Aufgaben: Ähnlichkeit in rechtwinkligen Dreiecken

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse diese in zwei Abschnitte der Längen $4$ cm und $9$ cm. Berechne die Länge dieser Höhe mit dem passenden Satz.

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist $25$ cm lang und der Hypotenusenabschnitt einer Kathete misst $9$ cm. Berechne die Länge dieser Kathete mit dem Kathetensatz.

Die Höhe auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst $6$ cm. Einer der Abschnitte, in die sie die Hypotenuse teilt, misst $3$ cm. Wie lang ist der andere Hypotenusenabschnitt?

Eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks misst $8$ cm und ihre senkrechte Projektion auf die Hypotenuse misst $3,2$ cm. Bestimme die Gesamtlänge der Hypotenuse.

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich. Das erste hat Katheten der Längen $3$ cm und $4$ cm. Die kürzere Kathete des zweiten Dreiecks misst $9$ cm. Wie lang ist die Hypotenuse dieses zweiten Dreiecks?

Zwei Geodreiecke (rechtwinklige, ungleichseitige Dreiecke) sind ähnlich. Die Hypotenuse des größeren Geodreiecks ist dreimal so lang wie die des kleineren. Wievielmal so groß ist der Flächeninhalt des großen Geodreiecks im Vergleich zum kleinen?

In einem rechtwinkligen Dreieck messen die Hypotenusenabschnitte der beiden Katheten $5$ cm bzw. $12$ cm. Wie lang ist die Hypotenuse des Dreiecks?

In einer Mathematikarbeit in Klasse 10 soll Lena die Länge der kürzeren Kathete $c$ eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. In der Aufgabe steht, dass der Hypotenusenabschnitt dieser Kathete $m = 3\text{ cm}$ misst und der Hypotenusenabschnitt der anderen Kathete $n = 9\text{ cm}$. Lena schreibt folgende Lösung auf:

„Nach dem Kathetensatz ist das Quadrat der Kathete das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte: $c^2 = m \cdot n = 3 \cdot 9 = 27$, also $c = \sqrt{27} \approx 5,2\text{ cm}$."

1. a) Erkläre genau, welchen Denkfehler Lena gemacht hat und welchen Satz bzw. welche Formel sie verwechselt hat.
2. b) Korrigiere das Vorgehen und berechne den exakten Wert der Kathete $c$ als vereinfachte Wurzel sowie seine auf Zehntel gerundete Näherung.

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse diese in zwei Abschnitte der Längen $m = 2\text{ cm}$ und $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Schätze vor dem Rechnen begründet, zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die Länge der Höhe $h$ liegen muss. Glaubst du, dass $h$ größer, kleiner oder gleich der Hälfte der Hypotenuse ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$) ist? Begründe deine Vermutung.
2. b) Wende den passenden Satz an, um den exakten Wert der Höhe $h$ zu berechnen, und gib eine Näherung mit zwei Dezimalstellen an.
3. c) Prüfe, ob deine Rechnung die Schätzung aus Teilaufgabe a) bestätigt, und erkläre, warum in jedem nicht gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse stets echt kleiner ist als die Hälfte der Hypotenuse.

Beim Entwurf eines Dachbinders für ein Satteldach in Form eines rechtwinkligen Dreiecks ist der senkrechte Balken (die Höhe auf die Hypotenuse) $2,4$ m lang und teilt den unteren Balken (Hypotenuse) in zwei Abschnitte, von denen einer $1,8$ m misst. Berechne den gesamten Umfang der äußeren Konstruktion des Dachbinders.

Um die Höhe eines Gebäudes zu bestimmen, legt ein Schüler einen ebenen Spiegel im Abstand $15$ m vom Fuß des Gebäudes auf den Boden. Wenn er sich $1,2$ m vom Spiegel entfernt, sieht er die Spitze des Gebäudes im Spiegel. Seine Augen sind $1,6$ m über dem Boden. Wie hoch ist das Gebäude?

Eine barrierefreie Rampe hat am Boden gemessen eine Gesamtlänge von $12$ m und überwindet einen maximalen Höhenunterschied von $1,5$ m. Ein Rollstuhl ist $4$ m vom unteren Beginn der Rampe aus vorangekommen. In welcher Höhe über dem Boden befindet er sich?

In einer selbstgebauten Lochkamera von $20$ cm Tiefe entsteht das umgekehrte Bild eines Baumes, der $15$ m von der Lochöffnung entfernt steht. Das Bild auf der Rückwand der Kamera ist $8$ cm hoch. Wie hoch ist der Baum in Wirklichkeit, in Metern?

Das Großsegel eines Segelboots hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Naht, die die Höhe vom Scheitel des rechten Winkels zur Hypotenuse markiert, ist $6$ m lang. Der Hypotenusenabschnitt der kürzeren Segelseite beträgt $4,5$ m. Berechne den gesamten Flächeninhalt des Segels in Quadratmetern.

