Aufgaben: Rückführung auf den ersten Quadranten und Grundbeziehung

In der Abbildung sind die Winkel von $30º$ und $150º$ am Einheitskreis dargestellt.

Drücke anhand der Symmetrie der Abbildung $\sin 150º$ und $\cos 150º$ durch $\sin 30º$ und $\cos 30º$ aus und gib jeweils das richtige Vorzeichen an.

Drücke jeden dieser trigonometrischen Werte durch den Wert eines Winkels des ersten Quadranten aus und achte auf das Vorzeichen:

• $\sin 210º$

• $\cos 225º$

• $\tan 240º$

Drücke jeden dieser trigonometrischen Werte durch den Wert eines Winkels des ersten Quadranten aus und achte auf das Vorzeichen:

• $\sin 330º$

• $\cos 315º$

• $\tan 300º$

Gib mithilfe des Taschenrechners den Wert dieser trigonometrischen Werte auf vier Nachkommastellen an und überprüfe die angegebene Beziehung:

• Berechne $\sin 140º$ und $\sin 40º$. Welche Beziehung besteht zwischen beiden Werten?

• Berechne $\cos 140º$ und $\cos 40º$. Welche Beziehung besteht zwischen beiden Werten?

• Erkläre mit dem Einheitskreis, warum das Beobachtete eintritt.

Marcos löst eine Aufgabe, bei der er weiß, dass $\sin \alpha = 0,6$ gilt und dass der Winkel $\alpha$ im zweiten Quadranten liegt ($90º < \alpha < 180º$). In sein Heft hat er Folgendes geschrieben:

„Nach der Grundbeziehung ist $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{0,64} = 0,8$. Mit der Formel für Supplementwinkel folgt also $\cos(180º - \alpha) = -0,8$.“

1. a) Finde die beiden begrifflichen Fehler, die Marcos gemacht hat, und erkläre mithilfe der Bedeutung der Koordinaten am Einheitskreis, warum sie falsch sind.
2. b) Korrigiere das Vorgehen und berechne die richtigen Werte von $\cos \alpha$ und von $\cos(180º - \alpha)$.

Betrachte den Winkel $\beta = 200º$.

1. a) Schätze vor dem Rechnen qualitativ ab: In welchem Quadranten liegt $\beta$? Welche Vorzeichen müssen $\sin 200º$ und $\cos 200º$ haben? Vergleichst du $200º$ mit $180º$: Welcher der beiden Werte (Sinus oder Kosinus) hat vermutlich den größeren Betrag?
2. b) Es gilt $200º = 180º + 20º$. Verwende $\sin 20º \approx 0,3420$ und $\cos 20º \approx 0,9397$ als Näherungswerte und berechne mithilfe der Reduktionsformeln auf den ersten Quadranten die (näherungsweise exakten) Werte von $\sin 200º$, $\cos 200º$ und $\tan 200º$.
3. c) Prüfe, ob die Ergebnisse deine Abschätzung aus Teilaufgabe a) bestätigen, und begründe, warum der Tangens positiv ist, obwohl sowohl der Sinus als auch der Kosinus negativ sind.

Es gilt $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ und $\alpha$ liegt im zweiten Quadranten. Berechne den exakten Wert von $\cos \alpha$ und von $\tan \alpha$.

Es gilt $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ und $\alpha$ liegt im dritten Quadranten. Berechne den exakten Wert von $\sin \alpha$ und von $\tan \alpha$.

Es gilt $\tan \alpha = 2$ und $\alpha$ liegt im dritten Quadranten. Berechne den exakten Wert von $\sin \alpha$ und von $\cos \alpha$. (Tipp: Nutze, dass $\sin \alpha = 2\cdot\cos \alpha$ gilt, und setze in den trigonometrischen Pythagoras ein.)

In der Abbildung sind der Einheitskreis und die waagerechte Gerade $\sin x = \frac{1}{2}$ dargestellt, die ihn in zwei Punkten schneidet.

