Aufgaben: Darstellung der Daten

In einer 7. Klasse wurde eine Umfrage zum Lieblingsgenre bei Videospielen durchgeführt. Betrachte das folgende Säulendiagramm und beantworte die Fragen:

1. a) Welches Videospielgenre gefällt den Schülerinnen und Schülern am meisten (der Modalwert)?
2. b) Wie viele Schülerinnen und Schüler bevorzugen Abenteuerspiele?
3. c) Wenn wir alle Antworten addieren: Wie viele Schülerinnen und Schüler haben an der Umfrage teilgenommen?

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

Eine Freundesgruppe hat notiert, wie viel Obst sie pro Woche isst. Die Daten sind in diesem Bilddiagramm dargestellt, wobei jedes Obstsymbol 🍎 für $3$ gegessene Stück Obst steht.

1. a) Wie viele Stück Obst hat Anna insgesamt gegessen?
2. b) Wer hat genau $6$ Stück Obst gegessen?
3. c) Wie viele Stück Obst mehr als Lukas hat Sarah gegessen?

Ximena hat ihre $20$ Mannschaftskameraden nach ihrer Lieblingsfarbe bei Sportschuhen gefragt. Die Ergebnisse waren:

Rot, Blau, Blau, Weiß, Rot, Weiß, Weiß, Blau, Rot, Weiß, Blau, Blau, Weiß, Rot, Weiß, Weiß, Blau, Weiß, Blau, Weiß.

1. a) Ordne diese Daten in einer Häufigkeitstabelle, die die Farbe und die absolute Häufigkeit ($f_i$) enthält.
2. b) Was ist der Modalwert dieser Erhebung?
3. c) Zeichne in dein Heft ein einfaches Säulendiagramm, das diese Ergebnisse darstellt.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

Das folgende Kreisdiagramm zeigt, wie die $40$ Schülerinnen und Schüler einer Klasse zur Schule kommen. Die Hälfte der Klasse geht zu Fuß, ein Viertel fährt mit dem Bus und der Rest wird mit dem Auto gebracht:

1. a) Wie viele Schülerinnen und Schüler gehen zu Fuß zur Schule?
2. b) Wie viele fahren mit dem Bus?
3. c) Welcher Winkel (in Grad) gehört zum Sektor der Schülerinnen und Schüler, die zu Fuß gehen? (Denke daran: Der Vollkreis misst $360^\circ$.)

Die folgende Tabelle zeigt die Temperatur auf dem Schulhof während fünf Stunden eines Wintermorgens:

Uhrzeit	$8:00$	$9:00$	$10:00$	$11:00$	$12:00$
Temp. ($^\circ C$)	$4$	$6$	$9$	$12$	$11$

1. a) Stelle diese Daten in deinem Heft in einem Liniendiagramm (Häufigkeitspolygon) dar.
2. b) In welchem Zeitraum von einer Stunde war der Temperaturanstieg am größten?
3. c) Welche Temperatur herrschte um zehn Uhr morgens?

Betrachte dieses Säulendiagramm zur Anzahl der Geschwister der Schülerinnen und Schüler einer Klasse und vervollständige die darunter stehende Häufigkeitstabelle:

Anzahl der Geschwister	Absolute Häufigkeit ($f_i$)
$0$
$1$
$2$
$3$ oder mehr
Gesamt

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

Ordne jedem statistischen Merkmal die Diagrammart zu, die du für die Darstellung am besten geeignet hältst (Optionen dürfen mehrfach verwendet werden):

1. Entwicklung der Körpergröße eines Babys von Monat zu Monat.

2. Augenfarbe der Schülerinnen und Schüler deiner Klasse.

3. Verteilung des Haushalts einer Gemeinde auf verschiedene Bereiche.

A) Kreisdiagramm.

B) Säulendiagramm.

C) Liniendiagramm.

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In einer Bibliothek wurde gezählt, wie viele Bücher jeder Art an einem Tag ausgeliehen wurden. Das Säulendiagramm wurde begonnen, aber die letzte Säule fehlt.

1. a) Wenn wir wissen, dass $12$ Comics ausgeliehen wurden: Bis zu welcher Höhe muss die Säule „Comic“ auf der senkrechten Achse reichen?
2. b) Welche Buchart wurde bisher am wenigsten ausgeliehen?
3. c) Ist „Lyrik“ der Modalwert? Begründe deine Antwort anhand des Diagramms.

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An deiner Schule sollen in der Schülerzeitung die Ergebnisse von drei statistischen Erhebungen über die Schülerschaft und ihr Umfeld veröffentlicht werden:

1) Die Anzahl der Geschwister der $80$ Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 ($0$, $1$, $2$, $3$ oder mehr als $3$).

