Aufgaben: Bruchdarstellung einer Dezimalzahl

Um mit Bruchdarstellungen zu arbeiten, ist es wichtig zu wissen, welche Art von Zahl vorliegt. Ordne die folgenden Dezimalzahlen ein: abbrechend, reinperiodisch oder gemischtperiodisch:

1. a) $3,15$
2. b) $0,666...$
3. c) $12,4777...$
4. d) $5,232323...$
5. e) $8,02333...$

Im Naturwissenschaftsraum hast du eine Sandprobe gewogen und die Waage zeigt $0,75$ Gramm an. Schreibe diese Zahl als Dezimalbruch (mit einer Zehnerpotenz im Nenner) und kürze sie dann zu ihrer vollständig gekürzten Bruchdarstellung.

Bestimme die Bestandteile der folgenden periodischen Dezimalzahlen. Gib für jede Zahl den ganzzahligen Anteil, die Vorperiode (falls vorhanden) und die Periode an:

1. a) $5,888...$

1. b) $0,1232323...$

1. c) $14,5262626...$

Bestimme die Bruchdarstellung der folgenden abbrechenden Dezimalzahlen. Denke daran, das Ergebnis zu kürzen, wann immer es möglich ist:

1. a) $0,5$
2. b) $1,2$
3. c) $0,25$
4. d) $0,08$

Ein Videospiel zeigt an, dass du $0,\overline{6}$ einer Mission geschafft hast. Um den genauen Teil der Karte zu erfahren, den du zurückgelegt hast, wandle diese reinperiodische Dezimalzahl in ihre Bruchdarstellung um.

Ordne jeder Dezimalzahl den passenden Bruch zu. Lange Rechnungen sind nicht nötig, nutze die Logik der abbrechenden Dezimalzahlen:

Bestimme die Bruchdarstellung der folgenden reinperiodischen Dezimalzahlen mit einer Ziffer in der Periode. Kürze, wenn du kannst:

1. a) $0,\overline{3}$
2. b) $0,\overline{7}$
3. c) $1,\overline{1}$
4. d) $0,\overline{5}$

In einem Angebot eines Musikgeschäfts kostet ein digitales Album $9,90$ €. Gib den Preis des Albums als Bruch natürlicher Zahlen an und kürze ihn, bis es nicht mehr weiter geht.

Um die reinperiodische Dezimalzahl $0,\widehat{4}$ als Bruch darzustellen, hat Karl an die Tafel geschrieben:

1. a) Erkläre, noch ohne zu dividieren, welche Verwechslung zwischen abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen Karl bei der Wahl des Nenners unterlaufen ist.
2. b) Überprüfe Karls Fehler, indem du $2$ durch $5$ schriftlich dividierst, und begründe, warum sein Ergebnis nicht mit der Ausgangszahl übereinstimmt.
3. c) Wende die Regel zur Bruchdarstellung an, um den vollständig gekürzten Bruch zu bestimmen, der $0,\widehat{4}$ exakt darstellt.

Wir wollen die Bruchdarstellung der reinperiodischen Dezimalzahl $0,\widehat{7}$ bestimmen.

1. a) Schätze: Denke daran, dass $0,5 = \frac{1}{2}$ und $0,75 = \frac{3}{4}$ gilt. Begründe, ob der Wert von $0,\widehat{7}$ größer oder kleiner als $\frac{3}{4}$ sein muss.
2. b) Berechne: Bestimme die Bruchdarstellung von $0,\widehat{7}$ mit der Regel für reinperiodische Dezimalzahlen. Ist der Bruch vollständig gekürzt oder lässt er sich noch kürzen?
3. c) Überprüfe: Bringe den Bruch $\frac{3}{4}$ und den Bruch aus dem vorigen Teil auf den Hauptnenner und vergleiche ihre Zähler. Bestätigen die Rechnungen deine anfängliche Schätzung?

Ordne die folgenden Dezimalzahlen ein: abbrechend, reinperiodisch oder gemischtperiodisch. Bestimme danach für jede Zahl die Bruchdarstellung und kürze das Ergebnis, bis du einen vollständig gekürzten Bruch erhältst:

1. a) $3,15$
2. b) $0,\widehat{12}$
3. c) $2,1\widehat{6}$

In einem Strategiespiel zeigt ein Ladebalken, dass $0,85$ einer besonderen Mission abgeschlossen sind. Welcher vollständig gekürzte Bruchteil der Mission ist bereits geschafft? Bestimme die Bruchdarstellung dieser Dezimalzahl und kürze sie.

Bei einem Einzelzeitfahren der Deutschland Tour misst die offizielle Zeitnahme, dass der Sieger genau $1,1\widehat{6}$ Stunden für die Strecke gebraucht hat.

