Aufgaben: Darstellung im Koordinatensystem

Im folgenden Koordinatensystem sind die Positionen von vier Gegenständen in einem Zimmer markiert. Schreibe die Koordinaten $(x, y)$ jedes dargestellten Punktes auf: die Fernbedienung ($A$), das Buch ($B$), die Schlüssel ($C$) und der Rucksack ($D$).

Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und gib an, in welchem Quadranten (erster, zweiter, dritter oder vierter) die folgenden Punkte liegen, ohne sie einzuzeichnen:

• $P(4|7)$

• $Q(-3|5)$

• $R(-2|-8)$

• $S(6|-1)$

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Wir entwerfen ein Level für ein Videospiel auf einem Gitter. Drei der Eckpunkte eines rechteckigen Raumes sind die Punkte $A(1|2)$, $B(6|2)$ und $C(6|5)$.

1. a) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem.

1. b) Wie müssen die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ lauten, damit der Raum ein exaktes Rechteck ist?

1. c) Verbinde die Punkte der Reihe nach ($A$, $B$, $C$ und $D$) und überprüfe deine Antwort.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Ergänze die folgenden Sätze über das kartesische Koordinatensystem:

1. a) Die waagerechte Achse heißt ________-Achse und wird mit dem Buchstaben $X$ bezeichnet.
2. b) Die senkrechte Achse heißt ________-Achse und wird mit dem Buchstaben $Y$ bezeichnet.
3. c) Der Schnittpunkt beider Achsen heißt ________ und hat die Koordinaten $(0|0)$.

Eine Lieferdrohne startet vom Logistikzentrum im Punkt $(0|0)$. Sie führt zwei Lieferungen durch: die erste im Punkt $A(0|4)$ und die zweite im Punkt $B(5|0)$.

1. a) Gib an, auf welcher Achse jeder der Lieferpunkte liegt.

1. b) Die Drohne fliegt geradlinig vom Punkt $A$ zum Punkt $B$. Zeichne die Flugbahn in ein Koordinatensystem (auf Karopapier, eine Einheit pro Kästchen). Markiere auch die Punkte $A$ und $B$.

Trage die folgenden Punkte in ein Gitter ein und verbinde sie in alphabetischer Reihenfolge. Verbinde am Ende den letzten Punkt mit dem ersten. Welche geometrische Figur hast du erhalten?

• $A(-2|2)$

• $B(2|2)$

• $C(2|-2)$

• $D(-2|-2)$

Gegeben sind die Punkte $M(3|2)$ und $N(3|-4)$:

1. a) Zeichne sie in ein Koordinatensystem.

1. b) Was haben ihre Koordinaten gemeinsam?

1. c) Wenn du die Gerade durch beide Punkte zeichnest, verläuft sie waagerecht oder senkrecht?

Zeichne den Punkt $A(-4|3)$ in dein Heft.

1. a) Schreibe die Koordinaten eines Punktes $B$ auf, der dieselbe x-Koordinate wie $A$ hat, dessen y-Koordinate aber die Gegenzahl ist.
2. b) Schreibe die Koordinaten eines Punktes $C$ auf, der dieselbe y-Koordinate wie $A$ hat, dessen x-Koordinate aber die Gegenzahl ist.
3. c) Zeichne die drei Punkte und beobachte die Symmetrie bezüglich der Achsen, die dabei entsteht.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Eine Gruppe von Archäologen kartiert die Ruinen einer antiken römischen Stadt. Sie haben den Mittelpunkt eines Amphitheaters in den Koordinatenursprung $O(0|0)$ gelegt. Zeichne in ein Koordinatensystem (in dein Heft, auf Karopapier) die folgenden interessanten Punkte und bestimme, in welchem Quadranten sich jeder befindet:

• Jupitertempel: $A(-4|3)$

• Öffentliche Thermen: $B(5|-2)$

• Nordtor: $C(0|6)$

• Forum: $D(-3|-5)$

• Markt: $E(6|4)$

Wenn man einen Zaun bauen würde, der die Punkte $E$, $B$ und $A$ verbindet, welche geometrische Figur würde entstehen?

Betrachte die Punkte auf dem folgenden Radarschirm der Seeschifffahrt. Schreibe die Koordinaten der Schiffe auf, die mit den Buchstaben $P$, $Q$, $R$ und $S$ gekennzeichnet sind. Gib außerdem an, welche Schiffe dieselbe x-Koordinate haben und welche auf einer der Koordinatenachsen liegen.

Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Punkte $A(2|1)$ und $B(2|5)$ ein.

• Bestimme die Koordinaten eines Punktes $C$ so, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist (also zwei gleich lange Seiten und einen Winkel von $90^\circ$ hat).

• Gibt es mehr als eine mögliche Lösung? Schreibe die Koordinaten aller Lösungen auf, die du findest.

