Aufgaben: Runde Körper

Stell dir vor, du bist Grafikdesigner und erstellst ein 3D-Logo. Dazu drehst du ein Rechteck mit $5 \text{ cm}$ Breite und $12 \text{ cm}$ Höhe um eine seiner längeren Seiten (die Seite mit $12 \text{ cm}$), wie die Abbildung zeigt.

1. a) Zeichne den Rotationskörper, der entsteht.

1. b) Benenne seine wichtigsten Elemente (Grundfläche und Höhe) und gib an, wie groß jedes ist.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Für eine Kostümparty möchtest du einen kegelförmigen Hut basteln. Du hast den Radius der Grundfläche gemessen, er beträgt $9 \text{ cm}$, und die Höhe des Huts soll $12 \text{ cm}$ betragen. Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Mantellinie ($g$), die du brauchst, um das Netz auf dem Karton zu zeichnen.

Eine bekannte Chipsmarke verwendet zylindrische Dosen. Wenn der Radius der Grundfläche der Dose $4 \text{ cm}$ und ihre Höhe $20 \text{ cm}$ beträgt, berechne den Flächeninhalt des Papieretiketts, das die Dose seitlich umgibt (Mantelfläche). Nimm $\pi \approx 3,14$.

Ein Basketball hat einen Durchmesser von $24 \text{ cm}$. Wie viel Leder wird insgesamt für seine Herstellung benötigt? Denke daran, dass der Radius die Hälfte des Durchmessers ist, und verwende die Formel für die Kugeloberfläche $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Eine Getränkedose hat Zylinderform. Der Radius ihrer Grundfläche misst $3 \text{ cm}$ und ihre Höhe beträgt $12 \text{ cm}$. Berechne das Volumen des Getränks, das sie fassen kann, wenn sie ganz gefüllt ist. Gib das Ergebnis in Kubikzentimetern an ($cm^3$).

Betrachte die drei ebenen Figuren A, B und C. Jede wird um die gestrichelt eingezeichnete Achse einmal vollständig gedreht. Bestimme, welche davon einen Kegelstumpf ergibt. Erkläre kurz, warum du dich für diese Möglichkeit entschieden hast.

Eine Eiswaffel hat die Form eines Kegels. Wenn der Flächeninhalt der Grundfläche $25 \text{ cm}^2$ und die Höhe der Waffel $10 \text{ cm}$ beträgt, berechne ihr Volumen. Denke daran, dass das Volumen eines Kegels ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe ist: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ (mit $G$ als Grundfläche).

Im Erdkundeunterricht betrachten wir einen Globus. Wenn wir wissen, dass die Länge des Äquators (größter Kreis) ungefähr $62,8 \text{ cm}$ beträgt, wie groß ist der Radius dieser Kugel? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Markus entwirft für den Geburtstag seiner Schwester einen kegelförmigen Partyhut. In sein Heft schreibt er: „Der Radius der kreisförmigen Grundfläche ist $r = 5\text{ cm}$ und die Höhe des Huts ist $h = 12\text{ cm}$. Also muss die Mantellinie für die Kartonschablone genau $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$ messen, denn die Mantellinie verbindet den Rand der Grundfläche mit der Kegelspitze, indem man beide Strecken addiert.“\n\na) Erkläre begründet, welchen begrifflichen Fehler Markus bezüglich der inneren Geometrie des Kegels gemacht hat. Welche ebene Figur verbindet tatsächlich $r$, $h$ und $g$?\nb) Korrigiere seine Rechnung, indem du die tatsächliche Länge der Mantellinie $g$ des Huts bestimmst.

Eine handwerkliche Käserei im Münsterland stellt Käse in Form eines geraden Zylinders her. Jeder ganze Laib hat einen Durchmesser von $20\text{ cm}$ (Radius $r = 10\text{ cm}$) und eine Höhe von $8\text{ cm}$. Für eine Verkostung führt der Käsemeister einen sauberen ebenen senkrechten Schnitt von oben nach unten genau durch die Mittelpunkte der Grundflächen.\n\na) Schätze, bevor du irgendetwas numerisch berechnest, welche ebene Figur auf der Schnittfläche erscheint und ob ihr Flächeninhalt größer, kleiner oder gleich $100\text{ cm}^2$ ist. Begründe deine Vorhersage auf den ersten Blick anhand der gegebenen Abmessungen.\nb) Berechne genau die Seitenlängen dieses ebenen Schnitts und seinen tatsächlichen Flächeninhalt. Prüfe, ob deine Schätzung richtig war, und erkläre, warum ein zu den Grundflächen senkrechter Schnitt durch die Achse immer diese Figur ergibt.

