Aufgaben: Aufgaben zur Arithmetik

In der Mathematik ist eine Größe jede Eigenschaft, die man messen und mit einer Zahl angeben kann. Gib bei der folgenden Liste von Situationen rund um Videospiele an, welche Größen sind und welche nicht:

• Die Anzahl der gesammelten Erfahrungspunkte ($XP$).

• Wie unterhaltsam das letzte Level ist.

• Die Zeit, die das Laden eines Spielstands dauert.

• Die Schönheit der Grafik der Spielumgebung.

• Der Preis eines Monatsabos in Euro.

Diese Frage kann dir in jedem Fall bei der Entscheidung helfen: Lässt es sich mit einer Zahl messen?

Gib an, ob die folgenden Größenpaare proportional zueinander sind (wenn die eine Größe zunimmt, nimmt die andere im gleichen Verhältnis zu) oder ob keine proportionale Beziehung besteht:

1. a) Die Anzahl der Handyhüllen, die du kaufst, und der zu zahlende Gesamtpreis.
2. b) Das Alter eines Jugendlichen und seine Körpergröße in Zentimetern.
3. c) Die Minuten, die eine Glühbirne eingeschaltet ist, und der Energieverbrauch.
4. d) Die Anzahl der Tore, die eine Mannschaft schießt, und das Alter ihres Kapitäns.

Für einen Fruchtshake für $2$ Personen verwenden wir $3$ Stück Obst. Wir wollen unsere Freunde einladen und Shake für $6$ Personen machen. Berechne, wie viele Stück Obst wir brauchen, indem du die folgende Verhältnisgleichung vervollständigst:

Wenn $5$ Päckchen Sammelkarten deiner Lieblingsserie $6,25$ € kosten, wie viel kostet dann ein einzelnes Päckchen? Berechne mit diesem Wert, wie viel $12$ Päckchen kosten würden.

In einem Bekleidungsgeschäft zeigt ein Schild an, dass alle Artikel um $25 \%$ reduziert sind.

Wenn du einen Hoodie kaufen möchtest, der $40$ € kostet, berechne, wie viel Geld du sparst.

Denke daran: $25 \%$ bedeutet dasselbe, wie die Menge durch $4$ zu teilen.

Ein ferngesteuertes Auto legt $15$ Meter in $3$ Sekunden zurück. Wenn es immer mit derselben Geschwindigkeit fährt, vervollständige die folgende Tabelle der proportionalen Zuordnung:

$40 \%$ der Schülerinnen und Schüler einer Klasse 7 bevorzugen Science-Fiction-Filme. Wenn in der Klasse $30$ Schüler sind, wie viele von ihnen bevorzugen diese Art von Film?

Schreibe den Prozentsatz zuerst als Bruch und als Dezimalzahl:

• Bruch: $\frac{40}{100}$

• Dezimalzahl: $0,4$

Sieh dir den Ladebalken beim Download einer Musikdatei an. Wenn die gesamte Datei $10$ MB groß ist und der Balken anzeigt, dass $70 \%$ heruntergeladen sind, wie viele MB sind schon heruntergeladen?

Paul möchte Limonade für eine Geburtstagsfeier zubereiten. Laut Rezept gibt man zu je $3$ Gläsern Zitronensaft $5$ Gläser Wasser hinzu. Weil viele Gäste kommen, beschließt Paul, $6$ Gläser Zitronensaft zu verwenden, und überlegt so: „Da ich $3$ Gläser mehr Zitrone als im ursprünglichen Rezept genommen habe, muss ich auch $3$ Gläser mehr Wasser hinzufügen, also $5 + 3 = 8$ Gläser Wasser."

1. a) Erkläre ausführlich, warum Pauls Überlegung falsch ist und wie seine Mischung im Vergleich zum ursprünglichen Rezept schmecken wird (saurer oder wässriger?).
2. b) Korrigiere seine Rechnung und bestimme, wie viele Gläser Wasser er tatsächlich zugeben muss, um das Verhältnis genau beizubehalten. Erkläre, welche Eigenschaft proportionaler Größen du dafür benutzt hast.

In einem Sportgeschäft in deinem Ort hat ein Funktions-Sweatshirt ein Preisschild von $49,90$ € und ist um $15\,\%$ reduziert.

