Aufgaben: Grundbegriffe

In unserem Alltag passiert vieles, aber nicht alles hängt vom Zufall ab. Gib an, welche der folgenden Situationen Zufallsexperimente und welche deterministisch sind:

1. a) Eine Münze werfen und beobachten, ob Kopf oder Zahl fällt.
2. b) Berechnen, wie viel $3$ Kinokarten kosten, wenn jede $8$ Euro kostet.
3. c) Einen Mitschüler nach seiner Lieblingsfarbe fragen.
4. d) Einen Stein von einem Balkon fallen lassen und beobachten, ob er nach unten fällt.
5. e) Ohne hinzusehen eine Karte aus einem Skatblatt ziehen.

Ein Videospielunternehmen möchte wissen, welches Genre bei den Schülerinnen und Schülern deiner Schule am beliebtesten ist. Um nicht alle $800$ Schüler zu fragen, beschließt es, in jeder Klasse der Schule $10$ Schüler zu befragen.

Bestimme die folgenden Elemente der statistischen Untersuchung:

• Grundgesamtheit:

• Stichprobe:

• Merkmalsträger:

Ordne die folgenden statistischen Merkmale als qualitativ (wenn sie eine Eigenschaft ausdrücken) oder quantitativ (wenn sie durch eine Zahl angegeben werden) ein:

1. a) Der Name der am häufigsten genutzten Apps auf dem Handy deiner Freunde.
2. b) Die Anzahl der Geschwister jedes Schülers deiner Klasse.
3. c) Die Marke der Sportschuhe, die die Spieler einer Mannschaft tragen.
4. d) Die an jedem Tag dieser Woche in deiner Stadt erreichte Höchsttemperatur.
5. e) Die Lieblingssportart der Mitglieder eines Leichtathletikvereins.

Bei den quantitativen Merkmalen unterscheiden wir zwischen diskreten (wenn sie einzelne, getrennte Werte annehmen, meist ganze Zahlen) und stetigen (wenn sie jeden beliebigen Wert in einem Intervall annehmen können, also auch Dezimalzahlen). Die Abbildung zeigt den Unterschied: oben einzelne Werte; unten ein Abschnitt der Zahlengeraden, auf dem jeder Wert liegen kann, auch Dezimalzahlen.

Ordne diese Merkmale als diskret oder stetig ein:

1. a) Die Anzahl der Tore, die eine Mannschaft in jedem Ligaspiel erzielt.

1. b) Die genaue Zeit, die ein Schwimmer für $50$ Meter braucht.

1. c) Die Anzahl der Bücher in den Schultaschen der Schüler.

1. d) Die Körpergröße der Spieler der deutschen Basketballnationalmannschaft.

Eine Gruppe von Freunden diskutiert, welchen Film sie im Kino sehen wollen. Sie haben ihre Vorlieben notiert:

Abenteuer, Komödie, Horror, Abenteuer, Abenteuer, Horror, Komödie, Abenteuer, Komödie.

Beantworte die folgenden Fragen zu den Grundbegriffen:

1. a) Welches statistische Merkmal wird untersucht?
2. b) Von welcher Art ist dieses Merkmal?
3. c) Wie groß ist die absolute Häufigkeit (Anzahl des Auftretens) der Kategorie „Abenteuer“?

Manchmal ist es unmöglich, die gesamte Grundgesamtheit zu untersuchen, und deshalb verwenden wir eine Stichprobe. Erkläre, in welchem dieser Fälle es deiner Meinung nach notwendig ist, eine Stichprobe zu verwenden, anstatt die gesamte Grundgesamtheit zu befragen:

1. a) Wir möchten die Durchschnittsnote der letzten Mathematikarbeit deiner Klasse 7 wissen.
2. b) Ein Glühlampenhersteller möchte wissen, wie viele Stunden die Lampen brennen, bevor sie durchbrennen.
3. c) Der Schulleiter möchte wissen, wie viele Schüler heute zum Unterricht gekommen sind.
4. d) Ein Krankenhaus möchte die Blutgruppe aller Einwohner eines Bundeslandes untersuchen.

