Aufgaben: Umgang mit dem Taschenrechner

Berechne mit deinem Taschenrechner und runde auf vier Nachkommastellen: die Werte der folgenden trigonometrischen Verhältnisse $\sin 34^\circ$, $\cos 78^\circ$ und $\tan 12^\circ$.

Bestimme die Werte der folgenden trigonometrischen Verhältnisse und gib das Ergebnis mit drei Nachkommastellen an. Achte darauf, Grad, Minuten und Sekunden korrekt in deinen Taschenrechner einzugeben: $\sin(45^\circ 12' 30'')$, $\cos(12^\circ 5')$ und $\tan(89^\circ 0' 10'')$.

Verwende die Umkehrfunktion des Taschenrechners, um den spitzen Winkel $\alpha$ in Grad, Minuten und Sekunden zu bestimmen, wenn $\sin \alpha = 0,456$ gilt.

Bestimme den spitzen Winkel $\beta$ in Grad, Minuten und Sekunden, wenn sein Tangens $\tan \beta = 2,15$ beträgt.

Berechne und runde auf drei Nachkommastellen: die Werte der reziproken trigonometrischen Verhältnisse $\sec 55^\circ$, $\csc 20^\circ$ und $\cot 70^\circ$. Denke daran, dafür die Kehrwertbeziehungen mit deinem Taschenrechner zu nutzen.

Gib die folgenden, in Grad angegebenen Winkel im Bogenmaß an. Verwende dazu den Wert von $\pi$ deines Taschenrechners und runde auf drei Nachkommastellen: $40^\circ$, $115^\circ$ und $250^\circ$.

Berechne den Wert von $\sin(1,2)$ und $\cos(0,8)$ unter der Annahme, dass die Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Gib das Ergebnis mit vier Nachkommastellen an, nachdem du den Modus deines Taschenrechners richtig eingestellt hast.

Ein Vermessungstechniker misst an einem Hang einen Neigungswinkel von $14^\circ 25'$. Berechne den Tangens dieses Winkels auf vier Nachkommastellen, um die Steigung des Geländes zu erhalten.

Lea möchte für eine Trigonometrieaufgabe den Kosekans von $42^\circ$ berechnen. Dazu drückt sie auf ihrem Taschenrechner die Tastenkombination $\boxed{\text{SHIFT}}\,\boxed{\sin}$ (die die Funktion $\sin^{-1}$ aktiviert) und gibt anschließend $42$ ein. Nach dem Drücken der Gleichheitstaste zeigt das Display die Meldung „Math ERROR“. Lea schließt daraus, dass der Kosekans von $42^\circ$ nicht existiert.

1. a) Erkläre begründet die beiden begrifflichen Fehler, die Lea gemacht hat: warum der Taschenrechner bei der Eingabe von $\sin^{-1}(42)$ einen Fehler anzeigt und warum diese Taste nicht zur Berechnung des Kosekans geeignet ist.
2. b) Schreibe die genaue Tastenfolge auf, die man auf einem handelsüblichen Taschenrechner drücken muss, um $\csc 42^\circ$ zu erhalten, und berechne den Wert auf vier Nachkommastellen gerundet. Achte darauf, dass der Taschenrechner im passenden Winkelmodus ist.

Bevor man den Taschenrechner benutzt, sollte man die Größenordnung des Ergebnisses abschätzen, um mögliche Tippfehler oder einen falschen Winkelmodus zu erkennen.

1. a) Schätze ohne Taschenrechner begründet ab, ob $\sin 35^\circ$ näher an $0,55$ oder an $0,65$ liegt, wenn $\sin 30^\circ = 0,5$ und $\sin 45^\circ \approx 0,7071$ gilt.
2. b) Es gilt $\tan 45^\circ = 1$, und der Tangens wächst, je näher der Winkel an $90^\circ$ kommt. Schätze ab, ob $\tan 50^\circ$ nur etwas größer als $1$ sein wird (zum Beispiel etwa $1,2$) oder viel größer (etwa $3$).
3. c) Überprüfe nun deine Abschätzungen, indem du $\sin 35^\circ$ und $\tan 50^\circ$ mit dem Taschenrechner im Modus DEG berechnest (auf vier Nachkommastellen gerundet). Vergleiche die erhaltenen Werte mit deinen Vorhersagen und begründe, ob deine Überlegungen zutreffend waren.