1. a) Runde den Anfangspreis ohne Papier und Taschenrechner auf einen einfachen ganzen Betrag und schätze im Kopf schnell, wie viel Geld dir erlassen wird und wie hoch der ungefähre Endpreis ist (Tipp: Überlege, wie viel $10\,\%$ sind und die Hälfte davon für $5\,\%$).
2. b) Berechne nun den genauen Wert, indem du den Prozentsatz auf den tatsächlichen Preis auf dem Schild anwendest.
3. c) Vergleiche deine Kopfschätzung mit dem genauen Ergebnis: Ist das Ergebnis stimmig? Begründe, warum eine vorherige Schätzung eine gute Strategie ist, um Fehler oder falsche Abrechnungen in einem Geschäft zu vermeiden.

In einem beliebten Aufbauspiel beträgt das Verhältnis von Holz zu Stein, das man für den Bau einer Hütte braucht, $\frac{5}{3}$. Ein Spieler hat $120$ Einheiten Holz für seine geheime Basis gesammelt. Wie viele Einheiten Stein braucht er genau, um das Verhältnis des ursprünglichen Entwurfs beizubehalten?

Für eine Geburtstagsparty hast du ein Rezept für einen Frucht-Smoothie gefunden, bei dem $450$ ml Milch für $3$ Personen verwendet werden. Wenn sich schließlich $11$ Freunde zur Feier angemeldet haben, wie viel Milch musst du dann kaufen? Gib das Ergebnis in Litern an und verwende den Dreisatz (proportionale Zuordnung).

Ein bekannter Streamingdienst bietet ein Datenpaket zum Ansehen von Serien in HD an. Wenn bei $15$ Stunden Streaming ein Verbrauch von $37,5$ GB Daten anfällt, wie viele Gigabyte verbraucht dann eine Nutzerin, die einen Marathon ihrer Lieblingsserie über $4$ Stunden schaut? Verwende das Verfahren „Zurückrechnen auf die Einheit" (Dreisatz über eine Einheit).

Die Zahl der Follower eines Influencers ist dank eines viralen Videos innerhalb eines Monats von $12.500$ auf $15.625$ gestiegen. Wie hoch war die prozentuale Zunahme seiner Follower?

Du zeichnest den Plan deines Traumzimmers im Maßstab $1:50$. In deiner Zeichnung ist der Computertisch $2,4$ cm lang und $1,2$ cm breit. Welche tatsächlichen Maße (Länge und Breite) in Metern hat der Tisch, wenn du ihn kaufst?

Ein E-Scooter verbraucht $12$ % seines Akkus, um auf ebener Strecke $4,5$ km zurückzulegen. Der Weg von deinem Zuhause zur Schule beträgt $11,25$ km.

1. a) Wie viel Prozent des Akkus verbraucht er insgesamt auf dem gesamten Weg?

1. b) Wenn du von zu Hause losfährst, zeigt der Akku $25$ % an. Kommst du im Unterricht an, ohne dass der Akku leer wird? Begründe deine Antwort.

Der Preis eines Grafiktabletts in einem Onlineshop beträgt $160$ € ohne Steuern. Wenn beim Bezahlen eine Mehrwertsteuer von $21$ % aufgeschlagen wird, du aber einen Rabattgutschein über $10$ % hast, der auf den Endpreis (inklusive Mehrwertsteuer) angewendet wird, wie viel Geld zahlst du dann letztlich für das Tablett?

Für das Programm „Gesundes Frühstück" einer Schule kauft die Schulleitung Obst bei der örtlichen Genossenschaft. Sie wissen, dass eine Kiste mit $12\text{ kg}$ Äpfeln $15,60$ € kostet. Um die Menüs des Monats zu planen, müssen sie genau wissen, wie viel Bestellungen von $5\text{ kg}$, $18\text{ kg}$ und $25\text{ kg}$ dieser Äpfel kosten. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Wege vor:

• Lea schlägt vor, über die Einheit zu rechnen: Zuerst berechnet man den Preis für $1\text{ kg}$ Äpfel und multipliziert diesen festen Betrag dann mit jeder bestellten Kilozahl.

• Marcus schlägt vor, drei voneinander unabhängige Dreisätze (proportionale Zuordnungen) aufzustellen, mit je einer Kreuzmultiplikation und einer anderen Division für jede der drei Bestellungen.

1. a) Berechne den Preis der drei Bestellungen ($5\text{ kg}$, $18\text{ kg}$ und $25\text{ kg}$) mit Leas Verfahren.
2. b) Analysiere beide Vorgehensweisen: Wenn die Schule im Laufe des Quartals zehn Bestellungen mit unterschiedlichen Gewichten kalkulieren müsste, welches der beiden Verfahren wäre schneller und bequemer? Begründe deine Entscheidung, indem du die Anzahl der nötigen Rechenschritte beider Verfahren vergleichst.