Betrachte das folgende Säulendiagramm, das die Haustiere der Schüler einer Klasse darstellt, und beantworte die Fragen mithilfe der gelernten Begriffe:

1. a) Wie groß ist der Stichprobenumfang (Gesamtzahl der befragten Schüler)?
2. b) Welches Merkmal wird untersucht und von welcher Art ist es?
3. c) Wie groß ist die absolute Häufigkeit des Merkmalswerts „Katze“?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Stell dir vor, du willst eine Untersuchung zu den Lesegewohnheiten der Jugendlichen in deiner Stadt durchführen. Gib je ein Beispiel für:

1. Eine Frage, deren Antwort ein qualitatives Merkmal ist.

2. Eine Frage, deren Antwort ein quantitativ diskretes Merkmal ist.

3. Eine Frage, deren Antwort ein quantitativ stetiges Merkmal ist.

Lea hat die folgenden statistischen Merkmale aus dem Gesundheitsbogen ihrer Schule eingeordnet, aber ihr Lehrer hat ihr gesagt, dass sie zwei inhaltliche Fehler gemacht hat:

1. Postleitzahl des Wohnorts: Lea behauptet, sie sei quantitativ diskret, „weil sie mit Zahlen geschrieben wird und keine Dezimalstellen hat“.

2. Anzahl der bestandenen Fächer: Lea behauptet, sie sei quantitativ diskret, „weil man sie mit natürlichen Zahlen ($0, 1, 2...$) zählt“.

3. Augenfarbe: Lea behauptet, sie sei qualitativ, „weil sie eine Eigenschaft und keine Menge beschreibt“.

4. Körpergröße der Schülerin bzw. des Schülers: Lea behauptet, sie sei quantitativ diskret, „weil die Waage im Sanitätsraum $154\text{ cm}$ anzeigt, und das ist eine ganze Zahl ohne Komma“.

Finde die beiden Fehler, die Lea gemacht hat, erkläre ausführlich, warum ihre Begründung jeweils falsch ist, und ordne beide Merkmale richtig ein. Begründe dabei den Unterschied zwischen einem Zahlencode und einer stetigen Messgröße.

Das Organisationsteam des Jugendtags in deiner Gemeinde möchte die Vorlieben der $400$ Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 im Ort kennenlernen. Du sollst vier Fragen für die Umfrage formulieren, die jeweils einer bestimmten Art von statistischem Merkmal entsprechen müssen:

1. a) Schreibe eine Frage, deren Antwort ein qualitatives Merkmal ist.
2. b) Schreibe eine Frage, deren Antwort ein quantitativ diskretes Merkmal ist (gib klar an, was genau gezählt wird).
3. c) Schreibe eine Frage, deren Antwort ein quantitativ stetiges Merkmal ist (gib an, in welcher Einheit der Wert erfasst wird).
4. d) Wenn das Team den Fragebogen nur an die $30$ Schüler verteilt, die die städtische Theater-AG besuchen: Ist diese Gruppe von $30$ die Grundgesamtheit oder eine Stichprobe? Begründe, ob diese Auswahl für alle Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 der Gemeinde repräsentativ ist oder ob sie eine Verzerrung verursacht.

Ein bekannter Streamer möchte wissen, was das Lieblingsvideospiel seiner Follower in Deutschland ist. Dazu führt er während eines Livestreams eine Schnellumfrage durch, an der $1500$ Personen teilnehmen. Ordne die folgenden Merkmale, die in der Untersuchung erfasst werden, als qualitativ oder quantitativ ein:

• a) Titel des Lieblingsvideospiels.

• b) Anzahl der Stunden, die pro Woche gespielt werden.

• c) Verwendete Konsole oder Plattform (PC, PS5, Switch usw.).

• d) Geldbetrag, der pro Monat für „Skins“ oder Battle Passes ausgegeben wird.

