Aufgaben: Orientierte Winkel und Einheitskreis

Ein Winkel größer als $360º$ beschreibt mehr als eine volle Umdrehung. Schreibe jeden dieser Winkel als Anzahl voller Umdrehungen plus einen Winkel kleiner als $360º$:

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Negative Winkel werden im Uhrzeigersinn durchlaufen. Schreibe jeden dieser Winkel als positiven Winkel kleiner als $360º$ mit demselben Endschenkel:

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Gib an, in welchem Quadranten der Endschenkel jedes dieser Winkel liegt:

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

Am Einheitskreis ist der Sinus eines Winkels die y-Koordinate und der Kosinus die x-Koordinate des Punktes, in dem der Endschenkel den Kreis schneidet, wie in der Abbildung dargestellt.

Berechne anhand der Abbildung begründet den Wert von:

• $\sin 90º$ und $\cos 90º$

• $\sin 180º$ und $\cos 180º$

• $\sin 270º$ und $\cos 270º$

• $\sin 360º$ und $\cos 360º$

Gib ohne Taschenrechner das Vorzeichen (positiv oder negativ) jedes dieser trigonometrischen Werte an und begründe, zu welchem Quadranten der jeweilige Winkel gehört:

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

In der Abbildung ist ein Winkel $\alpha$ am Einheitskreis dargestellt, mit den Projektionen seines Punktes $P$ auf die Achsen.

Gib anhand der Abbildung das Vorzeichen von $\sin \alpha$, von $\cos \alpha$ und von $\tan \alpha$ an und begründe jede Antwort mithilfe der Koordinaten des Punktes $P$.

Marcos soll die trigonometrischen Werte des Winkels $\alpha = 120^\circ$ berechnen. In sein Heft schreibt er folgende Erklärung: „Da dem Endschenkel von $120^\circ$ noch $30^\circ$ bis zur positiven senkrechten Halbachse $Y$ fehlen, ist sein Bezugswinkel $30^\circ$. Also gilt $\sin 120^\circ = \sin 30^\circ = 0,5$ und $\cos 120^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.“ Finde den begrifflichen Fehler, den Marcos bei der Bestimmung des Bezugswinkels gemacht hat, erkläre, warum die Definition verlangt, immer die waagerechte Achse $X$ als Bezug zu nehmen, und gib die richtigen Werte von $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ und $\tan 120^\circ$ an.

Betrachte den orientierten Winkel $\alpha = 310^\circ$ am Einheitskreis.

1. a) Schätze ohne Taschenrechner begründet ab, in welchem Quadranten sein Endschenkel liegt und welche Vorzeichen seine x-Koordinate (Kosinus), seine y-Koordinate (Sinus) und sein Tangens haben.
2. b) Der Endschenkel von $310^\circ$ liegt $50^\circ$ von der positiven Halbachse $X$ ($360^\circ - 310^\circ$) und $40^\circ$ von der negativen Halbachse $Y$ ($310^\circ - 270^\circ$) entfernt. Schätze anhand dieser relativen Lage am Kreis ab, welcher der beiden Beträge größer sein muss: $|\sin 310^\circ|$ oder $|\cos 310^\circ|$.
3. c) Überprüfe deine Schätzung, indem du den spitzen Bezugswinkel zur Achse $X$ berechnest und daraus folgerst, welche Kathete des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks länger ist.

In der Abbildung ist der Winkel von $135º$ am Einheitskreis zusammen mit seinem Bezugsdreieck dargestellt.

Es gilt $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Berechne den exakten Wert von $\sin 135º$ und von $\cos 135º$ unter Beachtung des Quadranten, in dem der Punkt $P$ liegt.

Bestimme, in welchem Quadranten jeder der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ liegt, wenn gilt:

• $\sin \alpha < 0$ und $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ und $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ und $\tan \gamma < 0$

Gib außerdem in jedem Fall das Vorzeichen des fehlenden trigonometrischen Wertes an.

Ein Riesenrad dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Eine der Gondeln startet am tiefsten Punkt und hat sich nach dem Durchlaufen eines vollständigen Zyklus insgesamt um $750º$ gedreht.

• Wie viele volle Umdrehungen hat die Gondel gemacht?

• Welcher Winkel kleiner als $360º$ beschreibt ihre Endposition relativ zur Startposition?

• Wenn die Drehung $1500º$ betragen hätte, wo würde die Gondel dann ankommen?