Nach üblichen Daten zur Wasserwirtschaft verfügt eine Gemeinde über einen Reservewasserbehälter, der $180\,000$ Liter Wasser enthält, um die Bevölkerung bei einem Defekt im allgemeinen Netz zu versorgen. Bei dem üblichen Verbrauch der gemeldeten Einwohner von $15\,000$ Litern pro Tag reicht das Wasser im Behälter für $12$ volle Tage.

1. a) Aufgrund einer Dürre startet die Gemeinde eine Sparkampagne und erreicht, dass der Gesamtverbrauch auf $10\,000$ Liter pro Tag sinkt. Für wie viele volle Tage reicht die Wasserreserve jetzt?
2. b) Wenn während des Schützenfests die Zahl der Personen vorübergehend steigt und der Tagesverbrauch auf $20\,000$ Liter pro Tag zunimmt, für wie viele Tage ist die Versorgung dann gesichert?
3. c) Überprüfe, dass die Größen „Tagesverbrauch (Liter/Tag)" und „Reichweite des Behälters (Tage)" antiproportional sind, indem du zeigst, dass ihr Produkt konstant bleibt, und deute die Bedeutung dieser Konstanten in diesem Sachzusammenhang.

Ein Videospielgerät hat in einem Geschäft einen Anfangspreis. In der „Black-Friday"-Woche wird darauf ein Rabatt von $20\%$ gewährt. Auf den so entstandenen Preis kommen jedoch noch $21\%$ Mehrwertsteuer hinzu. Wenn ein Kunde am Ende insgesamt $290,40$ € zahlt, wie hoch war der Preis des Geräts vor Rabatt und Steuer?

Drei gleiche Wasserhähne brauchen genau $12$ Stunden, um einen Wassertank mit $18.000$ Litern zu füllen. Nachdem alle drei Hähne $4$ Stunden gelaufen sind, fällt einer aus und liefert kein Wasser mehr. Wie viele zusätzliche Stunden brauchen die anderen beiden Hähne, um den Tank fertig zu füllen?

Bei einem Robotik-Wettbewerb teilen sich drei Freunde ein Preisgeld von $540$ € antiproportional zu der Zeit, die sie für den Parcours gebraucht haben. Der erste Freund brauchte $4$ Minuten, der zweite $5$ Minuten und der dritte $10$ Minuten. Welchen Geldbetrag erhält jeder?

Eine Wanderkarte hat den Maßstab $1:25.000$. Auf der Karte misst ein Jugendlicher eine rechteckige Strecke für eine Route, die $6$ cm lang und $4$ cm breit ist. Wenn er mit einer konstanten Geschwindigkeit von $5$ km/h geht, wie viele Stunden und Minuten braucht er, um den gesamten Umfang dieser rechteckigen Route in der Wirklichkeit abzulaufen?

An einer Schule treiben $60\%$ der Schülerinnen und Schüler irgendeinen Sport. Von diesen sporttreibenden Schülern spielen $25\%$ Basketball. Wenn wir wissen, dass $45$ Schüler Basketball spielen, wie viele Schüler hat die Schule insgesamt und wie viele von ihnen treiben keinen Sport?

Um eine spezielle Metalllegierung herzustellen, werden Kupfer und Zink im Verhältnis $5:2$ gemischt. Wenn in einer Gießerei für ein Werkstück $12,6$ kg mehr Kupfer als Zink verwendet wurden, wie schwer ist das entstandene Metallstück insgesamt?

Ein Auto verbraucht im Durchschnitt $6,5$ Liter Benzin auf $100$ Kilometern, wenn es mit einer Geschwindigkeit von $90$ km/h fährt. Erhöht es seine Geschwindigkeit jedoch auf $120$ km/h, steigt sein Verbrauch um $20\%$. Wie viele Liter Benzin verbraucht es auf einer Fahrt von $360$ km, wenn es die ganze Zeit mit $120$ km/h fährt?

Ein Bekleidungsgeschäft wirbt damit, dass alle Kleidungsstücke $30\%$ Rabatt haben. Hannah kauft eine Hose und erfährt an der Kasse, dass sie als „Clubmitglied" einen zusätzlichen Rabatt von $10\%$ auf den bereits reduzierten Preis erhält. Wenn sie schließlich $37,80$ € für die Hose zahlt, wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose und welcher Rabatt in Prozent wurde ihr insgesamt tatsächlich gewährt?