• e) Bewertung des Livestreams von 1 bis 10.

Um die Qualität des Essens in der Cafeteria einer großen Schule mit $1200$ Schülerinnen und Schülern zu verbessern, beschließt die Schulkonferenz, die ersten $5$ Schülerinnen und Schüler jeder Klasse, die am Montagmorgen in die Schule kommen, nach ihrer Meinung zu fragen. Bestimme die folgenden Bestandteile dieser statistischen Untersuchung:

1. a) Grundgesamtheit.

1. b) Stichprobe.

1. c) Untersuchungsobjekt (Merkmalsträger).

Gib an, ob die folgenden Vorgänge zufällig oder deterministisch sind, und begründe deine Antwort kurz:

• a) Wissen, ob es in deiner Stadt nächstes Jahr genau an deinem Geburtstag regnen wird.

• b) Den Preis von $5$ Kinokarten berechnen, wenn du weißt, dass jede $8,50$ € kostet.

• c) Vorhersagen, welche Zahl beim Wurf eines zehnseitigen Würfels in einem Rollenspiel fällt.

• d) Die Note einer Mathearbeit kennen, wenn du alle Aufgaben unbeantwortet gelassen hast.

• e) Eine Karte aus einem Skatblatt ziehen, und es ist das Kreuz-Ass.

In einer Untersuchung zu den Lesegewohnheiten von Jugendlichen einer Stadt wird das statistische Merkmal definiert als: „Anzahl der im letzten Sommer gelesenen Bücher“.

• a) Von welcher Art ist dieses Merkmal?

• b) Wenn die Untersuchung an einer Stichprobe von $200$ Jugendlichen durchgeführt wird und die Summe aller von ihnen gelesenen Bücher $450$ beträgt, was stellt dann der Wert $2,25$ in diesem Zusammenhang dar?

• c) Erfinde drei mögliche Werte, die eine Person bei diesem Merkmal annehmen könnte.

Sieh dir das folgende Schema an, das eine Untersuchung zur Gesundheit der Bäume in einem Naturpark mit $5000$ Bäumen darstellt. Das Forstteam hat $150$ davon untersucht.

• a) Wie groß ist die Grundgesamtheit?

• b) Wie groß ist der Stichprobenumfang?

• c) Wenn die Forschenden notieren, ob der Baum Schädlingsbefall hat oder nicht, welche Art von Merkmal untersuchen sie?

Ein Online-Modegeschäft möchte die Zufriedenheit seiner Kunden erfahren (sehr unzufrieden, unzufrieden, neutral, zufrieden, sehr zufrieden).

• a) Ordne dieses Merkmal ein. Ist es quantitativ oder qualitativ?

• b) Obwohl Wörter verwendet werden, ordnet man manchmal Zahlen zu ($1$ bis $5$), um das Mittel zu berechnen. Glaubst du, dass das Merkmal dadurch quantitativ wird? Begründe deine Antwort.

• c) Wenn das Geschäft die Umfrage an $500$ Kunden schickt, die gestern eingekauft haben, wer ist dann das „Untersuchungsobjekt“ in dieser Untersuchung?

Ein Handyhersteller möchte die Widerstandsfähigkeit des Displays eines neuen Modells prüfen. Die Fabrik produziert $10.000$ Handys pro Tag. Für die Untersuchung werden $50$ Handys ausgewählt und wiederholt aus einer Höhe von $1,5$ Metern fallen gelassen, bis das Display bricht; dabei wird notiert, wie viele Stürze jedes Handy übersteht.

• a) Erkläre, warum es in diesem Fall unbedingt notwendig ist, eine Stichprobe zu verwenden, statt die gesamte Grundgesamtheit zu untersuchen.

• b) Bestimme das untersuchte Merkmal und ordne es ein.

• c) Was würde mit der Produktion geschehen, wenn der Hersteller beschließen würde, keine Stichprobe zu verwenden und jedes einzelne Objekt der Grundgesamtheit zu prüfen?

