Aufgaben: Polyeder

Ein Architekt entwirft ein neues Glasfassadenmodell für ein Einkaufszentrum in Form eines geraden fünfseitigen Prismas. Betrachte die Zeichnung und beantworte die folgenden Fragen, um ihm bei der Materialinventur zu helfen:

1. a) Wie viele Flächen hat das Prisma insgesamt?
2. b) Wie viele Ecken hat die Figur?
3. c) Wie viele Kanten gibt es insgesamt?

Im Technikunterricht bauen die Schüler ein Gerüst für ein Modell. Sie haben ein Polyeder entworfen, das $7$ Flächen und $10$ Ecken hat. Berechne mit der eulerschen Polyederformel ($F + E = K + 2$), wie viele Stäbe (Kanten) sie für den Aufbau des gesamten Gerüsts brauchen.

Die Würfel, die in Rollenspielen verwendet werden, haben meist die Form regelmäßiger Polyeder. Du spielst mit einem Würfel in Form eines Oktaeders (siehe Abbildung, in der die verdeckten Kanten gestrichelt dargestellt sind):

1. a) Welche Form haben seine Flächen?

1. b) Wie viele Flächen hat dieser Würfel?

1. c) Wie viele Kanten treffen sich in jeder seiner Ecken?

Ordne die folgenden Pyramiden nach dem Vieleck ihrer Grundfläche ein und bestimme, ob sie regelmäßig oder unregelmäßig sind. Begründe deine Antwort:

1. a) Eine Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $5\text{ cm}$ ist und deren Seitenflächen gleiche gleichschenklige Dreiecke sind.
2. b) Eine Pyramide, deren Grundfläche ein Rechteck mit $4\text{ cm}$ mal $6\text{ cm}$ ist.

Lina möchte für ein Geschenk eine Pappschachtel in Würfelform basteln. Dazu zeichnet sie verschiedene Schablonen in ihr Heft. Gib begründet an, welches der beiden folgenden Netze sich zu einem perfekten Würfel falten lässt und welches nicht.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Sieh dich in deinem Klassenraum oder in deinem Zimmer um und nenne:

1. a) einen Gegenstand, der die Form eines Quaders hat.
2. b) Wie viele Flächen hat dieser Gegenstand?
3. c) Sind alle seine Flächen gleich oder gibt es verschiedene Flächen? Beschreibe, wie sie aussehen.

Gib an, welche der folgenden Aussagen über Polyeder FALSCH ist, und erkläre, warum:

1. Ein konvexes Polyeder ist eines, das, wenn man es auf eine beliebige Fläche stellt, nicht „einsinkt“.

2. Das regelmäßige Tetraeder ist das Polyeder mit den wenigsten möglichen Flächen.

3. In einem regelmäßigen Polyeder können in jeder Ecke unterschiedlich viele Kanten zusammenlaufen.

4. Der Würfel ist ein Sonderfall eines vierseitigen Prismas.

Berechne die Oberfläche eines Zauberwürfels, wenn die Länge jeder seiner Kanten $6\text{ cm}$ beträgt. Denke daran, dass der Würfel $6$ identische quadratische Flächen hat.

Lukas entwirft im Technikunterricht ein Modell in Form einer regelmäßigen achteckigen Pyramide. In sein Heft hat er geschrieben: „Weil die Grundfläche ein Achteck ist, hat die Pyramide insgesamt $8$ Flächen, $8$ Ecken und $8 \cdot 2 = 16$ Kanten. Außerdem gilt der Eulersche Polyedersatz, weil $8 + 8 = 16$.“ Finde die drei begrifflichen Fehler, die Lukas gemacht hat, erkläre begründet, wie man die Elemente einer Pyramide aus den Seiten ihrer Grundfläche tatsächlich zählt, und bestimme die richtigen Werte für Flächen ($C$), Ecken ($V$) und Kanten ($A$). Überprüfe damit den Eulerschen Polyedersatz.

Für eine Geometrie-Ausstellung in der Schule sollst du mehrere Holzteile nach ihren Eigenschaften einordnen. Du hast ein Teil, das ein Polyeder ist und genau $18$ Kanten und $8$ Flächen hat, aber du bist unsicher, ob es ein Prisma oder eine Pyramide ist. Bestimme mit Begründung, um welchen Körper es sich handelt und welches Vieleck seine Grundfläche bildet. Beantworte anschließend mit Begründung: Wäre es möglich, eine Pyramide zu bauen, die insgesamt genau $15$ Kanten hat?