Bei einem Architekturprojekt hat ein Dach eine Steigung von $28\%$. Die prozentuale Steigung entspricht dem Tangens des Neigungswinkels multipliziert mit $100$. Bestimme mit dem Taschenrechner diesen Winkel in Grad, Minuten und Sekunden.

Berechne den Wert des folgenden trigonometrischen Terms und runde das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen:

$E = \frac{\sin 35^\circ + \cos 55^\circ}{\tan 40^\circ}$

Es gilt $\sec \alpha = 1,8$, und $\alpha$ ist ein spitzer Winkel. Bestimme mit dem Taschenrechner zuerst den Wert von $\alpha$ in Grad, Minuten und Sekunden und berechne anschließend den Wert von $\sin \alpha$ auf drei Nachkommastellen gerundet.

Bei einer Laderampe in einem Lager beträgt die Gesamtlänge der Rampe $15 \text{ m}$ und die überwundene senkrechte Höhe $2,5 \text{ m}$. Berechne den Neigungswinkel der Rampe gegenüber der Horizontalen und gib ihn in Grad und Minuten an.

Überprüfe die Grundbeziehung $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ numerisch für einen Winkel $\alpha = 37^\circ 42' 15''$. Schreibe die Zwischenwerte von Sinus und Kosinus auf vier Nachkommastellen gerundet auf, bevor du sie quadrierst und addierst.

Ein Mobilfunkmast wirft auf den horizontalen Boden einen Schatten von $34,5 \text{ m}$, wenn die Sonne in einem Höhenwinkel von $42^\circ 15'$ steht. Berechne die Höhe des Mastes und runde auf eine Nachkommastelle.

Berechne den Wert des spitzen Winkels $\gamma$ im Bogenmaß (auf drei Nachkommastellen gerundet), wenn sein Kotangens $\cot \gamma = 0,65$ beträgt.

Berechne den folgenden trigonometrischen Term unter der Annahme, dass die Winkel im Bogenmaß angegeben sind:

$M = \sin(1,5) \cdot \cos(0,5) - \tan(0,8)$.

Gib das Endergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet an.

Ein Vermessungsteam sieht den Rechenverlauf eines Feldrechners durch und findet nur noch die zuletzt gespeicherte Rechnung: Das Display zeigt das Ergebnis der Anwendung von $\boxed{\tan^{-1}}\,(0,4877)$. Man weiß, dass diese Rechnung dazu diente, den Neigungswinkel $\alpha$ einer geraden Rampe zu bestimmen, die einen senkrechten Höhenunterschied von genau $15\text{ m}$ überwindet.

1. a) Stelle die trigonometrische Gleichung auf, die diesen Wert mit den Katheten des Dreiecks verbindet, und bestimme die Länge der horizontalen Grundseite der Rampe.
2. b) Bestimme den Winkel $\alpha$ mit dem Taschenrechner und gib ihn sowohl in Dezimalgrad (mit zwei Nachkommastellen) als auch in Grad, Minuten und Sekunden mithilfe der Taste $\boxed{^\circ\,'\,''}$ an.
3. c) Wenn der technische Bericht den Winkel im Bogenmaß verlangt, berechne diesen Wert auf zwei Arten: erstens, indem du das Ergebnis rechnerisch über die Proportion mit $\pi$ umwandelst, und zweitens, indem du direkt $\tan^{-1}(0,4877)$ berechnest, nachdem du den Taschenrechner in den Modus RAD gestellt hast. Überprüfe, dass beide Methoden übereinstimmen.

Im Straßennetz Spaniens verwendet die Verkehrsbehörde (DGT) Gefahrzeichen (wie die P-16a), die starke Gefälle in Prozent angeben. Am Pass von Pajares (Asturien) weist ein Abschnitt ein Gefälleschild von $14\%$ auf. Das bedeutet, dass die Fahrbahn auf $100\text{ m}$ horizontaler Strecke um $14\text{ m}$ abfällt.