Bestimme in jeder der folgenden statistischen Untersuchungen die Grundgesamtheit und das Merkmalsträger (Untersuchungseinheit):

• 1. Man möchte das durchschnittliche Gewicht der $250$ g schweren Brote ermitteln, die eine Bäckerei an einem Tag herstellt.

• 2. Man möchte wissen, welches das Lieblingsfach der Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 in ganz Deutschland ist.

• 3. Ein Tierarzt untersucht die Ernährung der Katzen, die in einer städtischen Katzenkolonie in seinem Stadtviertel leben.

• 4. Ein Glühlampenhersteller möchte wissen, wie viele Stunden seine Energiesparlampen brennen, bevor sie durchbrennen.

Ein Hersteller von LED-Lampen in Dortmund produziert jeden Tag $20.000$ Stück. Zur Qualitätssicherung muss geprüft werden, wie viele Stunden eine Lampe brennt, bevor sie durchbrennt (ein Test, bei dem das geprüfte Produkt zerstört wird). Außerdem möchte das Kollegium einer ländlichen Verbundschule mit insgesamt $24$ Schülerinnen und Schülern deren Meinung zum Ziel des Abschlussausflugs erfahren.

1. a) Vergleiche für beide Fälle die Vor- und Nachteile einer Vollerhebung gegenüber einer Stichprobe. Begründe, welche der beiden Methoden in der jeweiligen Situation die einzig mögliche oder die empfehlenswertere ist, und berücksichtige dabei Kosten, Zeit und die Zerstörung des Produkts.
2. b) Für die Qualitätskontrolle der $20.000$ Lampen zweifelt das Ingenieurteam zwischen zwei Methoden, um eine Stichprobe von $100$ Lampen pro Tag auszuwählen:

• Methode 1: Die ersten $100$ Lampen auswählen, die um 6:00 Uhr morgens aus der Maschine kommen.

• Methode 2: Zufällig $1$ Lampe aus jedem Los von $200$ Lampen auswählen, das während der drei Arbeitsschichten des Tages hergestellt wird.

Wähle die Methode, die besser geeignet ist, damit die Stichprobe repräsentativ ist, und begründe deine Entscheidung, indem du erklärst, welche Fehlerquellen oder Verzerrungen die verworfene Methode hat.

Das Statistische Bundesamt (Destatis) führt eine Studie zur Nachhaltigkeit von Haushalten in einem Bundesland durch, in dem es $600.000$ bewohnte Wohnungen gibt. Dazu wählen die Befragenden zufällig eine Stichprobe von $1.200$ Wohnungen aus und erfassen für jede die folgenden Daten:

• Art der Wohnung (Etagenwohnung, Reihenhaus oder frei stehendes Einfamilienhaus).

• Durchschnittlicher Wasserverbrauch im letzten Quartal (in Kubikmetern, $\text{m}^3$).

• Anzahl der Personen, die im Haushalt leben.

• Durchschnittliche im Winter am Thermostat eingestellte Temperatur (in Grad Celsius, $^\circ\text{C}$).

• Ob eine getrennte Sammlung von Bioabfall vorhanden ist (Ja/Nein).

1. a) Modelliere die Situation, indem du die Grundgesamtheit, die Stichprobe und den Merkmalsträger dieser statistischen Untersuchung genau angibst.
2. b) Ordne jedes der fünf erhobenen Merkmale ein: qualitativ, quantitativ diskret oder quantitativ stetig. Begründe, warum Wasserverbrauch und Temperatur stetig sind, und grenze sie von der Anzahl der Personen im Haushalt ab.
3. c) Angenommen, um Fahrtkosten zu sparen, werden die $1.200$ Wohnungen nur in der wohlhabendsten Wohnsiedlung der Landeshauptstadt befragt. Wäre die Stichprobe dann noch repräsentativ für die gesamte untersuchte Grundgesamtheit? Erkläre zwei konkrete Gründe, warum die Ergebnisse zu Wasserverbrauch und Mülltrennung verzerrt wären.

