einen Zaun umgeben. Der Besitzer hat ihn gebeten, an jeder Ecke einen Pfosten zu setzen und dafür zu sorgen, dass der Abstand zwischen den Pfosten immer gleich und möglichst groß ist.

1. a) Welchen Abstand muss er zwischen den einzelnen Pfosten lassen?
2. b) Wie viele Pfosten benötigt er insgesamt, um den gesamten Umfang des Gartens zu umgeben?

Ein Pharmalabor muss zwei Sorten Tabletten, $A$ und $B$, in identische Blister verpacken. Wir kennen die genaue Anzahl der Tabletten jeder Sorte nicht, aber die Kontrollprotokolle zeigen, dass sie die folgenden fünf Bedingungen genau erfüllen:

1. Beide sind zweistellige Zahlen ($A < 100$ und $B < 100$).

2. Ihr größter gemeinsamer Teiler ist $15$: $\text{ggT}(A, B) = 15$.

3. Keine der beiden Zahlen ist ein Vielfaches der anderen (das heißt, $A$ teilt weder $B$, noch teilt $B$ die Zahl $A$).

4. Die Anzahl $A$ ist eine gerade Zahl und die Anzahl $B$ ist eine ungerade Zahl.

5. Die Summe beider Zahlen beträgt genau $135$ Tabletten ($A + B = 135$).

1. a) Wenn $\text{ggT}(A, B) = 15$ gilt, können wir $A = 15 \cdot a$ und $B = 15 \cdot b$ schreiben. Folgere, welche zwingende mathematische Bedingung die Zahlen $a$ und $b$ zueinander erfüllen müssen und welchen Wert die Summe $a + b$ haben muss.
2. b) Bestimme die genauen Werte von $A$ und $B$ und überprüfe, dass alle fünf Bedingungen erfüllt sind.
3. c) Zeige begründet, warum es kein anderes Zahlenpaar gibt, das alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt.

Während einer Diskussion über Zahleneigenschaften im Unterricht stellen zwei Schüler die folgenden Behauptungen auf:

• Marta behauptet: „Wenn zwei Zahlen zusammengesetzt sind (d. h. keine von beiden ist eine Primzahl), können sie unmöglich teilerfremd sein, denn weil sie mehrere Teiler haben, haben sie immer einen gemeinsamen Teiler, der größer als $1$ ist."

• Sergio behauptet: „Wenn wir zwei beliebige teilerfremde Zahlen nehmen und zu beiden $1$ addieren, ist das neue Zahlenpaar immer noch teilerfremd."

1. a) Untersuche Martas Behauptung. Erinnere dich, was die Definition von „teilerfremden Zahlen" bedeutet, und zeige, dass ihre Behauptung falsch ist, indem du ein Gegenbeispiel mit zwei zusammengesetzten Zahlen kleiner als $30$ angibst. Berechne den ggT, um das zu begründen.
2. b) Untersuche Sergios Behauptung. Zeige, dass auch seine Behauptung falsch ist, indem du ein Zahlenpaar $x$ und $y$ findest, das teilerfremd ist ($\operatorname{ggT}(x, y) = 1$), für das aber $x + 1$ und $y + 1$ einen gemeinsamen Teiler haben, der größer als $1$ ist.
3. c) Begründe und beweise die folgende theoretische Eigenschaft: Wenn wir zwei beliebige aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ($n$ und $n + 1$) nehmen, was ist dann immer ihr ggT? (Tipp: Überlege, welcher Zusammenhang zwischen der Differenz zweier Zahlen und den gemeinsamen Teilern besteht.)

Projekt zum Thema. Organisiere bei dir zu Hause eine Spendenaktion!

1. Sammeln und Kriterien: Zähle zwei Arten haltbarer Lebensmittel in eurem Vorratsschrank (zum Beispiel $A$ Dosen und $B$ Packungen, mit $A, B \ge 18$). Bestimme ihre Teiler und nächsten Vielfachen und prüfe, ob sie die Teilbarkeitsregeln für $2$, $3$ und $5$ erfüllen.

2. Primfaktorzerlegung, ggT und kgV: Führe die Primfaktorzerlegung von $A$ und $B$ durch. Bestimme den $\text{ggT}(A, B)$, um die größtmögliche Anzahl identischer Pakete ohne Rest zu bilden, und das $\text{kgV}(A, B)$, um vorherzusagen, nach wie vielen Tagen beide Produkte gleichzeitig aufgebraucht sind (wenn du jeden Tag eine Einheit von jedem verbrauchst und dieselbe Menge nachkaufst, sobald sie aufgebraucht ist).

3. Gleichungen und Division mit Rest: Stelle eine lineare Gleichung auf und löse sie, um zu berechnen, wie viele zusätzliche Dosen $x$ du kaufen musst, um $6$ volle Kisten zu füllen: $A + x = 6 \cdot k$ (wähle das nächsthöhere Vielfache). Überprüfe die Division mit Rest ($D = d \cdot c + r$) und berechne das Budget, wenn jede Dose $1,25\text{ €}$ kostet.

4. Endprodukt: Gestalte eine Tabellenkalkulation mit den Datentabellen, den Teilbarkeitsformeln und einem begründeten Vorschlag für die Tafel.

Bewertet wird:

• Sorgfältige Anwendung der Teilbarkeitsregeln und der Primfaktorzerlegung.

• Lösung von $\text{ggT}$ und $\text{kgV}$ im Sachzusammenhang.

• Aufstellen der Gleichung und korrekte Verwendung der Division mit Rest.

• Aufbau, Formeln und Übersichtlichkeit der Tabellenkalkulation.