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In einem Strategiespiel liegt die Operationsbasis im Punkt $M(-3|2)$. Der Programmierer möchte drei Wachposten an symmetrischen Positionen platzieren:

• Der Posten $P_1$ ist der Spiegelpunkt von $M$ bezüglich der x-Achse.

• Der Posten $P_2$ ist der Spiegelpunkt von $M$ bezüglich der y-Achse.

• Der Posten $P_3$ ist der Spiegelpunkt von $M$ bezüglich des Koordinatenursprungs.

Zeichne die vier Punkte in ein Koordinatensystem und schreibe ihre Koordinaten auf.

Eine Lieferdrohne fliegt eine geradlinige Route. Sie startet im Lager im Punkt $S(-5|-2)$ und muss die Punkte $T(-2|1)$ und $U(1|4)$ passieren, bevor sie ihr Ziel erreicht.

1. a) Zeichne die Punkte $S$, $T$ und $U$ in ein Koordinatensystem (auf Karopapier). Liegen sie auf einer Geraden?

1. b) Wenn die Drohne ihre Bahn in dieselbe Richtung fortsetzt, fliegt sie dann durch den Punkt $V(4|7)$? Begründe deine Antwort zeichnerisch: Zeichne auch $V$ und die Gerade durch die Punkte ein.

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Zeichne ein Koordinatensystem und trage die folgenden Punkte ein, die Eckpunkte eines Rechtecks sind: $A(-4|-1)$, $B(3|-1)$ und $C(3|4)$.

• Bestimme die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$, sodass das Rechteck vollständig ist.

• Berechne den Umfang und den Flächeninhalt dieses Rechtecks, indem du die Einheiten im Gitter abzählst.

• In welchem Quadranten liegt der größte Teil der Fläche des Rechtecks?

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Bestimme, welche der folgenden Punkte die Bedingung erfüllen, dass ihre y-Koordinate das Doppelte ihrer x-Koordinate ist ($y = 2x$):

• $A(1|2)$

• $B(-2|-4)$

• $C(3|1,5)$

• $D(-1|2)$

• $E(0|0)$

Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf, wenn du diese Punkte verbindest?

In einer Wetterstation wurde der Temperaturverlauf im Laufe eines Vormittags aufgezeichnet. Die erhaltenen Daten sind:

• Um $0$ Uhr (Mitternacht): $-2\,^\circ C$

• Um $2$ Uhr: $-1\,^\circ C$

• Um $4$ Uhr: $2\,^\circ C$

• Um $6$ Uhr: $4\,^\circ C$

In der Abbildung siehst du die Achsen mit ihrer Skala (auf der $X$-Achse entspricht jede Einheit $1$ Stunde, auf der $Y$-Achse entspricht jede Einheit $1\,^\circ C$). Übertrage sie in dein Heft, am besten auf Karopapier, und löse:

1. a) Trage diese Daten als Punkte $(x|y)$ in das Koordinatensystem ein, wobei die $X$-Achse die Zeit und die $Y$-Achse die Temperatur darstellt.

1. b) Verbinde die Punkte mit Strecken, um den Graphen zu zeichnen.

1. c) Was bedeutet der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet? Gib seine Koordinaten näherungsweise an.

1. d) Was bedeutet der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet? Gib seine Koordinaten an.

Der Entwurf eines neuen Logos für eine Sportbekleidungsmarke basiert auf einer Raute $ABCD$ (die Eckpunkte in dieser Reihenfolge). Drei ihrer Eckpunkte sind bekannt: $A(-2|1)$, $B(1|4)$ und $C(4|1)$, die in der Abbildung zu sehen sind.

a) Bestimme die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$, sodass die Figur $ABCD$ eine Raute ist, und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

b) Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts der Raute (der Punkt, in dem sich ihre Diagonalen schneiden).

c) Wir wollen das Logo auf die doppelte Größe vergrößern und dabei den Eckpunkt $A$ an seiner Stelle lassen (d. h. die Abstände von $A$ zu jedem Eckpunkt mit 2 multiplizieren). Wie lauten die neuen Koordinaten der Punkte $B$ und $C$?

Ein Verleih von E-Scootern verwendet einen Stufentarif, um zu kurze Fahrten zu vermeiden. Die Kosten $y$ (in Euro) hängen nach folgenden Regeln von der Zeit $x$ (in Minuten) ab:

• Dauert die Fahrt zwischen $0$ und $10$ Minuten (einschließlich), betragen die Kosten $2$ €.

• Dauert sie mehr als $10$ und bis zu $20$ Minuten, betragen die Kosten $4$ €.

• Ab $20$ Minuten betragen die Kosten pauschal $4$ € plus $0,10$ € für jede weitere Minute über $20$ Minuten hinaus.

a) Zeichne den Graphen dieser Funktion im Koordinatensystem für eine Zeit von $0$ bis $40$ Minuten.

b) Gib an, ob die Funktion stetig oder unstetig ist. Falls sie unstetig ist, kennzeichne die Sprungstellen.

c) Wie viel zahlt eine Person, die den Scooter $25$ Minuten nutzt? Und eine, die ihn $10$ Minuten und eine Sekunde nutzt?