2) Die Entwicklung der monatlichen Durchschnittstemperatur in eurer Gemeinde über die $12$ Monate des Jahres, anhand von Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes.

3) Die Körpergröße in Zentimetern der $100$ Teilnehmenden an den Schulwettbewerben, eingeteilt in die Klassen $[140;150)$, $[150;160)$, $[160;170)$ und $[170;180)$.

Für jede der drei Erhebungen:

1. a) Bestimme die Art des untersuchten statistischen Merkmals (qualitativ, quantitativ diskret oder quantitativ stetig, in Klassen eingeteilt).
2. b) Wähle begründet das geeignetste Diagramm aus: Säulendiagramm, Liniendiagramm und Histogramm. Begründe, warum du die beiden anderen jeweils ausschließt, und erkläre, ob die Säulen getrennt oder direkt nebeneinander gezeichnet werden müssen.

Lea hat ihre $30$ Mitschülerinnen und Mitschüler nach ihrer liebsten außerschulischen Aktivität befragt. Die Ergebnisse: $15$ wählen Sport, $9$ wählen Musik, $4$ wählen Theater und $2$ wählen Malen.

Um diese Daten in einem Kreisdiagramm darzustellen, überlegt Lea Folgendes:

„Da der Vollkreis $360^\circ$ hat und es $4$ Aktivitäten gibt, teile ich $360^\circ : 4 = 90^\circ$. Also zeichne ich vier gleich große Sektoren von je $90^\circ$ und schreibe in jeden den Namen einer Aktivität.“

1. a) Erkläre genau, welchen Fehler Lea gemacht hat und warum ihr Diagramm jedem, der es betrachtet, eine völlig falsche Schlussfolgerung vermitteln würde.
2. b) Korrigiere ihr Vorgehen, indem du die relative Häufigkeit ($h_i$) jeder Aktivität und den genauen Winkel in Grad für jeden Sektor mithilfe der Beziehung $\text{Winkel} = h_i \cdot 360^\circ$ berechnest.

In einer Klasse 7 wurde abgestimmt, welches Motto das Fest zum Schuljahresende haben soll. Die Ergebnisse waren: Superhelden ($8$ Stimmen), Weltraum ($6$ Stimmen), Krimi ($10$ Stimmen) und Sport ($4$ Stimmen).

Berechne die relative Häufigkeit jeder Möglichkeit (als Bruch und als Dezimalzahl) und stelle die Anzahl der Stimmen jedes Mottos in einem Säulendiagramm dar. Achte darauf, dass die senkrechte Achse richtig skaliert und beschriftet ist.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Eine Gruppe von Freunden möchte eine Reise organisieren und hat $40$ Mitschüler nach ihrem bevorzugten Reiseziel gefragt. Die Ergebnisse zeigt die folgende Tabelle:

Reiseziel	Absolute Häufigkeit ($f_i$)
Strand	$15$
Berge	$10$
Europäische Stadt	$10$
Abenteuer (Camping)	$5$

Um diese Daten in einem Kreisdiagramm darzustellen, berechne den Winkel jedes Kreissektors. Denke daran, dass die Summe aller Winkel $360^\circ$ betragen muss.

Es wurde erfasst, wie viele Stunden pro Woche $20$ Jugendliche Sport treiben:

$2, 4, 3, 5, 2, 6, 4, 3, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3$.

Erstelle die Tabelle der absoluten Häufigkeiten und stelle die Daten mit einem Häufigkeitspolygonzug dar. Welchen Trend erkennst du im Diagramm?

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In der Schulbibliothek möchte man veranschaulichen, wie viele Bücher an jedem Wochentag ausgeliehen wurden. Man hat sich für ein Piktogramm entschieden, in dem jedes „Buch“-Symbol $5$ Ausleihen darstellt.

Tag	Ausgeliehene Bücher
Montag	$20$
Dienstag	$15$
Mittwoch	$25$
Donnerstag	$10$
Freitag	$30$

Zeichne das passende Piktogramm in dein Heft und verwende ein einfaches Symbol für die Bücher. Berechne, wie viele Symbole du für jeden Tag brauchst.

