Aufgaben: Masse

Beim Untersuchen von Materie ist es wichtig, das, was wir messen, nicht mit dem Gerät zu verwechseln, das wir benutzen. Ordne die folgenden Begriffe in der Tabelle zu, je nachdem ob es sich um eine Größe, eine Maßeinheit oder ein Messgerät handelt:

Masse, Gramm, Balkenwaage, Kilogramm, Personenwaage, Fassungsvermögen, Tonne, Federkraftmesser.

Um im metrischen System von einer Einheit in eine andere umzurechnen, müssen wir mit einer Zehnerpotenz (1 mit Nullen) multiplizieren oder dividieren. Vervollständige die folgenden Gleichungen, indem du die angegebenen Einheiten umrechnest:

1. a) $45\text{ kg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
2. b) $1.200\text{ mg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
3. c) $0,5\text{ hg} = \dots\dots\dots\text{ dag}$
4. d) $34,7\text{ dg} = \dots\dots\dots\text{ cg}$

Es ist wichtig, die passende Einheit für den Gegenstand zu wählen, den man wiegt. Ordne jedem der folgenden Gegenstände die Angabe zu, die dir am realistischsten erscheint:

1. Eine Arbeiterameise.

2. Eine volle Getränkedose.

3. Ein Laptop.

4. Ein Lieferwagen-LKW.

Mögliche Angaben: $2\text{ kg}$, $8\text{ t}$, $3\text{ mg}$, $330\text{ g}$.

In einem Naturwissenschaftslabor haben drei Schüler dieselbe Gesteinsprobe gewogen. Jeder hat das Ergebnis in einer anderen Einheit notiert:

• Schüler A: $0,45\text{ kg}$

• Schüler B: $4.200\text{ dg}$

• Schüler C: $46\text{ dag}$

Gib alle Messwerte in Gramm an und ordne die Schüler nach der von ihnen ermittelten Masse, beginnend mit der kleinsten.

Wusstest du, dass das Kilogramm ursprünglich über Wasser definiert wurde? Ein Liter reines Wasser hat genau die Masse von einem Kilogramm. Dein Rucksack hält höchstens $6\text{ kg}$ aus und du hast bereits Bücher mit einer Masse von $2500\text{ g}$ darin. Wie viele Wasserflaschen mit $1,5$ Litern kannst du höchstens hinzufügen, ohne dass der Rucksack reißt?

Für eine Schokoladentorte zum Geburtstag ihrer Schwester hat Mia die folgenden Zutaten gekauft:

• Eine Packung Mehl mit $0,75\text{ kg}$.

• Eine Tafel Schokolade mit $200\text{ g}$.

• Eine Packung Zucker mit $4,5\text{ hg}$.

Wie groß ist die Gesamtmasse der Zutaten in Gramm?

Gib die folgenden Größen in einer einzigen Einheit (nicht mehr gemischt) an, indem du sie in die jeweils angegebene Einheit umrechnest:

1. a) $3\text{ kg und } 450\text{ g}$ $\rightarrow$ in Gramm.
2. b) $5\text{ dag, } 2\text{ g und } 8\text{ dg}$ $\rightarrow$ in Dezigramm.
3. c) $1\text{ t und } 200\text{ kg}$ $\rightarrow$ in Kilogramm.
4. d) $4\text{ hg und } 5\text{ cg}$ $\rightarrow$ in Zentigramm.

Ein Transporter hat eine maximale Zuladung von $1,5$ Tonnen ($t$). Wenn wir Orangenkisten laden wollen, die jeweils $25\text{ kg}$ wiegen, wie viele Kisten können wir höchstens in einer einzigen Fahrt transportieren? (Denke daran: $1\text{ t} = 1.000\text{ kg}$.)

Jonas möchte einen Brotteig zubereiten und muss $4,5\ kg$ Mehl in Gramm umrechnen. In sein Heft schreibt er die folgende Lösung: „Um von Kilogramm in Gramm umzurechnen, gehe ich in der Treppe des metrischen Systems 3 Stufen nach unten, also multipliziere ich mit $30$: $4,5 \cdot 30 = 135\ g$."