Ein Segelboot fährt auf Kurs $220º$. In der Seefahrt wird der Kurs im Uhrzeigersinn von Norden aus gemessen; in der Mathematik werden Winkel gegen den Uhrzeigersinn von Osten aus (positive $X$-Halbachse) gemessen.

• Gib den Kurs des Segelboots als mathematischen Winkel $\alpha$ zwischen $0º$ und $360º$ an.

• Gib an, in welchem Quadranten das Segelboot fährt, und das Vorzeichen von $\sin \alpha$ und von $\cos \alpha$.

Betrachte den Winkel $\alpha = 215º$.

• Gib an, in welchem Quadranten sein Endschenkel liegt.

• Bestimme das Vorzeichen von $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ und $\tan \alpha$.

• Schreibe $\alpha$ als $180º$ plus einen spitzen Winkel und außerdem als negativen Winkel zwischen $-360º$ und $0º$.

Gib an, ob jede dieser Aussagen wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort:

• Es gibt einen Winkel $\alpha$ mit $\cos \alpha = 1,4$.

• Wenn $\sin \alpha > 0$, dann liegt $\alpha$ im ersten Quadranten.

• Der Tangens von $90º$ existiert nicht.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

Das Wetterradar der AEMET in Murcia dreht sich gegen den Uhrzeigersinn und sendet dabei einen Abtaststrahl aus. Die Ausrichtung wird als Winkel am Einheitskreis gemessen, wobei Osten der positiven Halbachse $X$ ($0^\circ$) und Norden der positiven Halbachse $Y$ ($90^\circ$) entspricht. Zu einem bestimmten Zeitpunkt der Überwachung registriert die Antenne eine aufsummierte Drehung von $\alpha = -510^\circ$.

1. a) Reduziere den Winkel $\alpha$ auf die erste Umdrehung, indem du ihn als Anzahl voller Umdrehungen plus einen positiven Winkel $\beta \in [0^\circ; 360^\circ)$ schreibst.
2. b) In welchen geografischen Quadranten (Nordosten, Nordwesten, Südwesten oder Südosten) zeigt der Radarstrahl in diesem Moment?
3. c) Wenn das Radar den Kern einer Wolke in einem normierten Abstand vom Radius $1$ ortet, bestimme die kartesischen Koordinaten $(x, y)$ des Punktes auf dem Einheitskreis und gib sie exakt mithilfe der trigonometrischen Werte seines spitzen Bezugswinkels zur Achse $X$ an.

Am Einheitskreis (Radius $1$, Mittelpunkt im Ursprung) schneidet der Endschenkel eines Winkels $\alpha$ den Kreis in einem Punkt $P(x|y)$, dessen x-Koordinate $x = -0,8$ ist. Außerdem gilt $\tan \alpha > 0$.

1. a) Bestimme begründet, in welchem Quadranten der Winkel $\alpha$ liegt, anhand der Vorzeichen seiner x-Koordinate und seines Tangens.
2. b) Nutze die Grundbeziehung am Einheitskreis ($x^2 + y^2 = 1$), um den exakten Wert der y-Koordinate $y$ (also $\sin \alpha$) herzuleiten, und berechne den Wert von $\tan \alpha$.
3. c) Der spitze Winkel im ersten Quadranten, dessen Kosinus $0,8$ beträgt, ist etwa $36,87^\circ$. Berechne:

1. Den Wert des positiven Winkels $\alpha$ der ersten Umdrehung ($[0^\circ; 360^\circ)$).

2. Einen negativen Winkel $\beta$, der genau denselben Endschenkel wie $\alpha$ hat, nachdem eine volle Umdrehung im Uhrzeigersinn durchlaufen wurde (zwischen $-720^\circ$ und $-360^\circ$).

Ein Schüler hat in sein Heft folgende Lösung geschrieben:

„$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$“

Finde den Fehler, den er gemacht hat, erkläre, warum es ein Fehler ist, und berechne den Wert von $\cos 130º$ mit dem Taschenrechner richtig, auf vier Nachkommastellen genau.

In der Abbildung sind zwei Winkel, $\alpha$ und $\beta$, am Einheitskreis dargestellt, deren Punkte auf dem Endschenkel in derselben Höhe liegen.

• In welcher Beziehung stehen die Winkel $\alpha$ und $\beta$ zueinander? Gib sie als Gleichung an.

• Wenn $\sin \alpha = 0,42$ und $\alpha \approx 25º$, bestimme einen weiteren Winkel aus $[0º; 360º)$, der denselben Sinus hat.