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Gehe vom folgenden Säulendiagramm zur Anzahl der Haustiere der Schülerinnen und Schüler einer Klasse rückwärts vor:

1. Erstelle die Häufigkeitstabelle (absolute und relative Häufigkeiten).

2. Berechne die Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler, die an der Umfrage teilgenommen haben.

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Das folgende Kreisdiagramm zeigt, wie die Schülerinnen und Schüler einer Schule ihre Freizeit gestalten. Wenn wir wissen, dass die Schule insgesamt $200$ Schülerinnen und Schüler hat, finde anhand der angegebenen Prozentsätze heraus, wie viele Schülerinnen und Schüler jede Aktivität bevorzugen:

• Videospiele: $40\%$

• Sport: $30\%$

• Lesen: $20\%$

• Musik: $10\%$

Zeichne es in dein Heft und berechne dazu die Gradzahl jedes Sektors.

Die Körpergröße der Spieler einer Kinder-Basketballmannschaft wurde gemessen (in $cm$). Da die Daten sehr unterschiedlich sind, wurden sie in Klassen zusammengefasst:

• $[150;160)$: $4$ Spieler

• $[160;170)$: $7$ Spieler

• $[170;180)$: $10$ Spieler

• $[180;190)$: $3$ Spieler

Stelle diese Daten in einem Histogramm dar. Denke daran: Im Histogramm stehen die Säulen im Gegensatz zum Säulendiagramm direkt nebeneinander, weil das Merkmal stetig ist.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

Betrachte die beiden folgenden Diagramme. Sie zeigen die Verkäufe eines Sportschuhgeschäfts in zwei verschiedenen Monaten.

1. a) Welches der beiden Diagramme kann irreführen und den falschen Eindruck erwecken, dass die Verkäufe sehr stark gestiegen sind?

1. b) Achte auf die senkrechte Achse. Beginnen beide bei null? Erkläre, warum es wichtig ist, dass statistische Achsen nicht „abgeschnitten“ sind.

Bei einer Umfrage zum üblichen Verkehrsmittel der $120$ Beschäftigten eines Unternehmens wurden folgende Daten erhoben: $60$ fahren mit dem Bus, $30$ fahren mit dem Fahrrad, $20$ gehen zu Fuß und $10$ nutzen einen E-Scooter. Du sollst diese Informationen in einem Kreisdiagramm darstellen.

1. a) Schätze vor dem Rechnen: Überlege ohne Dezimalrechnung und ohne Geodreieck, welcher einfache Bruchteil der gesamten Kreisfläche ($1/2$, $1/4$ usw.) auf den Sektor „Bus“ entfällt und wie viel Grad dieser misst. Sage voraus, ob der Winkel für den E-Scooter größer oder kleiner als ein rechter Winkel ($90^\circ$) sein wird und wie er im Vergleich zum Winkel der Fußgänger ausfällt.
2. b) Berechne und überprüfe: Bestimme die relative Häufigkeit jedes Verkehrsmittels und berechne die Winkel der vier Sektoren genau. Vergleiche die Ergebnisse mit deinen Schätzungen und prüfe, ob die Summe aller Winkel genau einer vollen Umdrehung entspricht.

Die Leiterin der Stadtbibliothek hat einen Bericht über die $80$ Bücher erstellt, die während einer Kulturwoche ausgeliehen wurden. Sie verteilen sich auf vier Genres: Jugendroman, Comic, Lyrik und Theater. Durch ein Versehen wurden einige Zahlen gelöscht, aber aus ihren Diagrammen sind folgende Daten erhalten:

• Im Kreisdiagramm misst der Winkel für Jugendroman $162^\circ$, der für Comic $108^\circ$ und der für Lyrik $54^\circ$.

• Im Bilddiagramm für die Infotafel wird der Jugendroman durch $9$ gleiche Symbole eines aufgeschlagenen Buches dargestellt.

1. a) Berechne den Winkel (in Grad) des Sektors für Theater und bestimme die absolute Häufigkeit der ausgeliehenen Bücher für jedes der vier Genres.
2. b) Bestimme, wie viele ausgeliehene Bücher ein Symbol im Bilddiagramm darstellt (die Legende des Bilddiagramms), und berechne, wie viele ganze Symbole für die Kategorien Comic und Theater gezeichnet werden müssen.

In einer Umfrage unter den $120$ Schülerinnen und Schülern der Klasse 7 zu ihrer liebsten Streaming-Plattform ergaben sich folgende Ergebnisse: $40\%$ bevorzugen Netflix, $30$ Schülerinnen und Schüler wählen Disney+, die relative Häufigkeit von HBO beträgt $0,15$ und der Rest entscheidet sich für Twitch.

Berechne die absolute Häufigkeit jeder Kategorie und erstelle ein Kreisdiagramm. Gib dazu den genauen Winkel in Grad jedes Kreissektors mit der Formel $\text{Winkel} = \frac{f_i}{N} \cdot 360^\circ$ an.