1. a) Ordne diese Dezimalzahl ein (abbrechend, reinperiodisch oder gemischtperiodisch) und gib den ganzzahligen Anteil, die Vorperiode und die Periode an.
2. b) Bestimme die vollständig gekürzte Bruchdarstellung dieser Zeit in Stunden, indem du zuerst den Bruch zum Dezimalteil bestimmst und danach den ganzzahligen Anteil addierst.
3. c) Ein Fernsehkommentator rundet den Wert auf $1,16$ Stunden und sagt: „Der Radfahrer hat genau $1$ Stunde und $16$ Minuten gebraucht.“ Multipliziere den vollständig gekürzten Bruch aus dem vorigen Teil mit den $60$ Minuten einer Stunde, um die genaue tatsächliche Zeit zu bestimmen, und erkläre die zwei Fehler des Kommentators.

Um die Bruchdarstellung der reinperiodischen Dezimalzahl $2,\widehat{54}$ zu bestimmen, gehen zwei Schülerinnen unterschiedlich vor:

• Ireness Vorgehen (gemischte Zahl): Sie trennt den ganzzahligen Anteil ab und schreibt $2 + \frac{54}{99}$. Dann kürzt sie den periodischen Bruch und addiert zuletzt den ganzzahligen Anteil.

• Sofias Vorgehen (direkter Bruch): Sie schreibt in den Zähler die Differenz aus der gesamten Zahl ohne Komma und dem ganzzahligen Anteil: $\frac{254 - 2}{99}$, und kürzt danach den entstandenen Bruch.

1. a) Führe beide Verfahren Schritt für Schritt aus und überprüfe, dass man mit beiden auf denselben vollständig gekürzten Bruch kommt.
2. b) Vergleiche die beiden Wege: Welcher ist vorteilhafter, wenn du mit einer Zahl mit sehr großem ganzzahligem Anteil arbeiten musst, etwa $340,\widehat{6}$? Begründe deine Antwort, indem du den Rechenaufwand in beiden Fällen beurteilst.

Wir suchen eine Dezimalzahl größer als $1$, deren vollständig gekürzte Bruchdarstellung zwingend den Nenner $33$ hat. Wir wissen, dass ihr ganzzahliger Anteil $1$ ist und ihre Periode aus zwei Ziffern besteht, die mit $4$ beginnen; die Zahl hat also die Form $1,\widehat{4a}$, wobei $a$ eine unbekannte Ziffer ist.

1. a) Begründe, warum diese Dezimalzahl notwendigerweise reinperiodisch sein muss und weder abbrechend noch gemischtperiodisch sein kann, indem du untersuchst, von welchem ungekürzten Nenner das $33$ stammt.
2. b) Schreibe den Bruch mit dem Nenner $99$ auf, der zum vollständig gekürzten Bruch mit dem Nenner $33$ gleichwertig ist. Durch welchen Faktor musste gekürzt werden?
3. c) Finde heraus, welche Werte die Ziffer $a$ annehmen kann, damit der Bruch nach dem Kürzen durch diesen Faktor vollständig gekürzt ist und den Nenner $33$ behält (denke daran, dass der gekürzte Zähler mit $33$ keine gemeinsamen Teiler haben darf). Schreibe die gefundenen Dezimalzahlen und ihre vollständig gekürzten Brüche auf.

In einer seismischen Messstation des Geoforschungszentrums in Potsdam registrieren zwei Sensoren die Bewegung einer Verwerfung:

• Sensor A misst eine Verschiebung von $0,2\widehat{6}$ Millimetern.

• Sensor B misst eine Verschiebung von $0,\widehat{4}$ Millimetern.

Ein neuer Techniker behauptet: „Wir addieren die Ziffern direkt: $0,2\widehat{6} + 0,\widehat{4} = 0,6\widehat{10}$, das entspricht genau einer Gesamtverschiebung von $0,7$ Millimetern.“

1. a) Begründe ausführlich, warum das Vorgehen des Technikers mathematisch falsch ist, und erkläre, welches Problem entsteht, wenn man Ziffern, die sich unendlich oft wiederholen, direkt addieren will.
2. b) Modelliere die Situation, indem du die vollständig gekürzte Bruchdarstellung der Messung jedes Sensors bestimmst.
3. c) Addiere beide Brüche, um die vollständig gekürzte Bruchdarstellung der Gesamtverschiebung zu erhalten. Wandle sie wieder in eine Dezimalzahl um, ordne die entstandene Dezimalzahl ein und berechne den genauen Unterschied zwischen dem tatsächlichen Wert und den $0,7$ Millimetern, die der Techniker geschätzt hat.