Bestimme alle Winkel $x$ aus $[0º; 360º)$, die $\sin x = \frac{1}{2}$ erfüllen, und begründe anhand der Abbildung.

Bestimme alle Winkel $x$ aus $[0°; 360°)$, die $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ erfüllen, und gib an, in welchen Quadranten sie liegen.

In der Abbildung sind die Winkel $60º$ und $120º$ dargestellt, die Supplementwinkel sind.

Es gilt $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ und $\cos 60º = \frac{1}{2}$. Berechne $\sin 120º$ und $\cos 120º$ und begründe mithilfe der Symmetrie der Abbildung.

Um den exakten Wert von $\sin(180º + \alpha)$ und $\cos(360º - \alpha)$ zu berechnen, wenn $\tan \alpha = -2$ gilt und $\alpha$ im zweiten Quadranten liegt, schlagen zwei Mitschüler unterschiedliche Strategien vor:

• Hannah schlägt vor, die Identität $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ zu nutzen, um $\cos \alpha$ zu erhalten, daraus mit $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$ dann $\sin \alpha$ zu bestimmen und schließlich die gesuchten Winkel auf den ersten Quadranten zu reduzieren.

• Sergio schlägt vor, ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten aufzustellen: $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2$ und $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\sin \alpha = -2\cos \alpha$ zu bestimmen, in den trigonometrischen Pythagoras einzusetzen und mit den Reduktionen abzuschließen.

1. a) Analysiere beide Methoden: Sind beide korrekt? Welche ist direkter und birgt weniger Gefahr, bei der Wahl der Vorzeichen Fehler zu machen?
2. b) Wende die Methode an, die du für effizienter hältst, und gib den exakten, vereinfachten Wert (mit Wurzeln) von $\sin(180º + \alpha)$ und $\cos(360º - \alpha)$ an.

Der Bordcomputer einer Drohne registriert einen Ausrichtungswinkel $\theta \in [0º; 360º)$, der wegen eines Displayfehlers nicht direkt abgelesen werden kann, aber im Speicher sind zwei verlässliche Angaben erhalten:

1. $\sin(180º - \theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos(-\theta) < 0$.

1. a) Leite begründet her, in welchem Quadranten der Winkel $\theta$ liegt.
2. b) Bestimme den exakten Wert von $\theta$ in Grad innerhalb von $[0º; 360º)$.
3. c) Schreibe eine einfache trigonometrische Gleichung der Form $\cos x = k$ auf, deren einzige zwei Lösungen im Intervall $[0º; 360º)$ der gefundene Winkel $\theta$ und sein Gegenwinkel (symmetrisch zur waagerechten Achse) sind.

Es gilt $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ und $\alpha$ liegt im vierten Quadranten:

• Berechne den exakten Wert von $\sin \alpha$ und von $\cos \alpha$.

• Berechne $\sin(180º - \alpha)$.

• Berechne $\cos(180º + \alpha)$.

• Bestimme alle Winkel $x$ aus $[0°; 360°)$, die $\tan x = 1$ erfüllen.

• Begründe mithilfe des Einheitskreises, wie viele Lösungen dieselbe Gleichung im Intervall $[0°; 720°)$ hätte, und gib sie alle an.

Eine Schülerin hat diese Lösung aufgeschrieben:

„Wenn $\cos \alpha = -0,8$ gilt und $\alpha$ im zweiten Quadranten liegt, dann:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = -0,6$“

Finde den Fehler, den sie gemacht hat, erkläre, warum es ein Fehler ist, und berechne $\sin \alpha$ und $\tan \alpha$ richtig.

Zeige, dass für jeden Winkel $\alpha$ gilt:

(Hinweis: Reduziere zuerst jedes Verhältnis auf den ersten Quadranten.)