Eine Gruppe von Forschenden misst das Wachstum einer Pflanze unter einer neuen LED-Lampe. Über 6 Wochen hat die Höhe in Zentimetern diese Entwicklung genommen: $2, 5, 9, 14, 20, 27$ (in Woche 1 ist die Pflanze $2 \text{ cm}$ hoch).

Stelle diese Daten in einem Liniendiagramm dar. Füge anschließend eine zweite Linie (in einem anderen Stil oder einer anderen Farbe) hinzu, die die „ideale Höhe“ darstellt, wenn die Pflanze genau $4 \text{ cm}$ pro Woche wachsen würde (beginnend bei den anfänglichen $2 \text{ cm}$ der Woche 1).

In welcher Woche ist der Unterschied zwischen der tatsächlichen und der idealen Höhe am größten?

Ein Videospielunternehmen hat erfasst, wie viele Stunden am Tag seine Nutzerinnen und Nutzer spielen. Die Daten wurden in folgende Klassen eingeteilt: $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$ und $[6;8)$. Die absoluten Häufigkeiten sind jeweils $25, 40, 15$ und $10$.

1. a) Zeichne das passende Histogramm.

1. b) Zeichne anschließend den Häufigkeitspolygonzug, indem du die Mittelpunkte der oberen Kanten der Säulen verbindest.

1. c) Wenn die empfohlene gesunde Grenze bei weniger als $4$ Stunden liegt, wie viel Prozent der Nutzerinnen und Nutzer spielen mehr als empfohlen? Runde auf Zehntel.

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In einem Tierheim wurde gezählt, wie viele Säcke Futter pro Monat verbraucht werden. Dafür wurde dieses Piktogramm verwendet, in dem jedes Bild eines „Knochens“ $\square$ für $15 \text{ kg}$ Futter steht.

• Januar: $\square \square \square \square$

• Februar: $\square \square \square$

• März: $\square \square \square \square \square$

Das Tierheim hat $30$ Hunde, und jeder Hund sollte täglich $0,75 \text{ kg}$ fressen. Erstelle eine Häufigkeitstabelle mit den in jedem Monat verbrauchten Kilogramm und erkläre, ob die Hunde in einem Monat weniger gefressen haben, als sie brauchen (nimm an, dass alle Monate 30 Tage haben).

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Es wurde eine Untersuchung zur Anzahl der Geschwister der Schülerinnen und Schüler einer Klasse durchgeführt. Das Säulendiagramm der relativen Häufigkeiten zeigt:

• $20\%$ haben keine Geschwister.

• $50\%$ haben 1 Geschwister.

• $25\%$ haben 2 Geschwister.

• Der Rest hat 3 Geschwister.

Wenn die Klasse insgesamt $40$ Schülerinnen und Schüler hat, erstelle die Tabelle der absoluten Häufigkeiten und zeichne das Säulendiagramm der absoluten Häufigkeiten. Welche Höhe hätte die Säule für „1 Geschwister“ im Diagramm der absoluten Häufigkeiten?

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Unten siehst du ein Kreisdiagramm mit den Ergebnissen einer Abstimmung über die Farbe des Abschluss-T-Shirts (Blau, Rot, Grün). Der Sektor Blau misst $144^\circ$ und der Sektor Rot misst $108^\circ$.

1. Berechne den Winkel des Sektors Grün.

2. Wenn wir wissen, dass $30$ Personen für die Farbe Rot gestimmt haben, wie viele Personen haben insgesamt an der Abstimmung teilgenommen?

3. Berechne die absoluten Häufigkeiten der beiden anderen Farben und stelle die Endergebnisse in einem Säulendiagramm dar.

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Ein YouTuber analysiert die Aufrufe seines neuesten Videos. In den ersten 4 Stunden waren die kumulierten Aufrufe:

• Stunde 1: $150$ Aufrufe.

• Stunde 2: $400$ Aufrufe (insgesamt).

• Stunde 3: $750$ Aufrufe (insgesamt).

• Stunde 4: $900$ Aufrufe (insgesamt).

Erstelle eine Tabelle, die zwischen der absoluten Häufigkeit (neue Aufrufe in jeder Stunde) und der kumulierten Häufigkeit unterscheidet. Stelle die neuen Aufrufe jeder Stunde in einem Säulendiagramm dar. In welcher Stunde wurden am erfolgreichsten neue Zuschauer gewonnen?