Ein steinerner Brückenbogen hat die Form eines perfekten Halbkreises mit einem Durchmesser von $20$ m. In $4$ m Entfernung von einem Ende der Brücke soll ein senkrechter Pfeiler vom Boden bis zum Bogen errichtet werden. Bestimme mit dem Höhensatz, wie lang dieser Pfeiler genau sein muss.

Auf einem rechteckigen Billardtisch stößt du eine Kugel ohne Effet gegen eine Bande, sodass sie so abprallt, dass auf ihrer Bahn zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke entstehen. Die Kugel startet in einem Abstand von $40\text{ cm}$ zu dieser Bande und gelangt nach dem Abprallen zu einem Punkt im Abstand $60\text{ cm}$ zur selben Bande. Die gesamte Strecke, die die Kugel parallel zur Bande zurücklegt, beträgt $150\text{ cm}$. Bestimme:

1. a) die vor dem Abprallen parallel zur Bande zurückgelegte Strecke.
2. b) die nach dem Abprallen parallel zur Bande zurückgelegte Strecke.

Im Berliner Park soll ein Skateelement gebaut werden, dessen Seitenansicht ein rechtwinkliges Dreieck ist, das auf dem waagerechten Boden steht. Der Boden bildet die Hypotenuse und ist $3,2\text{ m}$ lang. Zur Verstärkung der Holzkonstruktion wird vom oberen Eckpunkt ein senkrechter Stahlträger zum Boden gesetzt (Höhe auf die Hypotenuse). Laut Plan teilt dieser Träger die Grundlinie in zwei Abschnitte, wobei der längere Abschnitt genau dreimal so lang ist wie der kürzere.

1. a) Modelliere die Situation, indem du die geometrischen Elemente des Dreiecks ($a$, $m$, $n$, $h$) bestimmst, und berechne die genaue Länge der beiden Bodenabschnitte.
2. b) Berechne die Höhe des senkrechten Verstärkungsträgers und die Länge der beiden geneigten Flächen der Rampe (Katheten). Runde die Ergebnisse auf Zentimeter.
3. c) Wenn die städtische Sicherheitsvorschrift für Anfängeranlagen verlangt, dass die Gesamthöhe $1,5\text{ m}$ nicht überschreitet, entscheide begründet, ob der Entwurf die Vorschrift erfüllt.

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten genau bekannt: $b = 15\text{ cm}$ und $c = 20\text{ cm}$. Um die Höhe auf die Hypotenuse $h$ zu bestimmen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Sergios Methode: Er berechnet zuerst die Hypotenuse $a$ mit dem Satz des Pythagoras. Dann bestimmt er mit dem Kathetensatz die beiden Hypotenusenabschnitte $m$ und $n$. Schließlich berechnet er $h$ mit dem Höhensatz ($h^2 = m \cdot n$).

• Nereas Methode: Sie berechnet zuerst die Hypotenuse $a$ mit dem Satz des Pythagoras. Anschließend setzt sie zwei Darstellungen des Flächeninhalts gleich (Produkt der Katheten geteilt durch zwei gegenüber Hypotenuse mal Höhe geteilt durch zwei: $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) und löst direkt nach $h$ auf.

1. a) Führe beide Methoden Schritt für Schritt aus und überprüfe, dass sich dasselbe Ergebnis ergibt.
2. b) Wenn die Katheten Dezimalwerte ohne exakte Darstellung hätten (zum Beispiel $b = 13,4\text{ cm}$ und $c = 18,1\text{ cm}$), welche der beiden Methoden wäre vorteilhafter und weniger anfällig für Rundungsfehler? Begründe deine Wahl, indem du die Anzahl der Schritte und die erforderlichen Rechenoperationen in beiden Fällen analysierst.

In einem Grundstück in Form eines rechtwinkligen Dreiecks wurde ein Bewässerungsgraben angelegt, der mit der Höhe auf die Hypotenuse zusammenfällt und $12$ m lang ist. Das Verhältnis der beiden Abschnitte, in die dieser Graben die Hypotenuse teilt, beträgt $\frac{9}{16}$. Berechne die Längen der drei Seiten, die das Grundstück begrenzen.

In einem rechtwinkligen Dreieck misst der Hypotenusenabschnitt der kürzeren Kathete $x$ cm, der Hypotenusenabschnitt der längeren Kathete $(x+5)$ cm und die Höhe auf die Hypotenuse $(x+2)$ cm. Stelle die passende Gleichung auf, bestimme den Wert von $x$ und berechne den gesamten Flächeninhalt des Dreiecks.

Zwei senkrechte Pfosten der Höhen $a = 3$ m und $b = 6$ m stehen in einem unbekannten Abstand voneinander. Von jedem Pfostenfuß wird ein gespanntes Seil zur Spitze des jeweils anderen Pfostens gezogen. Zeige mithilfe der Ähnlichkeit der dabei entstehenden rechtwinkligen Dreiecke, dass die Höhe $h$, in der sich die Seile kreuzen, vom Abstand der Pfosten unabhängig ist, und berechne ihren Wert.

In ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $8$ cm und $6$ cm wird ein Quadrat so einbeschrieben, dass einer seiner Eckpunkte mit dem rechten Winkel des Dreiecks zusammenfällt und die beiden Quadratseiten, die an dieser Ecke liegen, auf den Katheten liegen. Berechne die Seitenlänge $x$ des Quadrats mithilfe der Ähnlichkeit der dabei entstehenden rechtwinkligen Dreiecke.

Der Flächeninhalt eines Solarpanels in Form eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt $150$ dm$^2$ und die Höhe auf die Hypotenuse misst $12$ dm. Stelle ein Gleichungssystem mit den Hypotenusenabschnitten der Katheten auf und bestimme die exakte Länge der beiden Katheten des Solarpanels.

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt das Verhältnis der Quadrate der Katheten $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Die Hypotenuse misst $50$ cm. Nutze die Proportionalität, die sich aus dem Kathetensatz ergibt, um zuerst die Länge der Hypotenusenabschnitte beider Katheten zu bestimmen und anschließend die exakte Länge der Katheten.

Ein kegelförmiges Glas ist insgesamt $15$ cm tief und hat an der oberen Öffnung einen Radius von $6$ cm. Es wird so weit mit Wasser gefüllt, dass die Flüssigkeit eine Höhe von $10$ cm, gemessen vom Boden (untere Spitze), erreicht. Berechne den Radius der kreisförmigen Wasseroberfläche mithilfe der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke, die mit der Mittelachse des Glases entstehen.

Wir betrachten die Erde als Kugel mit dem Radius $R = 6371$ km. Eine Person befindet sich in einem Heißluftballon in einer Höhe $h = 2$ km über der Oberfläche. Die Sichtlinie, die die Oberfläche tangiert, bildet am Horizontpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Nutze den Kathetensatz (bzw. den Satz des Pythagoras in ähnlichen Dreiecken), um die geradlinige Entfernung $d$ vom Heißluftballon bis zum sichtbaren Horizont zu bestimmen. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Erinnere dich: Bei einer normierten quadratischen Gleichung $x^2 - S\cdot x + P = 0$ ist der Koeffizient $S$ die Summe ihrer beiden Lösungen und das Absolutglied $P$ ihr Produkt.

1. a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die gesamte Hypotenuse die Summe der Hypotenusenabschnitte ($a = m + n$) und das Quadrat der Höhe auf die Hypotenuse ist das Produkt dieser Abschnitte ($h^2 = m \cdot n$). Leite, ohne die Gleichung zu lösen, den Wert der Hypotenuse $a$ und den der Höhe $h$ eines rechtwinkligen Dreiecks her, wenn die Längen seiner Hypotenusenabschnitte $m$ und $n$ die Lösungen der Gleichung $x^2 - 13x + 36 = 0$ sind (Längen in Zentimetern).
2. b) Stelle das umgekehrte Problem auf: Schreibe die quadratische Gleichung auf, deren Lösungen den Hypotenusenabschnitten $m$ und $n$ eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechen, das eine Hypotenuse von $a = 25\text{ cm}$ und eine Höhe auf die Hypotenuse von $h = 12\text{ cm}$ hat.
3. c) Löse die Gleichung aus Teilaufgabe b), um $m$ und $n$ zu bestimmen, und berechne daraus die exakten Längen der beiden Katheten des Dreiecks.

In einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $A$ ist die Kathete $b$ genau doppelt so lang wie die Kathete $c$ ($b = 2c$). Die Höhe $h$ auf die Hypotenuse wird eingezeichnet; sie teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte: $m$ (Hypotenusenabschnitt der kleineren Kathete $c$) und $n$ (Hypotenusenabschnitt der größeren Kathete $b$). Diese Höhe teilt das ursprüngliche Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke $T_1$ und $T_2$.

1. a) Zeige mithilfe des Kathetensatzes für beide Katheten deduktiv, dass der größere Abschnitt nicht doppelt so lang ist wie der kleinere, sondern dass $n = 4m$ gilt.
2. b) Zeige mithilfe des Höhensatzes, dass diese Höhe genau doppelt so lang ist wie der kleinere Abschnitt ($h = 2m$).
3. c) Ein Vermessungsteam kartiert ein Grundstück mit diesen Proportionen, dessen Hypotenuse insgesamt $a = 45\text{ m}$ misst. Berechne die Längen von $m$, $n$, $h$ sowie das exakte Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt von $T_2$ und dem Flächeninhalt von $T_1$. Erkläre, wie sich dasselbe Flächenverhältnis direkt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ergibt, ohne die Flächeninhalte numerisch zu berechnen.