Ein Getränkehersteller möchte eine neue zylindrische Dose entwerfen. Der Radius der Grundfläche soll $3,5\text{ cm}$ und die Höhe der Dose $12\text{ cm}$ betragen. Berechne den gesamten Blechbedarf für eine Dose (ohne Verschlusslaschen) und das Volumen des Getränks, das sie fassen kann, in Millilitern ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

Für eine Veranstaltung wird ein provisorisches Zelt in Form eines perfekten Kegels gebaut. Die Höhe des Zelts vom Boden bis zur Spitze beträgt $4\text{ m}$ und der Durchmesser der kreisförmigen Grundfläche $6\text{ m}$. Wie viele Quadratmeter Plane wurden benötigt, um nur die Mantelfläche des Zelts zu bedecken? (Hinweis: Bestimme zuerst die Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras.)

Eine bekannte Schokoladenmarke verkauft ihre Pralinen in einer kugelförmigen Schachtel mit $10\text{ cm}$ Durchmesser. Wenn die Schachtel zu $75\%$ ihres Fassungsvermögens mit flüssiger Schokolade gefüllt ist, wie viele Kubikzentimeter Schokolade befinden sich darin? Runde das Ergebnis auf Hundertstel.

Berechne das Volumen eines Holzteils, das aus einem Zylinder und einer Halbkugel zusammengesetzt ist. Der Zylinder hat eine Höhe von $10\text{ cm}$ und der Radius seiner Grundfläche beträgt $4\text{ cm}$. Die Halbkugel sitzt genau auf der oberen Grundfläche des Zylinders.

Eine Eiswaffel hat die Form eines Kegels. Die Waffel hat eine Tiefe (Höhe) von $12\text{ cm}$ und der Radius der Öffnung beträgt $3\text{ cm}$. Wenn das Eis das Innere der Waffel ausfüllt und oben zusätzlich eine perfekte Kugel mit demselben Radius wie der Kegel herausragt, berechne das gesamte Eisvolumen.

Betrachte das Netz eines Zylinders. Man weiß, dass der Flächeninhalt einer seiner kreisförmigen Grundflächen $28,26\text{ cm}^2$ beträgt und dass die Höhe des Mantelrechtecks $10\text{ cm}$ ist. Berechne:

1. a) den Radius der Grundfläche.
2. b) den Mantelflächeninhalt des Zylinders.
3. c) den gesamten Oberflächeninhalt.

(Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein Wassertank hat die Form eines Zylinders mit einer Höhe von $5\text{ m}$. Wenn der Tank ein Fassungsvermögen von $100.000\text{ Liter}$ haben soll, welchen Radius muss die Grundfläche des Tanks haben? (Denke daran, dass $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ Liter}$.) Runde den Radius auf zwei Dezimalstellen.

Eine Holzkugel mit $13\text{ cm}$ Radius wird von einer waagerechten Ebene geschnitten. Wenn der Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Schnittebene $5\text{ cm}$ beträgt, wie groß ist der Radius des Kreises, der im Schnitt entsteht? (Wende den Satz des Pythagoras im entstehenden rechtwinkligen Dreieck an.)