1. a) Erkläre mit eigenen Worten, welchen Denkfehler Jonas bei der Funktionsweise des metrischen Systems gemacht hat.
2. b) Begründe, warum er mit $1\,000$ (also $10 \cdot 10 \cdot 10$) und nicht mit $30$ multiplizieren muss.
3. c) Korrigiere Jonas' Rechnung und gib die tatsächliche Masse an Mehl in Gramm an, die er für das Rezept verwenden muss.

Im Euroraum hat eine $1$-Euro-Münze eine offizielle Masse von $7,5\ g$. Stell dir vor, du hast einen Beutel mit genau $60$ Münzen zu $1$ Euro.

1. a) Runde vor jeder genauen Rechnung die Masse einer Münze auf eine einfache ganze Zahl und schätze im Kopf, wie viele Gramm und wie viele Kilogramm die $60$ Münzen ungefähr wiegen. Schreibe auf, wie du beim Schätzen vorgegangen bist.
2. b) Berechne die Gesamtmasse der Münzen genau und gib das Ergebnis sowohl in Gramm ($g$) als auch in Kilogramm ($kg$) an.
3. c) Vergleiche deine anfängliche Schätzung mit dem genauen Ergebnis: War es eine vernünftige Näherung? Erkläre, ob deine Schätzung über oder unter dem tatsächlichen Wert lag und warum.

Um Rückenverletzungen zu vermeiden, wird empfohlen, dass der Schulranzen nicht mehr als $10 \%$ des Körpergewichts des Schülers wiegt. Lukas wiegt $45\ kg$ und hat die Sachen gewogen, die er heute mit zur Schule nimmt:

• Bücher und Hefte: $2,8\ kg$

• Federmäppchen mit Material: $350\ g$

• Englischwörterbuch: $6,5\ hg$

• Volle Wasserflasche: $75\ dag$

Berechne die Gesamtmasse des Schulranzens in Kilogramm und bestimme, ob Lukas ein für seinen Rücken verträgliches Gewicht trägt.

Eine bekannte Konditorei in deinem Viertel verwendet die folgenden Mengen, um ihre berühmte „Kaisertorte" herzustellen:

• Mehl: $0,55\ kg$

• Zucker: $22,5\ dag$

• Butter: $1.250\ dg$

• Schokolade: $3\ hg$

Gib jede Zutat in Gramm an und berechne die Gesamtmasse der Torte (ohne Füllung und Dekoration) in gemischten Einheiten (mit Kilogramm und Gramm).

Im Schulgarten der Schule wurden $4,2$ Tonnen Äpfel geerntet. Für den Transport werden Säcke verwendet, die jeweils einen Doppelzentner ($q$) fassen.

1. a) Wie viele Säcke werden benötigt, um die gesamte Ernte zu transportieren?
2. b) Wenn man aus je $5\ kg$ Äpfeln $1\ kg$ Apfelmus gewinnt, wie viele Kilogramm Apfelmus erzeugt die Schule aus dieser Ernte?

Wenn ein Kubikdezimeter ($1\ dm^3$) destilliertes Wasser eine Masse von genau $1\ kg$ hat, löse folgende Aufgabe:

Ein Aquarium hat die Form eines Quaders mit den Maßen $60\ cm$ Länge, $30\ cm$ Breite und $40\ cm$ Höhe. Wenn es bis zu $\frac{3}{4}$ seines gesamten Fassungsvermögens mit Wasser gefüllt wird, wie groß ist dann die Masse des im Aquarium enthaltenen Wassers in Kilogramm?

Ein Lieferwagen hat eine zulässige Höchstladung von $3,5\ t$. Er hat aktuell $18$ Paletten mit Milchkartons geladen, die je $125\ kg$ wiegen. Der Fahrer muss in einem Lager $12$ Säcke Futter zu je $450\ hg$ abholen.