Ein bekannter Influencer möchte wissen, was Jugendliche in Deutschland über das neue Zeitlimit in einem sozialen Netzwerk denken. Dazu stellt er 24 Stunden lang eine Umfrage in seine Instagram-„Storys“. Es nehmen $15.400$ Personen teil.

1. a) Bestimme die Grundgesamtheit der Untersuchung und die verwendete Stichprobe.
2. b) Glaubst du, dass die Stichprobe für die Grundgesamtheit repräsentativ ist? Begründe deine Antwort, indem du zwei mögliche Faktoren (Verzerrungen) untersuchst, die die Ergebnisse unbrauchbar machen können.
3. c) Schlage ein zuverlässigeres Verfahren vor, um eine Stichprobe von $500$ Personen auszuwählen, die wirklich alle Jugendlichen in Deutschland abbildet.

Ordne die folgenden statistischen Merkmale als qualitativ oder quantitativ ein. Überlege bei den quantitativen Merkmalen, ob es sinnvoll ist, mit ihren Werten zu rechnen (zum Beispiel das Mittel zu bilden):

1. a) Die Postleitzahl des Wohnorts der Schülerinnen und Schüler einer Schule.
2. b) Die Seriennummer der Computer in der Bibliothek.
3. c) Die gemessene Tagesdurchschnittstemperatur auf dem Schulhof im Monat Januar.
4. d) Die Rückennummer (Trikotnummer) der Spieler einer Basketballmannschaft.
5. e) Die Zeit in Sekunden, die eine Gruppe von Schwimmern braucht, um ein $50$ Meter langes Schwimmbecken zu durchqueren.

Hinweis: Überlege, ob die „Zahl“ als Etikett oder als echter Messwert dient.

Wir führen ein Experiment zum Wachstum von Tomatenpflanzen unter verschiedenen Lichtarten durch. Wir haben insgesamt $200$ Pflanzen.

1. a) Wenn wir nur die Pflanzen in der Reihe am nächsten zum Fenster untersuchen, untersuchen wir dann die Grundgesamtheit oder eine Stichprobe?
2. b) Bestimme das Untersuchungsobjekt (Merkmalsträger) dieser Untersuchung.
3. c) Wir wollen drei Merkmale erfassen: die Höhe der Pflanze in $cm$, die Farbe der Blätter (dunkelgrün, hellgrün oder gelblich) und die Anzahl der Tomaten, die jede Pflanze trägt. Ordne jedes Merkmal ein.
4. d) Ist dies ein Zufallsexperiment oder ein deterministischer Vorgang? Begründe deine Antwort.

Bei einer Untersuchung zum Obstverzehr in einer Klasse mit $30$ Schülerinnen und Schülern sind einige Daten der Häufigkeitstabelle verloren gegangen. Wir wissen, dass die relative Häufigkeit ($h_i$) derjenigen, die „3 Stück pro Tag“ essen, genau $0,2$ beträgt und dass die absolute Häufigkeit ($f_i$) derjenigen, die „1 Stück pro Tag“ essen, das Dreifache derjenigen ist, die „keines“ essen.

Wenn $2$ Schülerinnen und Schüler kein Stück Obst pro Tag essen, vervollständige die folgenden Angaben mit Begründung:

1. a) Wie viele Schülerinnen und Schüler essen $3$ Stück Obst pro Tag?
2. b) Wie viele Schülerinnen und Schüler essen $1$ Stück Obst pro Tag?
3. c) Wie groß ist die absolute Häufigkeit derjenigen, die „2 Stück pro Tag“ essen, wenn alle genannten Möglichkeiten zusammen die gesamte Klasse ergeben?

Stell dir vor, du möchtest eine statistische Untersuchung durchführen, um die Schulleitung davon zu überzeugen, dass der Unterricht 15 Minuten später beginnen sollte, um die Leistung zu verbessern.