Ein konvexes Polyeder hat dieselbe Anzahl an Flächen wie ein regelmäßiges Oktaeder und dieselbe Anzahl an Ecken, wie ein Würfel Kanten hat. Bestimme mit der eulerschen Polyederformel, wie viele Kanten dieser geometrische Körper hat. Zeichne schematisch ein Polyeder, das diese Eigenschaften erfüllt (zum Beispiel ein sechsseitiges Prisma).

Eine bekannte Schokoladenmarke verkauft ihre Produkte in Schachteln in Form eines regelmäßigen dreiseitigen Prismas. Wenn die Seite des Dreiecks der Grundfläche $6 \text{ cm}$ misst und die Höhe des Prismas $20 \text{ cm}$ beträgt, berechne den gesamten Kartonbedarf (die Oberfläche) für eine Schachtel. (Denke daran, dass du zuerst die Höhe des Grunddreiecks mit dem Satz des Pythagoras bestimmen musst.)

Berechne das Volumen einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide, deren Grundkante $10 \text{ cm}$ misst und deren Seitenkante $13 \text{ cm}$ misst. Dazu musst du zuerst die Seitenhöhe der Pyramide und danach ihre Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Ein Bildhauer will ein Werkstück aus einem Holz-Würfel mit der Kantenlänge $10 \text{ cm}$ schnitzen. Er entfernt die vier oberen Ecken, indem er durch die Mittelpunkte der Kanten schneidet, die in jeder Ecke zusammenlaufen (in der Abbildung sind die Schnitte orange dargestellt). Zähle sorgfältig, wie viele Flächen, Ecken und Kanten die entstehende Figur hat. Überprüfe, ob die eulersche Polyederformel weiterhin gilt.

In einer Ausstellung moderner Kunst steht eine Vitrine in Form eines Quaders mit den Maßen $80 \text{ cm}$ Länge, $60 \text{ cm}$ Breite und $1 \text{ m}$ Höhe. Der Künstler möchte eine Metallstange anbringen, die die Vitrine von einer unteren Ecke bis zur gegenüberliegenden oberen Ecke durchquert. Wie lang muss die Stange genau sein?

Man will die Außenseite eines Werbezelts streichen, das die Form einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide hat. Die Seite des Sechsecks der Grundfläche misst $4 \text{ m}$ und die Seitenhöhe der Seitenfläche misst $7 \text{ m}$. Wenn ein Farbeimer $10 \text{ m}^2$ abdeckt und der Zeltboden nicht gestrichen wird, wie viele Farbeimer müssen mindestens gekauft werden?

Berechne das Volumen eines Prismas mit trapezförmiger Grundfläche (ein Wassertank). Die parallelen Seiten des Trapezes messen $2 \text{ m}$ und $3 \text{ m}$, seine Höhe beträgt $1,5 \text{ m}$ und die gesamte Länge des Tanks (Höhe des Prismas) beträgt $5 \text{ m}$. Wenn der Tank halb voll ist, wie viele Liter Wasser enthält er?

Ist es möglich, ein regelmäßiges Polyeder zu bauen, dessen Flächen regelmäßige Sechsecke sind? Begründe deine Antwort, indem du untersuchst, wie viel Grad die Winkel der Flächen, die in einer Ecke zusammenlaufen, insgesamt ergeben würden. Wiederhole die Überlegung, um zu erklären, warum es nur fünf regelmäßige konvexe Polyeder gibt.

Für das Schützenfest einer Gemeinde im Münsterland bestellt die Gemeinde ein Zelt für Kunsthandwerksstände in Form eines regelmäßigen zehnseitigen Prismas (Grundfläche mit $10$ Seiten). Das Gerüst wird mit Aluminiumstangen für die Kanten und kugelförmigen Verbindungsstücken an den Ecken aufgebaut. Bevor er den technischen Katalog zurate zieht, behauptet der Gemeinderat über den Daumen: „Für dieses Zelt brauchen wir etwa $40$ Verbindungsstücke und ungefähr $50$ Aluminiumstangen.“ Schätze zuerst kurz im Kopf und erkläre, ob dir die Zahlen des Gemeinderats stimmig oder unverhältnismäßig erscheinen. Berechne danach genau, wie viele Flächen ($C$), Ecken ($V$) und Kanten ($A$) dieses Prisma hat, überprüfe, dass die eulersche Polyederformel gilt, und beurteile den Fehler der anfänglichen Schätzung des Gemeinderats.