Im Kunstunterricht werden Rotationskörper aus Ton modelliert. Schneidet man einen geraden Kegel mit einem gespannten Faden durch einen senkrechten ebenen Schnitt, der durch die Spitze verläuft und die Kreisgrundfläche in zwei symmetrische Hälften teilt, so ist die sichtbare Schnittfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit $120\text{ cm}^2$ Flächeninhalt, dessen Grundseite $16\text{ cm}$ misst.\n\na) Rekonstruiere die Maße des ursprünglichen Kegels: Bestimme begründet den Radius $r$ seiner Grundfläche und seine Höhe $h$ und erkläre, welchem Element des Kegels jede Seite und jede Abmessung des beobachteten Dreiecks entspricht.\nb) Berechne die genaue Länge der Mantellinie $g$ dieses Kegels.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) verwendet in vielen seiner Stationen Regenmesser mit kegelförmigem Auffangtrichter, um Regenwasser zu sammeln. Die obere kreisförmige Öffnung des Trichters hat einen Durchmesser von $24\text{ cm}$ (Radius $r = 12\text{ cm}$) und seine Mantellinie misst $15\text{ cm}$.\n\na) Modelliere den senkrechten Schnitt des Trichters, erkenne das charakteristische rechtwinklige Dreieck und berechne die gesamte Tiefe (Höhe $h$) des Kegels.\nb) Bei einem Regenereignis füllt das gesammelte Wasser den Trichter bis zu einer Höhe von $4,5\text{ cm}$ von der unteren Spitze aus (also genau die Hälfte seiner Gesamthöhe). Begründe geometrisch, welche Figur die freie Wasseroberfläche bildet, und argumentiere, warum ihr Radius genau die Hälfte des Radius der oberen Öffnung sein muss ($6\text{ cm}$).

Ein Innenausstattungsunternehmen stellt Lampenschirme in Form eines Kegelstumpfs her. Der Radius der oberen Grundfläche beträgt $12\text{ cm}$, der der unteren Grundfläche $20\text{ cm}$ und die Höhe des Lampenschirms $15\text{ cm}$. Der spezielle Stoff kostet $18,50\text{ €/m}^2$. Berechne die Materialkosten für die Herstellung von 25 Lampenschirmen dieser Art (beachte, dass der Lampenschirm keine Grundflächen hat, es ist nur die Mantelfläche).

Eine Stahlwalze einer Straßenwalze hat die Form eines Zylinders mit einem Durchmesser von $1,2\text{ Meter}$ und einer Länge von $2,5\text{ Meter}$. Der Stahl hat eine Dichte von $7850\text{ kg/m}^3$. Wenn die Walze hohl ist und die Stahldicke am gesamten Umfang $10\text{ cm}$ beträgt (die Stirnflächen werden vernachlässigt), berechne die Gesamtmasse der Walze in Tonnen.

Es soll ein Getreidesilo gebaut werden, das aus einem zylindrischen Teil mit $4\text{ m}$ Höhe und $3\text{ m}$ Radius besteht. Unten schließt es mit einem Kegel gleichen Radius und einer Mantellinie von $5\text{ m}$ ab, um das Entleeren zu erleichtern. Berechne das gesamte Fassungsvolumen des Silos und die gesamte Blechfläche, die für die Herstellung nötig ist (einschließlich des flachen oberen Deckels des Zylinders).

Eine Glaskugel mit $15\text{ cm}$ Radius wird in ein zylindrisches Gefäß mit $32\text{ cm}$ Durchmesser getaucht, das Wasser enthält. Wenn die Kugel vollständig bis zum Boden eintaucht, um wie viele Zentimeter steigt der Wasserspiegel im Gefäß? Runde das Ergebnis auf Hundertstel.

Berechne den Oberflächeninhalt einer „Eistüte“, die aus einem geraden Kegel mit $12\text{ cm}$ Höhe und $5\text{ cm}$ Grundkreisradius besteht, auf dem eine perfekte Halbkugel genau auf der Kegelgrundfläche sitzt. Wenn wir das Eis (Kegel und Halbkugel) mit Schutzpapier einwickeln wollen, wie viel Papier brauchen wir mindestens?

Eine Holzkugel mit $20\text{ cm}$ Radius wurde von einer Ebene geschnitten, die $12\text{ cm}$ vom Mittelpunkt entfernt ist. Beim Trennen der beiden Teile entstehen zwei Kugelkappen. Berechne den gesamten Flächeninhalt (gekrümmte Fläche plus ebene kreisförmige Schnittfläche) der kleineren Kugelkappe.

(Tipp: Verwende den Satz des Pythagoras, um den Radius des Schnittkreises zu bestimmen.)