1. a) Lege die Grundgesamtheit und eine geeignete, nicht verzerrte Stichprobe klar fest.
2. b) Entwirf drei verschiedene Merkmale, die du erfassen könntest: ein qualitatives, ein quantitatives, das gezählt wird (ganze Zahlen), und ein weiteres quantitatives, das gemessen wird (mit Dezimalstellen).
3. c) Gib an, welches Erhebungsinstrument du jeweils verwenden würdest (Umfrage, direkte Beobachtung oder Messgerät).

Bestimme, ob die folgenden Vorgänge zufällig oder deterministisch sind, und erkläre jeweils, warum. Beschreibe bei den zufälligen Vorgängen die Ergebnismenge:

1. a) Einen Stein von einem Balkon werfen und die Zeit stoppen, die er bis zum Boden braucht (angenommen, es gibt keinen Wind und die Höhe ist fest).
2. b) Die Zahl, die bei der Ziehung der Lotterie den ersten Preis gewinnt.
3. c) Eine Karte aus einem Skatblatt ziehen und beobachten, ob es ein „Bild“ (Bube, Dame oder König) ist.
4. d) Eine Säure mit einer Base in einem Chemielabor in einem genauen Verhältnis mischen, um ein Salz zu erhalten.
5. e) Die genaue Zeit, die der nächste Bus bis zur Haltestelle braucht.

In einer Siedlung mit $200$ Familien wurde eine Umfrage zur Kinderzahl pro Familie durchgeführt. Man weiß, dass $15\%$ der Familien $3$ oder mehr Kinder haben.

1. a) Wie groß ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses „3 oder mehr Kinder haben“?
2. b) Wenn der Winkel im Kreisdiagramm für die Familien mit „1 Kind“ $144^\circ$ beträgt, wie viele Familien haben genau ein Kind?
3. c) Berechne die relative Häufigkeit der Familien mit „1 Kind“.

Untersuche die folgende Situation: Die Stadtverwaltung einer Stadt möchte wissen, ob die Bürgerinnen und Bürger mit dem neuen Radweg zufrieden sind. Um Kosten zu sparen, beschließt sie, nur Personen zu befragen, die an einem Samstagvormittag auf dem Radweg unterwegs sind.

1. a) Ist die Stichprobe zufällig?
2. b) Welche Art von Verzerrung wird diese Untersuchung deiner Meinung nach aufweisen? Werden die Ergebnisse die allgemeine Zufriedenheit in der Stadt über- oder unterschätzen?
3. c) Schlage eine Möglichkeit vor, die Stichprobe so auszuwählen, dass auch Personen enthalten sind, die nicht Rad fahren, damit die Untersuchung objektiv wird.
4. d) Wenn das Merkmal „Grad der Zufriedenheit (gar nicht, wenig, sehr)“ ist, um welche Art von Merkmal handelt es sich? Könnte man das arithmetische Mittel dieser Daten berechnen? Begründe, warum (nicht).

An einer weiterführenden Schule sind $800$ Schülerinnen und Schüler angemeldet, die sich wie folgt verteilen:

• Klasse 7: $240$ Schülerinnen und Schüler.

• Klasse 8: $200$ Schülerinnen und Schüler.

• Klasse 9: $180$ Schülerinnen und Schüler.

• Klasse 10: $180$ Schülerinnen und Schüler.

Die Schule überlegt, persönliche Schließfächer einzurichten, und beschließt, eine Stichprobe von $80$ Schülerinnen und Schülern zu befragen. Zur Auswahl wird in der großen Pause eine Interviewerin vor die Tür der Cafeteria gestellt, die die ersten $80$ Schülerinnen und Schüler befragt, die hineingehen. Bei der Durchsicht der Daten stellt man fest, dass die Stichprobe aus $4$ Schülerinnen und Schülern der Klasse 7, $10$ der Klasse 8, $31$ der Klasse 9 und $35$ der Klasse 10 besteht.