Ein Architekturbüro in Düsseldorf entwirft einen bioklimatischen Pavillon für einen öffentlichen Park. Das Gebäude hat die Form eines geraden sechsseitigen Prismas, das oben von einem Dach in Form einer sechsseitigen Pyramide abgeschlossen wird, deren Grundfläche genau mit der oberen Grundfläche des Prismas übereinstimmt (sodass diese Fläche im Inneren liegt und nicht als Außenfläche zählt). Modelliere dieses Gebäude mathematisch als ein einziges Polyeder und beantworte:

1. a) Wie viele Außenflächen hat es insgesamt und welche geometrische Form hat jede davon?
2. b) Wie viele Ecken und wie viele Kanten hat die gesamte äußere Struktur?
3. c) Überprüfe, ob dieses zusammengesetzte Polyeder die eulersche Polyederformel ($F + E = K + 2$, mit $F$ = Anzahl der Flächen, $E$ = Anzahl der Ecken, $K$ = Anzahl der Kanten) erfüllt, und erkläre, warum.

Ein Videospielstudio entwirft ein neues „Power-up“ in Form eines konvexen Polyeders. Die Künstler haben entschieden, dass das Objekt genau $14$ Flächen und $24$ Kanten hat.

1. a) Wie viele Ecken muss das 3D-Modell nach der eulerschen Polyederformel ($E + F = K + 2$ mit $E$: Ecken, $F$: Flächen, $K$: Kanten) haben, damit es geometrisch möglich ist?

1. b) Das fertige Polyeder stellt sich als Kuboktaeder heraus (ein Polyeder aus Quadraten und gleichseitigen Dreiecken), und wir wissen, dass in jeder seiner Ecken genau $4$ Kanten zusammenlaufen. Überprüfe, ob dein Ergebnis aus Teilaufgabe a) mit dem tatsächlichen Aufbau dieses Körpers übereinstimmt. Zähle dazu die Kanten anhand der Anzahl der Ecken und der Kanten, die in jeder Ecke zusammenlaufen.

Du baust einen Computer aus Einzelteilen zusammen und willst eine neue Grafikkarte einbauen. Das Computergehäuse (der Tower) ist ein Quader mit den Maßen $45\text{ cm}$ Höhe, $20\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Länge. Die Grafikkarte ist sehr lang und du willst wissen, ob sie diagonal hineinpassen würde, und zwar von einer unteren vorderen Ecke zur gegenüberliegenden oberen hinteren Ecke. Berechne die Länge der Raumdiagonalen des Quaders und bestimme, ob eine Karte mit $62\text{ cm}$ Länge hineinpassen würde.

Ein Schmuckhandwerksbetrieb möchte einen Silberanhänger in Form eines regelmäßigen Oktaeders herstellen. Wenn jede Kante des Oktaeders $12\text{ mm}$ misst, berechne die gesamte Silberfläche, die sie zum Überziehen des Anhängers brauchen (die Oberfläche). Tipp: Denke daran, dass ein regelmäßiges Oktaeder aus acht gleichen gleichseitigen Dreiecken besteht. Du musst zuerst die Höhe eines dieser Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Ein Architekt hat für ein Einkaufszentrum ein Oberlicht in Form einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide entworfen. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $6\text{ m}$. Wenn der Flächeninhalt der Glasfläche (die Mantelfläche der Pyramide) $60\text{ m}^2$ beträgt, berechne die tatsächliche Höhe der Pyramide vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze. Hinweis: Achtung, du musst zuerst die Seitenhöhe der Pyramide über die Mantelfläche bestimmen und dann den Satz des Pythagoras anwenden, um die Höhe zu berechnen.

Stell dir ein regelmäßiges Tetraeder und ein regelmäßiges Oktaeder vor, beide mit derselben Kantenlänge $a$. Ein Wissenschaftler behauptet, wenn man zwei dieser Polyeder an einer ihrer Flächen zusammenfügt, sei die Anzahl der nach außen liegenden Flächen des neuen Körpers immer die Summe der Flächen beider Körper minus zwei.

1. a) Berechne die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten des Körpers, der entsteht, wenn man zwei Tetraeder an einer Fläche zusammenfügt.
2. b) Gilt die eulersche Polyederformel auch für dieses neue Polyeder? Begründe deine Antwort.