Eine Hochschulbuchhandlung macht während der Buchmesse eine Aktion: Alle Lehrbücher werden direkt um $10\,\%$ reduziert. Zusätzlich erhalten Studierende, die ihre Zugehörigkeit zu einer Bildungseinrichtung nachweisen, einen zweiten prozentualen Rabatt auf den bereits reduzierten Preis. Eine Schülerin kauft ein naturwissenschaftliches Lehrbuch, dessen ursprünglicher Katalogpreis $30$ € betrug, und zahlt nach beiden Rabatten an der Kasse genau $21,60$ €.

1. a) Bestimme, wie viel Prozent zusätzlichen Rabatt sie als Studentin auf den bereits reduzierten Preis erhalten hat.
2. b) Ein anderer Student kauft unter denselben Bedingungen ein Wörterbuch und zahlt insgesamt $15,12$ €. Berechne mithilfe der beiden bekannten Rabatte, wie hoch der ursprüngliche Katalogpreis des Wörterbuchs vor jeglicher Reduzierung war.
3. c) Wenn jemand die beiden Rabattsätze ($10\,\%$ plus den Wert aus Teilaufgabe a) einfach addieren würde, erhielte er dann denselben Rabatt, der tatsächlich gewährt wurde? Begründe mathematisch, warum man aufeinanderfolgende Prozentsätze nicht einfach addieren kann.

In einem Haushalt kündigt der Stromanbieter an, dass der Preis pro Kilowattstunde ($\text{kWh}$) im nächsten Monat um $25\,\%$ steigt. Damit die Stromrechnung insgesamt nicht steigt und die monatlichen Kosten in Euro gleich bleiben, schlägt David seiner Familie vor: „Da der Preis um $25\,\%$ steigt, müssen wir zum genauen Ausgleich nur unseren Verbrauch an Kilowattstunden um $25\,\%$ senken, und dann ändern sich die Gesamtkosten nicht."

1. a) Angenommen, die Familie verbrauchte vor der Erhöhung $200\text{ kWh}$ zu einem Preis von $0,20$ €/$\text{kWh}$ (Kosten von $40$ €). Berechne, wie hoch die neuen Gesamtkosten wären, wenn sie Davids Vorschlag umsetzen (Preis um $25\,\%$ höher und Verbrauch um $25\,\%$ niedriger). Ist Davids Aussage richtig?
2. b) Erkläre mithilfe der antiproportionalen Beziehung zwischen Einzelpreis und Verbrauch bei festen Kosten, warum man das Multiplizieren einer Größe mit $1,25$ nicht dadurch ausgleichen kann, dass man bei der anderen Größe $25\,\%$ abzieht.
3. c) Bestimme, um wie viel Prozent die Familie ihren Verbrauch gegenüber den ursprünglichen $200\text{ kWh}$ tatsächlich senken müsste, damit die Endkosten weiterhin genau $40$ € betragen.

Themenchallenge. Optimiere das Haushaltsbudget! Werde Finanzberater deines Haushalts, indem du Rechenaufgaben mit echten Alltagsdaten löst.

1. Datenerhebung: Besorge dir einen aktuellen Kassenbon vom Familieneinkauf oder suche auf der Website der Bundesnetzagentur bzw. eines Strombörsen-Portals die Kosten pro kWh in drei Zeitfenstern von gestern (Nebenzeit, Mittelzeit und Spitzenzeit).

2. Numerische Auswertung: Erfasse in einer Tabellenkalkulation mindestens $5$ Produkte (oder die $3$ Zeitfenster). Berechne die Einzelpreise (pro kg, Liter oder kWh), schlüssle die angewandte Mehrwertsteuer ($7\,\%$ oder $19\,\%$) auf und bestimme, wie viel Prozent der Gesamtausgaben der teuerste Posten genau ausmacht.

3. Sparvorschlag: Löse die folgende Sachaufgabe: Wenn deine Familie diese Hauptausgabe durch sparsames Verbrauchsverhalten um $12,5\,\%$ senken könnte, wie viele Euro würdet ihr in einem Monat mit $30$ Tagen sparen? Erstelle einen kurzen Bericht (eine Seite) mit der Datentabelle und zwei begründeten Schlussfolgerungen.

Bewertet werden:

• Richtigkeit und Genauigkeit bei den verbundenen Rechenoperationen mit Dezimalzahlen und Prozenten.

• Geschick und Ordnung bei der Organisation der realen Daten in der Tabellenkalkulation.

• Mathematische Genauigkeit und Stimmigkeit der Schlussfolgerungen und Sparvorschläge im Abschlussbericht.