Kann er die Futtersäcke laden, ohne die Massengrenze des Lieferwagens zu überschreiten? Begründe deine Antwort, indem du die Rechnungen in Kilogramm durchführst.

In einem Süßwarengeschäft mit loser Ware kostet Zuckerwatte $1,20\ €$ pro Hektogramm ($hg$).

1. a) Wie viel kostet eine Tüte mit $250\ g$ Zuckerwatte?
2. b) Wenn wir für eine andere Tüte Zuckerwatte $6\ €$ bezahlt haben, wie viele Gramm Zuckerwatte haben wir gekauft?

Ordne die folgenden Massen elektronischer Bauteile, die bei der Herstellung eines Smartphones verwendet werden, der Größe nach, beginnend mit der kleinsten. Rechne zum Vergleichen alle Einheiten in Milligramm ($mg$) um:

• Kamerasensor: $0,0042\ kg$

• Hauptmikrochip: $1,85\ g$

• Befestigungsschraube: $85\ cg$

• Ladeanschluss: $12,4\ dg$

Eine Apotheke erhält eine Lieferung von $5$ Kartons eines Medikaments. Jeder Karton enthält $12$ Dosen, und jede Dose wiegt leer $150\ g$. In jeder Dose befinden sich $60$ Kapseln, und jede Kapsel hat eine Masse von $500\ mg$.

Berechne die Gesamtmasse der Lieferung (einschließlich Dosen und Kapseln) in Kilogramm.

Im Naturwissenschaftslabor sollt ihr drei Mineralproben auf ein Tablett legen, das eine maximale Last von $1,5\ kg$ trägt. Die Massen der Proben sind: Pyrit ($520\ g$), Quarz ($4,8\ hg$) und Calcit ($55\,000\ cg$). Um herauszufinden, ob das Tablett alle drei Proben gleichzeitig trägt, schlagen zwei Mitschülerinnen verschiedene Wege vor:

• Rosa schlägt vor, alle Massen in Gramm ($g$) umzurechnen, um nur ganze Zahlen zu addieren und die Summe mit der ebenfalls in Gramm angegebenen Tragfähigkeit des Tabletts zu vergleichen.

• Irene schlägt vor, alle Massen direkt mit Dezimalzahlen in Kilogramm ($kg$) umzurechnen und die Summe direkt mit $1,5\ kg$ zu vergleichen.

1. a) Löse die Aufgabe mit Rosas Methode.
2. b) Löse die Aufgabe mit Irenes Methode.
3. c) Untersuche beide Vorgehensweisen: Welche erscheint dir in diesem konkreten Fall praktischer und weniger fehleranfällig? Begründe deine Antwort, indem du das Rechnen mit ganzen Zahlen gegen die Verwendung von Dezimalkommas abwägst.

Nach Daten zur getrennten Müllsammlung in Spanien erzeugt eine Schülerin bzw. ein Schüler an einem Schultag durchschnittlich $35\ g$ Plastikmüll und Leichtverpackungen. An einer weiterführenden Schule lernen $500$ Schülerinnen und Schüler.

1. a) Modelliere die Situation und berechne, wie viele Kilogramm Plastik die Schülerinnen und Schüler der Schule insgesamt an einem Schultag und in einer vollständigen Schulwoche (Montag bis Freitag) erzeugen.
2. b) Zur Lagerung dieser Verpackungen steht der Schule ein Container zur Verfügung, dessen maximale empfohlene Beladung $0,7\ q$ (Doppelzentner) beträgt. Reicht seine Kapazität aus, um den Müll von zwei vollständigen Schulwochen (10 Tage) ohne Leeren aufzunehmen? Begründe deine Antwort, indem du angibst, wie viele Kilogramm bis zur Grenze des Containers übrig bleiben oder fehlen.
3. c) Wenn die Schule nach einer Umweltaktion die gesamte tägliche Menge auf $14\ kg$ senkt, berechne, wie viele Gramm Plastik jede Schülerin bzw. jeder Schüler im Durchschnitt pro Tag im Vergleich zur Ausgangssituation einspart.