• In welcher Beziehung stehen zwei Winkel aus $[0º; 360º)$, die denselben Kosinus haben? Begründe deine Antwort mit dem Einheitskreis.

Der Punkt $P$ in der Abbildung liegt auf dem Einheitskreis, befindet sich im dritten Quadranten und erfüllt $\cos \alpha = -0,8$.

• Welches Vorzeichen hat $\sin \alpha$? Und welches $\tan \alpha$?

• Berechne den exakten Wert von $\sin \alpha$ mithilfe der Grundbeziehung $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Berechne $\tan \alpha$.

• Es sei $\beta = \alpha - 180º$. Gib an, in welchem Quadranten $\beta$ liegt, und berechne seine drei trigonometrischen Werte.

Gehe von der Definition $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ aus:

• Bestimme alle Winkel $\alpha$ aus $[0º; 360º)$, für die $\tan \alpha$ nicht existiert, und begründe die Antwort.

• Bestimme alle Winkel $\alpha$ aus $[0º; 360º)$, für die $\tan \alpha = 0$ gilt.

• Schreibe mit einer beliebigen ganzen Zahl $k$ den allgemeinen Ausdruck für alle Winkel an, für die der Tangens nicht existiert.

Im Unterricht sollen alle Winkel $\alpha$ der ersten Umdrehung ($0^\circ \le \alpha < 360^\circ$) gefunden werden, die die Bedingung $\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ erfüllen. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Lösungswege vor:

• Sofía (geometrisches Verfahren am Einheitskreis): Sie sagt, da $\cos \alpha = x$ und $\sin \alpha = y$ am Einheitskreis gilt, sei die Bedingung gleichbedeutend mit $y^2 = x^2$, also $|y| = |x|$. Die gesuchten Punkte sind daher die Schnittpunkte des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden der vier Quadranten ($y = x$ und $y = -x$).

• Mateo (algebraisches Verfahren): Er schlägt vor, beide Seiten durch $\cos^2 \alpha$ zu teilen, um $\tan^2 \alpha = 1$ zu erhalten, was $\tan \alpha = 1$ oder $\tan \alpha = -1$ ergibt.

1. a) Wende Sofías Verfahren an und bestimme die vier Lösungswinkel; begründe geometrisch ihre Symmetrie bezüglich der Achsen und ihren Bezugswinkel im ersten Quadranten.
2. b) Analysiere Mateos Verfahren: Welche mathematische Prüfung ist vor dem Teilen des gesamten Ausdrucks durch $\cos^2 \alpha$ zwingend nötig, und warum können wir in diesem besonderen Fall sicher sein, keine Lösung zu verlieren?
3. c) Vergleiche beide Vorgehensweisen und begründe, welche das größere geometrische Verständnis für das Verhalten der Vorzeichen der trigonometrischen Werte in den vier Quadranten vermittelt.

Der Arm eines Industrie-Montageroboters hat eine normierte Länge von $1$ Meter, seine feste Basis liegt im Ursprung $(0|0)$. Das Armende wird über einen Winkel $\theta$ ausgerichtet, der gegen den Uhrzeigersinn von der positiven Halbachse $X$ aus gemessen wird, und befindet sich in einem Punkt $P(x|y)$ des Einheitskreises. Um im Inneren eines Werkstücks eine Schweißung auszuführen, muss das Armende im dritten Quadranten so positioniert werden, dass sein waagerechter Abstand zur senkrechten Achse genau doppelt so groß ist wie sein senkrechter Abstand zur waagerechten Achse ($|x| = 2 \cdot |y|$).

1. a) Stelle die obige algebraische Bedingung zusammen mit der Gleichung des Einheitskreises ($x^2 + y^2 = 1$) auf und bestimme die exakten Werte von $\cos \theta$, $\sin \theta$ und $\tan \theta$.
2. b) Der spitze Bezugswinkel zur waagerechten Achse erfüllt $\tan \theta_{\text{ref}} = 0,5$ (mit dem Näherungswert $26,57^\circ$). Bestimme das Maß des positiven Winkels $\theta \in [0^\circ; 360^\circ)$, der im Roboter programmiert werden muss.
3. c) Aufgrund eines Übertragungsfehlers in den Servomotoren registriert der Steuerrechner eine aufsummierte Gesamtdrehung von $-1413,43^\circ$. Zeige durch Reduktion auf die erste Umdrehung, ob der Roboterarm genau in der geforderten Arbeitsposition oder in einer anderen Position stehen geblieben ist.