Aufgaben: Andere Zahlensysteme

Computer verwenden das Binärsystem (Basis 2) zur Verarbeitung von Informationen und benutzen nur die Ziffern $0$ und $1$. Um zu verstehen, wie eine Maschine „denkt“, wandle die Dezimalzahl $13$ mit dem Verfahren der fortgesetzten Division durch $2$ in Binärcode um.

Im Schema siehst du die Divisionen, die du durchführen musst. In jeder Zeile wird der Quotient der vorherigen Zeile durch $2$ geteilt. Das setzt du fort, bis der Quotient $0$ ist.

1. a) Vervollständige die Felder des Schemas: Quotient und Rest jeder Division, bis du beim Quotienten $0$ ankommst.

1. b) Lies die Reste von unten nach oben (vom letzten zum ersten) und schreibe die Zahl $13$ zur Basis 2.

An der Fassade eines alten Theaters in deiner Stadt ist das Jahr seiner Eröffnung in römischen Zahlen eingemeißelt: MCMXCVIII. Übersetze diese Zahl in unser Dezimalsystem, um zu erfahren, in welchem Jahr das Theater eröffnet wurde.

In der Informatik ist die kleinste Informationseinheit das Bit, das nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen kann (Binärsystem). Ein alter Prozessor einer Retro-Konsole verwendet 8-Bit-Register. Eine Spielfigur hat einen Energiewert, der durch die Dezimalzahl $43$ dargestellt wird. Wie würde dieser Wert im Binärcode der Konsole erscheinen?

Das Zahlensystem der Maya war ein Vigesimalsystem (Basis 20) und ein senkrechtes Stellenwertsystem. Betrachte die folgende Zahl, die durch ihre Ebenen dargestellt ist, und übersetze sie in unser Dezimalsystem:

• Ebene 3 (oben): ein Punkt.

• Ebene 2 (Mitte): zwei Striche und drei Punkte.

• Ebene 1 (unten): ein Strich.

(Denke daran: Im Maya-System hat der Punkt den Wert $1$ und der Strich den Wert $5$.)

Ein Dateiserver für eine E-Sports-Spielergemeinschaft hat eine Gesamtkapazität von $2^{35}$ Bit. Aktuell enthält der Server drei Ordner mit Spielaufnahmen: Ordner A belegt $1,2$ GB, Ordner B belegt $950$ MB und Ordner C enthält $2^{30}$ Byte. Es gilt $1$ GB = $1024$ MB und $1$ MB = $1024$ KB. Bestimme, ob es möglich ist, ein zusätzliches Video von $1,5$ GB zu speichern, ohne die Gesamtkapazität des Servers zu überschreiten. Gib alle Rechnungen wenn möglich in Potenzen zur Basis 2 an.

Bei einer archäologischen Ausgrabung wurde eine Inschrift mit einem unbekannten Zahlensystem gefunden. Nach der Analyse haben die Fachleute festgestellt, dass es sich um ein Stellenwertsystem zur Basis 4 handelt, dessen Symbole $\triangle = 0$, $\square = 1$, $\bigcirc = 2$ und $\star = 3$ sind.

Der Schatz liegt $\bigcirc \star \square \triangle$ Meter vom Haupteingang entfernt. Berechne diese Entfernung in unserem Dezimalsystem. Gib das Ergebnis anschließend im Binärsystem an.

Berechne das Ergebnis der folgenden Rechnung mit römischen Zahlen und gib den Endwert sowohl als römische Zahl als auch im Dezimalsystem an:

$(MMCDLXIV - MDCCCLXXXIX) \times XII$

In einem Computersystem entspricht die Multiplikation einer Binärzahl mit $2^n$ dem Verschieben ihrer Ziffern um $n$ Stellen nach links (Nullen werden am Ende angehängt).

Gegeben ist die Dezimalzahl $21$:

1. a) Schreibe sie im Binärsystem.
2. b) Verschiebe ihre Ziffern um $3$ Stellen nach links.
3. c) Wandle die entstandene Zahl wieder ins Dezimalsystem um und überprüfe, dass das Ergebnis der Multiplikation $21 \times 2^3$ entspricht.

Ein intergalaktischer Forscher ist auf einem Planeten angekommen, dessen Bewohner ein Zahlensystem zur Basis 5 benutzen. Du erhältst die folgenden Entsprechungen, um ihre Sprache zu verstehen:

$1_{5} = \text{I}$, $2_{5} = \text{V}$, $3_{5} = \text{X}$, $4_{5} = \text{L}$.

Man sagt dir, dass es noch $\text{XXL}$ Stunden bis zum Start des Mutterschiffs sind:

1. a) Schreibe die Anzahl der Stunden im Dezimalsystem.
2. b) Berechne, wie vielen Minuten diese Zeit entspricht.