Ein Lieferwagen hat eine maximale Zuladung von $3,5$ Tonnen. Im Lager wurden $12$ Kisten mit Maschinenteilen geladen, die je $1,45$ Doppelzentner wiegen, sowie $45$ Säcke Futter zu je $25$ $kg$. Es fehlt noch ein Container mit Metallteilen mit einer Masse von $875.000$ Gramm. Kann der Lieferwagen die gesamte Ladung in einer Fahrt transportieren, ohne sein Limit zu überschreiten? Begründe deine Antwort, indem du berechnest, wie viele Kilogramm bis zum Maximum fehlen oder zu viel sind.

Ein Pharmaunternehmen stellt Kapseln eines Vitaminpräparats her. Jede Kapsel enthält $150$ $mg$ Wirkstoff, $0,025$ $dg$ Füllstoff und $4.500$ $\mu g$ (Mikrogramm) Gelatinehülle. Wenn $1$ $mg = 1.000$ $\mu g$ gilt, berechne die Gesamtmasse einer Dose mit $120$ Kapseln und gib das Endergebnis in Gramm an. Vergiss nicht, die $12$ $g$ zu addieren, die die leere Plastikdose wiegt.

In einer Ölfabrik füllt eine Abfüllanlage Flaschen mit $0,75$ Litern. Wir wissen, dass $1$ Liter dieses Öls eine Masse von $920$ $g$ hat. Ein Lkw transportiert $150$ Kisten und jede Kiste enthält $12$ Flaschen. Wie groß ist die Gesamtmasse des Öls in Tonnen? Wenn jede leere Flasche eine Masse von $35$ $dag$ hat und jede Pappkiste $0,4$ $kg$ wiegt, berechne auch die Gesamtmasse der Ladung (Öl + Flaschen + Kisten) in Kilogramm.

Für ein chemisches Experiment muss eine Schülerin drei Stoffe mischen. Von Stoff A hat sie $0,045$ $kg$, von Stoff B $12,4$ $dag$ und von Stoff C $7.800$ $cg$. Nach dem Mischen findet eine Reaktion statt, bei der ein Gas entweicht, sodass das Gemisch ein Hundertstel seiner anfänglichen Gesamtmasse verliert. Wie groß ist die Masse des verbleibenden flüssigen Gemischs in Gramm?

Die Robotik-AG hat eine Aluminiumstange von $1,2$ $kg$. Sie möchte möglichst viele Teile mit je $12$ $g$ und $500$ $mg$ herstellen.

• Wie viele Teile kann sie höchstens herstellen?

• Wenn ein Gramm Aluminium $3,50$ € kostet, wie viel kostet das Material für alle hergestellten Teile?

• Wie viel Aluminium bleibt in Milligramm übrig?

Ein Laden für lose Ware erhält eine Lieferung Reis in Säcken zu einem Myriagramm ($1$ $mag = 10$ $kg$). Der Ladeninhaber möchte den Reis in kleinere Beutel in drei verschiedenen Größen umpacken:

• Die Hälfte des Reises wird in Beutel zu $500$ $g$ abgefüllt.

• Zwei Fünftel des restlichen Reises werden in Beutel zu $250$ $g$ abgefüllt.

• Der Rest wird in Beutel zu $100$ $g$ abgefüllt.

Wenn $12$ Säcke zu je einem Myriagramm geliefert wurden, wie viele Beutel jeder Sorte erhält man?

Man hat die Masse eines massiven Metallwürfels mit der Kantenlänge $5$ $cm$ gemessen und einen Wert von $343,75$ $g$ erhalten.

• Wie groß ist die Masse dieses Metalls pro Kubikzentimeter ($cm^3$)?

• Wenn wir einen anderen Block aus demselben Metall mit einem Volumen von $1,2$ $dm^3$ haben, wie groß ist seine Masse in Kilogramm?