Ein Parfümflakon hat die Form eines Zylinders mit $10\text{ cm}$ Höhe. Im Inneren hat das Glas die Form eines umgekehrten Kegels, der genau bis zum Boden reicht und dessen Grundfläche mit dem Deckel des Zylinders übereinstimmt. Wenn der Radius des Flakons $3\text{ cm}$ beträgt, berechne, wie viel Prozent des Zylindervolumens vom Parfüm eingenommen werden, wenn der Flakon gefüllt ist. Hängt dieser Prozentsatz vom gewählten Radius und der gewählten Höhe ab? Begründe deine Antwort.

Ein Rotationskörper entsteht, indem ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $6\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$ um seine Hypotenuse gedreht wird.

1. a) Beschreibe den entstehenden Körper (du kannst ihn zeichnen).
2. b) Berechne den gesamten Oberflächeninhalt des entstandenen Körpers.

(Hilfe: Der Körper besteht aus zwei Kegeln, die an ihrer Grundfläche zusammengefügt sind. Du musst die Höhe des Dreiecks zur Hypotenuse berechnen.)

Eine Präzisionsfertigung in Münster muss ein kegelförmiges Teil aus gehärtetem Stahl herstellen. Die technische Spezifikation verlangt, dass die Mantellinie genau $g = 10\text{ cm}$ misst und die Höhe des Teils genau doppelt so groß ist wie der Radius seiner Grundfläche ($h = 2\cdot r$). Zur Berechnung des nötigen Radius $r$ diskutieren zwei Mitglieder des Technikteams, welchen Weg sie wählen:\n\n- Sergio schlägt das numerische Probierverfahren vor: nacheinander Dezimalwerte für $r$ ausprobieren ($4,1\text{ cm}$; $4,2\text{ cm}$; $4,3\text{ cm}$ ...), jeweils $h = 2\cdot r$ berechnen und mit dem Satz des Pythagoras prüfen, welcher Wert $g = 10\text{ cm}$ am nächsten kommt.\n- Irene schlägt das algebraische Verfahren vor: die Bedingung $h = 2\cdot r$ direkt in die pythagoreische Beziehung des Kegels ($g^2 = r^2 + h^2$) einsetzen, wodurch man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ($10^2 = r^2 + (2\cdot r)^2$) erhält, um $r$ direkt zu bestimmen.\n\na) Vergleiche beide Verfahren begründet: Welches ist im professionellen Ingenieurumfeld vorzuziehen, und welche Grenzen hat das andere Verfahren?\nb) Wende das algebraische Verfahren von Irene an: Löse die Gleichung Schritt für Schritt, bestimme den Radius $r$ auf zwei Dezimalstellen gerundet und berechne die Höhe $h$ des Teils.

An der Nordseeküste werden kugelförmige Seezeichen-Bojen verwendet, deren Außenradius $R = 50\text{ cm}$ beträgt. Beim Schwimmen im Wasser bei ruhiger See schneidet die waagerechte Ebene der Wasseroberfläche die Kugel in einem Kreis, der die Wasserlinie begrenzt. Unter normalen Bedingungen liegt der Mittelpunkt der Boje in einem senkrechten Abstand von $30\text{ cm}$ über dem Wasserspiegel.\n\na) Modelliere die Situation durch einen senkrechten Schnitt durch den Kugelmittelpunkt und berechne den genauen Radius des Kreises, den das Wasser auf der Boje zeichnet.\nb) Im Lauf der Monate beschweren Algen und Muscheln die Boje, sodass sie tiefer einsinkt und der senkrechte Abstand des Mittelpunkts zum Wasser von $30\text{ cm}$ auf nur noch $14\text{ cm}$ sinkt. Ein Wartungstechniker behauptet: „Da der Abstand des Mittelpunkts zum Wasser auf weniger als die Hälfte gesunken ist, ist der Radius des Wasserlinienkreises mehr als doppelt so groß geworden.“ Zeige algebraisch, ob seine Behauptung wahr oder falsch ist, indem du den neuen Radius berechnest, und begründe, wie sich die Größe eines ebenen Schnitts durch eine Kugel verändert, wenn sich die Ebene ihrem Mittelpunkt nähert.