1. a) Schätze und prüfe die Verzerrung: Schätze, bevor du Prozentsätze berechnest, begründet ab, ob mit diesem Verfahren ein Schüler der Klasse 7 die gleichen Chancen hatte, ausgewählt zu werden, wie einer der Klasse 10. Prüfe danach rechnerisch das Missverhältnis, indem du berechnest, wie viel Prozent die Klasse 7 an der gesamten Schule ausmacht ($240$ von $800$) und wie viel Prozent sie tatsächlich in der erhaltenen Stichprobe ausmacht ($4$ von $80$). Ist es vernünftig, die Stichprobe als repräsentativ anzusehen?
2. b) Begründe, wie diese Verzerrung die Ergebnisse der Umfrage zum Bedarf an Schließfächern beeinflusst, und berücksichtige dabei die Unterschiede bei Stundenplan, Fächern oder Gewicht der Schultaschen zwischen den unteren und oberen Klassen der Sekundarstufe I.
3. c) Wenn man eine Stichprobe von $80$ Schülerinnen und Schülern entwerfen wollte, die streng proportional zur Grundgesamtheit jeder Klassenstufe ist:

1. Schätze im Kopf, wie viele Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 ungefähr befragt werden müssten (beobachte, welchen Bruchteil von $800$ die $240$ Schülerinnen und Schüler ausmachen).

2. Berechne die genaue Anzahl der Schülerinnen und Schüler, die aus jeder Klassenstufe ausgewählt werden müssen, und überprüfe, dass die Summe aller Gruppen genau die vorgesehenen $80$ Schülerinnen und Schüler ergibt.

Die Stadtverwaltung einer Stadt mit $60.000$ Einwohnern möchte die Bürgerinnen und Bürger zur Streckenführung eines neuen Radwegenetzes befragen. Die Stadt ist in drei Stadtteile mit sehr unterschiedlichen demografischen und geografischen Merkmalen gegliedert:

• Stadtteil Zentrum: $15.000$ Einwohner (Fußgängerzonen und flaches Gelände).

• Stadtteil Neustadt: $30.000$ Einwohner (breite, flache Straßen mit sehr hohem Verkehrsaufkommen).

• Stadtteil Hügel: $15.000$ Einwohner (Wohngebiet auf Hügeln mit starken Steigungen).

Für die Untersuchung soll eine Stichprobe von $600$ Bürgerinnen und Bürgern befragt werden. Es werden drei Auswahlverfahren vorgeschlagen:

• Verfahren A: Zwei Interviewer stehen eine Woche lang vor dem größten Fahrradgeschäft mit Werkstatt der Stadt und befragen $600$ Kunden.

• Verfahren B: Aus dem Melderegister wird gelost, um genau $200$ Personen im Stadtteil Zentrum, $200$ im Stadtteil Neustadt und $200$ im Stadtteil Hügel zu befragen.

• Verfahren C: Aus dem Melderegister wird gelost, wobei die $600$ Personen proportional zur tatsächlichen Einwohnerzahl jedes Stadtteils verteilt werden.

1. a) Wähle aus, welches der drei Verfahren am besten geeignet ist, um gültige Schlüsse für die ganze Stadt zu ziehen, und begründe ausführlich, warum es die Repräsentativität sicherstellt.
2. b) Beurteile kritisch die beiden verworfenen Verfahren:

1. Erkläre die Auswahlverzerrung, die Verfahren A unbrauchbar macht.

2. Erkläre, warum Verfahren B weder gerecht noch repräsentativ ist, und gib an, welcher Stadtteil im Vergleich zu seinem tatsächlichen Bevölkerungsanteil über- und welcher unterrepräsentiert ist.

1. c) Berechne, wie viele Bürgerinnen und Bürger aus jedem Stadtteil mit Verfahren C genau ausgewählt werden müssen, damit die Stichprobe den Bevölkerungsanteil der Stadt vollkommen getreu abbildet.