(Hinweis: Das Volumen eines Würfels berechnet man als $V = \text{Kantenlänge} \cdot \text{Kantenlänge} \cdot \text{Kantenlänge}$.)

Eine Balkenwaage ist im Gleichgewicht. In der linken Waagschale steht ein gefülltes Honigglas, das $1,25$ $kg$ wiegt. In der rechten Waagschale liegen ein Gewicht von $5$ $hg$, ein weiteres von $25$ $dag$ und dasselbe Honigglas, aber leer. Berechne getrennt die Masse des Honigs im Glas und die Masse des leeren Glases und gib beide Ergebnisse in Gramm an.

Eine Goldschmiedin entwirft einen zeremoniellen Barren aus drei Edelmetallen (Gold, Silber und Kupfer), dessen Gesamtmasse genau $0,48\ kg$ betragen muss. Aufgrund der Gestaltung müssen die Massen der Metalle folgende Bedingungen erfüllen:

• Die Masse des Silbers muss das Vierfache der Masse des Kupfers betragen.

• Die Masse des Goldes muss die Masse des Silbers um genau $60\ g$ übertreffen.

1. a) Gib alle Größen in derselben Einheit an und stelle eine schrittweise Überlegung (oder eine Gleichung) auf, um die genaue Masse in Gramm zu bestimmen, die jedes der drei Metalle im Barren haben muss.
2. b) Überprüfe, dass die berechneten Massen alle Bedingungen erfüllen und dass ihre Summe mit der Gesamtmasse des Barrens in Kilogramm übereinstimmt.
3. c) Um den berechneten Kupferanteil auf einer klassischen Balkenwaage abzuwiegen, hat die Goldschmiedin nur Gewichte zu $1\ dag$, $1\ g$, $1\ dg$ und $1\ cg$ zur Verfügung. Bestimme die Kombination, die die geringstmögliche Anzahl an Gewichten verwendet, um die berechnete, auf das Zentigramm gerundete Kupfermasse auszugleichen.

Eine Ölmühle in Jaén bereitet den Versand von Olivenöl in einem Lkw vor, dessen Leergewicht (Masse des leeren Lkw) $3,8\ t$ beträgt und dessen zulässige Gesamtmasse (zGM) $10\ t$ beträgt. Es werden $16$ Holzpaletten zu je $20\ kg$ geladen. Auf jeder Palette stehen $30$ Pappkartons, und jeder Karton enthält $12$ Flaschen. Jede gefüllte Ölflasche hat eine Masse von $950\ g$ und jeder leere Pappkarton wiegt $25\ dag$.

Der Logistikmitarbeiter gibt dem Fahrer folgende Notiz:

„Masse der Flaschen: $16 \cdot 30 \cdot 12 \cdot 950 = 5\,472\,000\ g = 54,72\ kg$.

Masse der Kartons: $16 \cdot 30 \cdot 25 = 12\,000\ dag = 12\ kg$.

Masse der Paletten: $16 \cdot 20 = 320\ kg$.

Gesamtmasse der Ladung: $54,72 + 12 + 320 = 386,72\ kg = 0,38672\ t$.

Da $3,8\ t + 0,38672\ t \approx 4,19\ t$, ist der Lkw fast leer und wir können problemlos das Doppelte laden."

1. a) Finde und erkläre die beiden schweren Fehler bei der Umrechnung der Einheiten, die der Mitarbeiter gemacht hat. Begründe, warum sein Endergebnis für eine Ladung aus Tausenden von Flaschen physikalisch völlig sinnlos ist.
2. b) Berechne die richtige tatsächliche Gesamtmasse des beladenen Lkw (Leergewicht, Paletten, Kartons und Flaschen) und gib das Ergebnis sowohl in Kilogramm ($kg$) als auch in Tonnen ($t$) an.
3. c) Bestimme, ob der Lkw legal fahren darf oder die zGM überschreitet. Falls er sie nicht überschreitet, berechne genau, wie viele ganze Kartons man höchstens noch laden könnte, ohne die gesetzliche Grenze von $10\ t$ zu überschreiten.