Für ein Technikprojekt sollst du einen Lautsprecher in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas bauen. Der Umfang der sechseckigen Grundfläche beträgt $42\text{ cm}$ und die Höhe des Lautsprechers $30\text{ cm}$. Damit der Klang optimal ist, musst du die Seitenwände mit einem Spezialstoff beziehen, der $15\text{ €/m}^2$ kostet. Berechne die Gesamtkosten des Stoffs, der nötig ist, um die Mantelfläche von fünf gleichen Lautsprechern zu beziehen. (Denke daran, die Einheiten von $\text{cm}^2$ in $\text{m}^2$ umzurechnen.)

Ein Kristallograph untersucht einen Edelstein in Form eines regelmäßigen vierseitigen Pyramidenstumpfes. Die untere Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $10\text{ cm}$, die obere Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\text{ cm}$ und die Höhe des Stumpfes (Abstand zwischen den Grundflächen) beträgt $4\text{ cm}$.

1. a) Berechne die Länge der Seitenhöhe der Seitenflächen (das sind Trapeze).
2. b) Berechne die Oberfläche des Edelsteins.

Man will eine oben offene Metallkiste in Form eines Würfels herstellen, deren Raumdiagonale genau $10\sqrt{3}\text{ cm}$ misst.

1. a) Berechne, wie lang die Kante dieser Kiste sein muss.
2. b) Das verwendete Metall wiegt $2,5\text{ Gramm}$ pro $\text{cm}^2$. Wie groß ist die Gesamtmasse der Kiste nach der Herstellung? (Denke daran, dass die Kiste keinen oberen Deckel hat.)

Das Wissenschaftsmuseum in Münster gibt eine hohle polyedrische Skulptur in Auftrag, die aus $32$ Flächen besteht: $12$ regelmäßige Fünfecke und $20$ regelmäßige Sechsecke. In jeder Ecke des Polyeders laufen genau $3$ Kanten zusammen. Um die Anzahl der Stäbe (Kanten) und Verbinder (Ecken) zu berechnen, die bei der Fabrik bestellt werden müssen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Methoden vor:

• Methode A (Sophie): Zuerst die Kanten berechnen, indem man die Anzahl der Flächen mit ihren Seitenzahlen multipliziert und durch $2$ teilt, weil jede Kante zu zwei Flächen gehört: $A = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 2$. Dann die Ecken mithilfe der eulerschen Beziehung ($C + V = A + 2$, wobei $C$ die Anzahl der Flächen, $V$ die Anzahl der Ecken und $A$ die Anzahl der Kanten bezeichnet) bestimmen.

• Methode B (Markus): Zuerst die Ecken berechnen, wobei jedes Fünfeck $5$ Ecken beisteuert und jedes Sechseck $6$, aber jede Ecke von $3$ Flächen geteilt wird: $V = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 3$. Dann die Kanten berechnen, indem man $V$ mit $3$ multipliziert und durch $2$ teilt.

Beurteile die Gültigkeit beider Methoden und erkläre, welche dir sicherer erscheint, wenn du die eulersche Formel nicht kennen würdest. Berechne schließlich die genaue Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken der Skulptur und überprüfe, dass beide Verfahren zum selben Ergebnis führen.

Bei einem Schulwettbewerb für Robotik in Berlin legt ein Team die technische Dokumentation eines Schutzgehäuses vor. Es behauptet, ein geschlossenes konvexes Polyeder entworfen zu haben, das ausschließlich aus $7$ dreieckigen Flächen besteht.

1. a) Jedes Dreieck hat $3$ Seiten und jede Kante des Polyeders gehört zu genau zwei aneinandergrenzenden Flächen. Berechne, wie viele Kanten dieser angebliche Körper haben müsste. Welches mathematische Problem stellst du beim erhaltenen Ergebnis fest?
2. b) Wenn das Gehäuse so umgestaltet wird, dass es $8$ dreieckige Flächen hat, wie viele Kanten hat es dann? Berechne mit der eulerschen Polyederformel, wie viele Ecken es zwingend haben muss.
3. c) Verallgemeinere die Überlegung: Beweise, warum es geometrisch unmöglich ist, ein geschlossenes Polyeder zu bauen, dessen Flächen ausschließlich aus einer ungeraden Anzahl von Dreiecken bestehen.