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Eine Überwachungsdrohne fliegt von ihrer Basis aus hin und zurück. Ihre Entfernung zur Basis (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit (in Sekunden) ist durch folgenden Graphen gegeben:

a) Bestimme anhand des Graphen die Definitionsmenge und die Wertemenge dieser Funktion.

b) Gib die Zeitintervalle an, in denen sich die Drohne von der Basis entfernt, sich ihr nähert oder stillsteht.

c) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Drohne (in m/s) während der ersten $10$ Sekunden? Denke daran, dass $v = \frac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}$.

In einem Strategiespiel wird der Einflussbereich eines Verteidigungsturms durch die Punkte $(x, y)$ begrenzt, die folgende Bedingung erfüllen: Der Betrag der x-Koordinate plus der Betrag der y-Koordinate muss kleiner oder gleich $4$ sein, also $|x| + |y| \leq 4$.

a) Zeichne im Koordinatensystem alle Punkte, die den Rand dieses Bereichs bilden (wo $|x| + |y| = 4$). Welche geometrische Figur erhältst du?

b) Überprüfe, ob die Punkte $P(2|2)$, $Q(-3|2)$ und $R(0|-4)$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Rand des Einflussbereichs liegen.

c) Berechne den Flächeninhalt dieses Bereichs in Flächeneinheiten.

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Ein Biologe misst die Tiefe eines Sees an verschiedenen Punkten entlang einer geraden Linie, die von einem Ufer zum anderen verläuft. Das Startufer liegt bei $x=0$ und das Zielufer bei $x=10$. Die Tiefe $y$ (in Metern, mit negativen Werten für die Tiefe) folgt der Funktion $y = x^2 - 10x$.

a) Erstelle eine Wertetabelle für $x \in \{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10\}$.

b) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie durch eine glatte Kurve.

c) An welcher Stelle wird die größte Tiefe des Sees erreicht und wie groß ist dieser Wert?

d) Was bedeutet es, dass bei $x=0$ und $x=10$ der Wert von $y$ gleich $0$ ist?

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Im Kunstunterricht sollen die Schülerinnen und Schüler Figuren mithilfe von Spiegelungen erzeugen. Es wird ein Dreieck mit den Eckpunkten $A(1|2)$, $B(4|2)$ und $C(2|5)$ gezeichnet.

a) Zeichne das ursprüngliche Dreieck.

b) Zeichne das an der $y$-Achse gespiegelte Dreieck. Gib die Koordinaten der neuen Eckpunkte $A'$, $B'$ und $C'$ an.

c) Zeichne das am Koordinatenursprung $O(0|0)$ gespiegelte Dreieck des ursprünglichen Dreiecks. Gib die Koordinaten dieser neuen Eckpunkte $A''$, $B''$ und $C''$ an.

d) Wie haben sich die Vorzeichen der Koordinaten in jedem Fall verändert?

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Zwei Schiffe, die Alfa und die Beta, fahren über den Ozean. Ihre Positionen im Koordinatensystem (wobei jede Einheit auf der senkrechten Achse $1$ Seemeile darstellt) sind in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Stunden) durch folgende Funktionen gegeben:

• Schiff Alfa: $y = 2t - 4$

• Schiff Beta: $y = -t + 5$

Verwende die Achsen der Abbildung (übertrage sie in dein Heft), um die Teilaufgaben zu lösen.

a) Zeichne beide Bahnen in dasselbe Koordinatensystem für Werte von $t$ zwischen $0$ und $6$.

b) An welchem Punkt der Karte kreuzen sich die beiden Schiffe? Bestimme die Koordinaten $(t|y)$ dieses Punktes anhand des Graphen.

c) Zu welcher Zeit ($t$) findet diese Begegnung statt?

Untersuche die folgenden beiden Graphen $G_1$ und $G_2$, die in demselben Koordinatensystem dargestellt sind, und antworte mit Begründung. Der Graph $G_1$ ist die Gerade $y=0{,}5x+4$ und der Graph $G_2$ ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius $3$.

a) Welche von ihnen stellen eine Funktion dar? Begründe deine Antwort mit dem Begriff der Eindeutigkeit der Zuordnung.

b) Gib für die Graphen, die Funktionen sind, an, ob sie in ihrer gesamten Definitionsmenge monoton steigend oder monoton fallend sind.

c) Betrachte die Punkte von $G_2$ mit $x=0$: Welche Werte von $y$ gehören zu ihnen? Was folgerst du daraus, ob $G_2$ die Eindeutigkeit der Zuordnung erfüllt? Nenne außerdem einen weiteren Wert von $x$, der von $0$ verschieden ist und für den dasselbe gilt.