1. a) Modelliere das Gefälle durch ein rechtwinkliges Dreieck und schreibe das trigonometrische Verhältnis auf, mit dem man den Neigungswinkel $\alpha$ des Abschnitts gegenüber der Horizontalen bestimmen kann.
2. b) Berechne mit dem Taschenrechner im Modus DEG den Winkel $\alpha$ in Dezimalgrad und gib ihn anschließend in Grad, Minuten und Sekunden an.
3. c) Das automatische Bremssystem eines importierten Fahrzeugs benötigt den programmierten Winkel im Bogenmaß. Rechne den Winkel $\alpha$ durch Multiplikation mit dem passenden Faktor auf vier Nachkommastellen genau ins Bogenmaß um. Überprüfe das Ergebnis anschließend, indem du den Taschenrechner in den Modus RAD stellst und die Umkehrfunktion direkt erneut berechnest. Erkläre, was mit der Rechnung passieren würde, wenn ein Techniker bei späteren Messungen vergisst, den Taschenrechner von RAD auf DEG umzustellen.

Bei einem Experiment der Optik geht ein Lichtstrahl von Luft in Wasser über. Das Snelliussche Brechungsgesetz besagt $n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2$. Der Brechungsindex von Luft beträgt $n_1 = 1$, der von Wasser $n_2 = 1,33$ und der Einfallswinkel $\theta_1 = 52^\circ 30'$. Berechne den Brechungswinkel $\theta_2$ in Grad, Minuten und Sekunden.

Ein Flugzeug fliegt in konstanter Höhe von $10.500 \text{ m}$. Der Pilot beobachtet zwei Städte, die in derselben Richtung vor ihm in einer Linie liegen. Die nähere Stadt sieht er unter einem Depressionswinkel von $34^\circ 12'$, die weiter entfernte unter einem Depressionswinkel von $18^\circ 45'$. Berechne mit dem Taschenrechner die genaue Entfernung zwischen den beiden Städten und runde auf den nächsten Meter.

Berechne mit deinem Taschenrechner den Term $K = \sin(\arccos 0,6)$. Zeige anschließend rechnerisch mithilfe der trigonometrischen Grundbeziehungen, warum der erhaltene Zahlenwert exakt und rational ist.

Ein Bauingenieur entwirft eine überhöhte Kurve für eine Straße. Die physikalische Formel, die den Überhöhungswinkel $\theta$, die Geschwindigkeit $v$ (in m/s), den Kurvenradius $R$ (in m) und die Erdbeschleunigung $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ verbindet, lautet $\tan \theta = \frac{v^2}{R \cdot g}$. Eine Kurve mit einem Radius von $150 \text{ m}$ wird für eine Höchstgeschwindigkeit von $90 \text{ km/h}$ ausgelegt. Berechne den Überhöhungswinkel $\theta$ in Grad, Minuten und Sekunden.

Löse die trigonometrische Gleichung $3 \sin x - 2 = 0$ mithilfe des Taschenrechners und bestimme alle möglichen Werte des Winkels $x$ zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$. Gib die Endergebnisse in Grad und Minuten an.

Für sehr kleine Winkel nähert sich der Wert des Sinus dem im Bogenmaß angegebenen Winkel an. Berechne den absoluten und den relativen Fehler, der entsteht, wenn man den Wert von $\sin 1^\circ$ durch den ins Bogenmaß umgerechneten Wert von $1^\circ$ annähert. Gib den relativen Fehler in Prozent mit zwei Nachkommastellen an.

In einem mechanischen Riemenscheibensystem ist die Spannkraft $T$ (in Newton) eines Treibriemens durch die Formel $T = 500 \cdot \csc(22^\circ 30')$ gegeben. Berechne den Wert der Spannkraft $T$ auf zwei Nachkommastellen gerundet und gib dabei an, welche gleichwertigen Rechenschritte du in den Taschenrechner eingibst, um den Kosekans zu erhalten.