Bestimme alle Winkel $x$ aus $[0^\circ; 360^\circ)$, die $\sin^2 x = \frac{1}{4}$ erfüllen, und begründe, wie viele Lösungen es gibt und in welchen Quadranten sie liegen.

Die Spitze eines Rotorblatts einer Windkraftanlage beschreibt einen Kreis mit dem Radius $1\ \text{m}$ (in relativen Einheiten) um die Rotorachse. Nennen wir den Winkel, den das Rotorblatt mit der Waagerechten bildet, im Gegenuhrzeigersinn gemessen, $\theta$, dann ist die Höhe der Spitze bezüglich des Mittelpunkts $\sin \theta$ und ihre horizontale Verschiebung $\cos \theta$.

• Vervollständige eine Tabelle mit der Höhe und der horizontalen Verschiebung der Spitze für $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ und $270º$.

• Das Rotorblatt dreht sich $40$ Mal pro Minute. Nach einer gewissen Zeit befindet sich die Spitze in einer Höhe von $0,5\ \text{m}$ über dem Mittelpunkt. Welche Werte von $\theta$ zwischen $0º$ und $360º$ entsprechen dieser Höhe?

• Und welche entsprechen einer Höhe von $-0,5\ \text{m}$?

In einem Windpark bei Münster dreht sich ein Rotorblatt einer Windkraftanlage der Länge $40\text{ m}$ im Gegenuhrzeigersinn um seine Mittelachse (Nabe). Nimmt man die waagerechte Achse durch die Nabe als Bezug ($0º$ nach rechts), so ist die vertikale Höhe der Blattspitze bezüglich der Nabe $h(\alpha) = 40 \cdot \sin \alpha$ (in Metern) und ihre horizontale Position $d(\alpha) = 40 \cdot \cos \alpha$ (in Metern).

Bei einer technischen Wartung bleibt das Rotorblatt in einer Position $\alpha$ stehen, sodass seine horizontale Abweichung $d = -24\text{ m}$ beträgt und die Blattspitze unterhalb der Nabe liegt ($h < 0$).

1. a) Leite her, in welchem Quadranten sich das Rotorblatt befindet, und berechne den exakten Wert von $\cos \alpha$.
2. b) Berechne mithilfe des trigonometrischen Pythagoras die exakte Höhe $h$, in der sich die Blattspitze bezüglich der Nabe befindet, und begründe das Vorzeichen der Wurzel sorgfältig.
3. c) Die Wartungssensoren verarbeiten nur spitze Winkel $\beta \in [0º; 90º]$. Drücke $\alpha$ in der Form $\alpha = 180º + \beta$ aus und bestimme den exakten Wert von $\sin \beta$, $\cos \beta$ und $\tan \beta$. Was stellt $\beta$ geometrisch in Bezug auf die Position des Rotorblatts dar?

Zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ aus dem Intervall $[0º; 360º)$ liegen in verschiedenen Quadranten und erfüllen gleichzeitig das folgende System von Bedingungen:

1. $\sin(180º - \alpha) + \sin(180º + \beta) = 0$.

2. $\cos(360º - \alpha) - \cos(180º - \beta) = 0$.

1. a) Wende in beiden Gleichungen die Reduktionsformeln auf den ersten Quadranten an, um einen direkten Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Verhältnissen von $\alpha$ und denen von $\beta$ zu erhalten.
2. b) Leite aus dem vorigen Ergebnis die exakte geometrische Beziehung zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ her (sind sie Supplementwinkel, Gegenwinkel oder unterscheiden sie sich um $180º$?). Begründe deine Schlussfolgerung, indem du die Vorzeichen am Einheitskreis analysierst.
3. c) Es gilt außerdem $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ und $\alpha$ liegt im zweiten Quadranten. Bestimme mithilfe des trigonometrischen Pythagoras den exakten Wert von $\cos \beta$ und von $\tan \beta$ und begründe das Vorzeichen in jedem Schritt, ohne den Taschenrechner zu verwenden.