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Vergleiche die folgenden beiden Datensätze zur mittleren Temperatur ($^\circ\text{C}$), die eine Woche lang (von Montag bis Sonntag, in dieser Reihenfolge) mittags in zwei verschiedenen Städten gemessen wurde:

• Stadt A: $12, 14, 15, 12, 11, 13, 14$

• Stadt B: $18, 17, 19, 18, 20, 19, 18$

Stelle beide Städte in einem Liniendiagramm dar (verwende zwei verschiedene Farben oder Linienarten). Berechne die Durchschnittstemperatur jeder Stadt und zeichne eine gestrichelte waagerechte Linie, die den Mittelwert von Stadt B darstellt. Welche der beiden Städte hat stabilere Temperaturen (kleinere Spannweite)?

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Ein regionaler Verkehrsverbund untersucht die Fahrtdauer einer Überlandbuslinie zur Hauptverkehrszeit. Nachdem die Zeiten von $400$ Fahrten erfasst wurden, werden die Daten in folgende Klassen in Minuten eingeteilt: $[10;20)$, $[20;30)$, $[30;40)$ und $[40;50)$. Folgende Informationen liegen vor:

• $45\%$ der Fahrten dauerten zwischen $10$ und weniger als $20$ Minuten.

• In der Klasse von $[20;30)$ Minuten wurden genau $120$ Fahrten gezählt.

• Die relative Häufigkeit der Fahrten der Klasse $[30;40)$ betrug $0,15$.

• Die übrigen Fahrten lagen in der Klasse von $[40;50)$ Minuten.

1. a) Erstelle die vollständige Häufigkeitstabelle und gib für jede Klasse an: absolute Häufigkeit ($f_i$), relative Häufigkeit ($h_i$) und Prozentsatz.
2. b) Begründe, warum man zur Darstellung dieser Daten zwingend ein Histogramm und kein gewöhnliches Säulendiagramm verwenden muss. Erkläre, was es bedeutet, dass die Rechtecke des Histogramms ihre senkrechten Seiten gemeinsam haben.
3. c) Der Verbund hält die Linie für „effizient“, wenn mindestens $70\%$ der Fahrten weniger als eine halbe Stunde ($< 30$ Minuten) dauern. Bestimme, ob dieses Effizienzkriterium erfüllt ist, und berechne, wie viele Grad diese zusammengefasste Gruppe („weniger als $30$ Minuten“) in einem zusammenfassenden Kreisdiagramm gegenüber der Gruppe „$30$ Minuten oder mehr“ einnehmen würde.

Drei Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 bereiten ein Informationsplakat mit Daten des Statistischen Bundesamts (Destatis) zur Freizeitgestaltung Jugendlicher vor und vertreten drei verschiedene Vorschläge für die Grafiken:

• Mateos Vorschlag: Um die Entwicklung des Anteils junger digitaler Leserinnen und Leser Jahr für Jahr von 2015 bis 2024 ($10$ aufeinanderfolgende Jahre) zu zeigen, schlägt er ein Kreisdiagramm mit $10$ Kreissektoren vor.

• Sofias Vorschlag: Um die tägliche Zeit für persönliches Lesen, eingeteilt in die Klassen $[0;15)$, $[15;30)$, $[30;45)$ und $[45;60)$ Minuten, darzustellen, schlägt sie ein Säulendiagramm mit sichtbarem Abstand zwischen den Säulen vor.

• Alexanders Vorschlag: Um die Anzahl der pro Jahr gelesenen Bücher je Schülerin bzw. Schüler ($0$, $1$, $2$, $3$ oder mehr als $3$) darzustellen, schlägt er ein Liniendiagramm mit durchgehender Linie vor, die die oberen Endpunkte der einzelnen Werte verbindet.

1. a) Analysiere jeden Vorschlag kritisch: Erkläre mit mathematischen Argumenten, warum die Wahl jedes Mitschülers je nach Art des Merkmals falsch oder nicht empfehlenswert ist.
2. b) Gib an, welche Grafik in jedem der drei Fälle die richtige ist und welche wesentliche Zeichenregel beim Zeichnen beachtet werden muss (zeitliche Anordnung auf den Achsen, lückenlos aneinanderstoßende Rechtecke oder Proportionalität der Winkel).
3. c) Im Entwurf eines Piktogramms vergleicht Mateo diejenigen, die täglich lesen ($25\%$), mit denen, die nie lesen ($50\%$). Für die zweite Gruppe zeichnet er ein Buchsymbol, dessen Höhe doppelt so groß und dessen Breite ebenfalls doppelt so groß ist wie beim Symbol der ersten Gruppe. Begründe, warum diese Darstellung die Daten optisch verzerrt und die Betrachter des Plakats täuscht.