Ein Solarpanel soll so ausgerichtet werden, dass es möglichst viel Licht einfängt. Der prozentuale Wirkungsgrad der Lichtaufnahme ist durch den Term $E = 100 \cdot \cos(\alpha - 38^\circ 15')$ gegeben, wobei $\alpha$ der Neigungswinkel des Panels ist. Wenn das Panel aufgrund von Einschränkungen des Daches mit einer Neigung $\alpha = 45^\circ 20'$ installiert wird, bestimme mit dem Taschenrechner seinen Wirkungsgrad $E$ auf eine Nachkommastelle gerundet.

Um die Länge eines Stahlseils an einem Funkmast zu berechnen, muss der Kosekans des Höhenwinkels $\alpha = 36^\circ 24' 45''$ bestimmt werden. Drei Schüler der Klasse 10 schlagen unterschiedliche Vorgehensweisen mit dem Taschenrechner vor:

• Jans Methode: Er rechnet Minuten und Sekunden im Kopf näherungsweise auf zwei Stellen in Dezimalgrad um ($24' \approx 0,40^\circ$ und $45'' \approx 0,01^\circ$, Summe $36,41^\circ$), berechnet $\sin(36,41^\circ)$ und drückt die Taste $\boxed{x^{-1}}$.

• Emilias Methode: Sie gibt den vollständigen Winkel mit der Sexagesimaltaste $\boxed{^\circ\,'\,''}$ ein, indem sie $36\,\boxed{^\circ\,'\,''}\,24\,\boxed{^\circ\,'\,''}\,45\,\boxed{^\circ\,'\,''}$ tippt, berechnet direkt den Sinus und drückt dann $\boxed{x^{-1}}$.

• Lenas Methode: Sie rechnet den Winkel auf Papier mit der exakten Formel $\alpha_{\text{rad}} = \left(36 + \frac{24}{60} + \frac{45}{3600}\right) \cdot \frac{\pi}{180}$ ins Bogenmaß um, gibt diesen Zahlenwert bei auf RAD gestelltem Taschenrechner ein, berechnet den Sinus und potenziert mit $-1$.

1. a) Führe alle drei Methoden auf deinem Taschenrechner aus und notiere für jede das Ergebnis von $\csc \alpha$ mit fünf Nachkommastellen.
2. b) Betrachte Emilias Ergebnis als exakten Referenzwert des Geräts und berechne den absoluten Fehler, den Jan durch das vorherige Runden macht.
3. c) Vergleiche die drei Methoden und begründe, welche in der Praxis die effizienteste und sicherste ist. Erkläre, warum Jans Vorgehen in technischen Projekten nicht empfehlenswert ist.

Bei einer praktischen Prüfung mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner tippt Leon $\cos(60)$ ein und erwartet $0,5$, aber das Display zeigt $-0,9524$. Verwirrt tippt er $\sin(30)$ ein und erhält $-0,9880$.

1. a) Bestimme den Einstellungsfehler an Leons Taschenrechner. Erkläre, was das Gerät bei der Eingabe der Zahl $60$ tatsächlich berechnet hat, und begründe geometrisch, warum dieser Wert negativ ist, indem du ausnutzt, dass eine volle Umdrehung $2\pi \approx 6,28\text{ rad}$ beträgt.
2. b) Angenommen, die Taste zum Wechseln des Modus an Leons Taschenrechner ist defekt und er muss die Klausur mit dem Gerät in diesem festen Modus beenden. Leite den exakten mathematischen Ausdruck her, den er eintippen muss, damit der Taschenrechner den richtigen Wert von $\cos(60^\circ)$ anzeigt, und schreibe ihn auf. Überprüfe durch Eintippen dieses Ausdrucks, dass das Ergebnis genau $0,5$ ist.
3. c) Seine Mitschülerin Hannah muss einen spitzen Winkel $\beta$ bestimmen, dessen Sinus $0,5$ beträgt. Sie gibt auf ihrem eigenen Taschenrechner $\boxed{\sin^{-1}}\,(0,5)$ ein und das Display zeigt $0,5236$. Bestimme begründet, in welchem Modus Hannahs Taschenrechner steht, und leite her, welchen exakten Bruchteil von $\pi$ und wie viele Grad dieser Wert darstellt.