Aufgaben: Vergleich von linearem, quadratischem und exponentiellem Wachstum

Gegeben ist die Wertetabelle:

Entscheide, ob es sich um lineares oder exponentielles Wachstum handelt, und begründe deine Entscheidung. Gib einen Funktionsterm an.

Berechne für die Funktionen $f(x) = 3x + 2$, $g(x) = x^2 + 2$ und $h(x) = 2 \cdot 3^x$ jeweils die Funktionswerte an den Stellen $x = 0$, $1$, $2$, $3$ und $4$. Welche Funktion wächst am stärksten?

Ordne jedem Vorgang einen Wachstumstyp (linear, quadratisch, exponentiell) zu:

1. a) Ein Handyvertrag kostet $10 \text{ €}$ Grundgebühr plus $4 \text{ €}$ pro Monat.

1. b) Eine Bakterienkultur verdreifacht sich jede Stunde.

1. c) Die Fläche eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge.

Familie Becker aus Dortmund vergleicht zwei Sparangebote für $1.000 \text{ €}$:

Angebot A: Jedes Jahr werden $50 \text{ €}$ gutgeschrieben.

Angebot B: Das Guthaben wird jedes Jahr mit $4\,\%$ verzinst.

1. a) Stelle für beide Angebote einen Funktionsterm für das Guthaben nach $t$ Jahren auf.

1. b) Berechne das Guthaben nach 10 und nach 30 Jahren.

1. c) Nach wie vielen Jahren ist Angebot B erstmals besser als A? Probiere systematisch.

Gegeben ist eine Messreihe:

1. a) Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Werte und die Differenzen dieser Differenzen.

1. b) Begründe, dass ein quadratisches Modell passt, und bestimme den Funktionsterm $N(t) = at^2 + bt + c$.

Ein Kanal in einer Stadt wird von Algen besiedelt. Am Montag bedecken die Algen $2 \text{ m}^2$, am Dienstag $3 \text{ m}^2$, am Mittwoch $4,5 \text{ m}^2$.

1. a) Prüfe, ob lineares oder exponentielles Wachstum besser passt, und begründe.

1. b) Gib einen Funktionsterm an und berechne die bedeckte Fläche am Sonntag (6 Tage nach Montag).

Ein Unternehmen in Düsseldorf prognostiziert die Nutzerzahlen einer App (in Tausend) nach $t$ Monaten mit drei Modellen:

$L(t) = 20 + 15t$, $Q(t) = 20 + 2t^2$, $E(t) = 20 \cdot 1{,}3^t$.

1. a) Berechne für $t = 6$, $t = 12$ und $t = 24$ jeweils die Nutzerzahlen.

1. b) Bestimme, ab welchem Monat $E(t) > L(t)$ gilt, und begründe, warum exponentielles Wachstum langfristig jedes lineare und jedes quadratische Wachstum übertrifft.

1. c) Diskutiere, welches Modell für einen langen Zeitraum realistisch ist.

Eine Messreihe zur Ausbreitung einer Pflanze (Fläche $A$ in $\text{m}^2$) lautet:

1. a) Zeige rechnerisch, dass die Werte näherungsweise zu exponentiellem Wachstum passen.

1. b) Bestimme einen Funktionsterm der Form $A(t) = 5 \cdot b^t$.

1. c) Berechne, wann die Fläche $100 \text{ m}^2$ überschreitet.

Zwei Wasserbecken werden befüllt. Becken A: Anfangs $100 \text{ L}$, jede Minute kommen $60 \text{ L}$ hinzu. Becken B: Anfangs $10 \text{ L}$, die Wassermenge verdoppelt sich in einem Modell jede Minute.

1. a) Stelle für beide Becken Funktionsterme auf.

1. b) Bestimme, nach welcher Zeit B erstmals mehr Wasser enthält als A.

1. c) Beurteile, warum das Modell für B physikalisch nur begrenzt sinnvoll ist.