Aufgaben: Exponentialfunktion

Beim Untersuchen von Verschiebungen elementarer Funktionen behauptet ein Schüler, der Graph von $y = 3^{x+2}$ entstehe, indem man den ursprünglichen Graphen von $y = 3^x$ um zwei Einheiten nach rechts verschiebt. Korrigiere diese Aussage, indem du die tatsächliche Richtung der Verschiebung angibst.

Beim Vereinfachen des Terms einer Exponentialfunktion $f(x) = 2^x \cdot 2^3$ erhält ein Schüler als Ergebnis $f(x) = 4^{x+3}$. Erkläre, welches Potenzgesetz er beim Umformen der Basen falsch angewendet hat, und gib den richtig vereinfachten Term an.

Gib an, welche der folgenden Terme zu einer Exponentialfunktion gehören, und begründe deine Antwort:

1. a) $f(x) = x^3$
2. b) $g(x) = 3^x$
3. c) $h(x) = 3x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$
5. e) $j(x) = 1^x$

Berechne für die Exponentialfunktion $f(x) = 4^x$ die Funktionswerte für $x = -2$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$ und $x = 2$. Gib die Ergebnisse, wenn nötig, als vollständig gekürzten Bruch an.

Ordne die folgenden Exponentialfunktionen als monoton steigend oder monoton fallend ein und begründe deine Entscheidung mit dem Wert der Basis:

1. a) $f(x) = 1,8^x$
2. b) $g(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
3. c) $h(x) = 0,3^x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{7}{4}\right)^x$

Der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$ verläuft durch den Punkt $P(3|125)$. Bestimme den Wert der Basis $a$ und gib den Funktionsterm an.

In einem Labor wird das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht. Anfangs werden $50$ Bakterien in eine Petrischale gegeben, und man beobachtet, dass sich ihre Anzahl jede Stunde verdoppelt. Stelle die Funktion $P(t)$ auf, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Stunden) angibt, und berechne, wie viele es nach $4$ Stunden sind.

Betrachte die Graphen der Exponentialfunktionen in den Abbildungen A und B. Einer gehört zu $f(x) = 3^x$ und der andere zu $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Ordne jeden Term seinem Graphen zu und erkläre, welche geometrische Beziehung zwischen beiden besteht.

Bestimme die Definitionsmenge, die Wertemenge und die Gleichung der waagerechten Asymptote der Exponentialfunktion $f(x) = 2,5^x$. Schneidet diese Funktion die x-Achse in irgendeinem Punkt? Begründe deine Antwort.

Vervollständige eine Wertetabelle für die Funktion $f(x) = 5^{-x}$ mit den ganzzahligen Werten von $x$ von $-2$ bis $2$. Gib eine zu $f(x)$ äquivalente Exponentialfunktion an, die einen positiven Exponenten hat.

Typ: FREMDER FEHLER. Marcos möchte berechnen, wie ein Lieferwagen in Berlin an Wert verliert, dessen Anschaffungspreis $24\,000$ € betrug. Im Autohaus sagt man ihm, dass der Buchwert des Fahrzeugs jedes Jahr um $15\%$ abnimmt, gemäß der Exponentialfunktion $V(t) = 24\,000 \cdot 0{,}85^t$, wobei $t$ die vergangene Zeit in Jahren ist. Marcos überlegt in seinem Heft Folgendes: „Wenn der Wagen jedes Jahr $15\%$ verliert, hat er nach $7$ Jahren insgesamt $7 \cdot 15\% = 105\%$ seines ursprünglichen Wertes verloren. Also ist das Fahrzeug nach $7$ Jahren $5\%$ negativ wert, d. h. $V(7) = -1200$ €."\na) Finde und erkläre den Denkfehler, den Marcos beim Aufsummieren der Verlustprozentsätze macht.\nb) Erkläre anhand der Definition der Exponentialfunktion und ihrer waagerechten Asymptote, warum der mit $V(t)$ erhaltene Wert niemals negativ oder null werden kann.\nc) Korrigiere Marcos' Rechnung, indem du den tatsächlichen geschätzten Wert des Lieferwagens nach $7$ Jahren bestimmst (runde das Ergebnis auf Cent).

Typ: MODELLIERE. Nach Daten des Statistischen Bundesamts (Destatis) hatte eine Gemeinde im ländlichen Raum im Sauerland am 1. Januar 2018 $1250$ Einwohner. Aufgrund von Abwanderung und demografischer Alterung sinkt die Einwohnerzahl gleichmäßig um etwa $4\%$ pro Jahr.\na) Gib den Funktionsterm der Exponentialfunktion $P(t)$ an, die die geschätzte Einwohnerzahl in Abhängigkeit von den seit 2018 vergangenen Jahren $t$ modelliert.\nb) Bestimme die Basis $a$ deiner Funktion. Begründe mithilfe des Wertes dieser Basis, warum es sich um eine fallende Funktion handelt.\nc) Berechne die prognostizierte Bevölkerung für das Jahr 2026 und runde auf die nächste ganze Person. Wird die mathematische Funktion irgendwann genau $0$ Einwohner vorhersagen? Begründe deine Antwort, indem du gegenüberstellst, was die waagerechte Asymptote des mathematischen Modells aussagt und was in der Wirklichkeit des Dorfes unausweichlich geschehen wird.

Eine Familie legt $6000$ Euro auf einem Sparkonto an, das einen jährlichen Zinseszins von $2,5\%$ bietet. Stelle die Funktion $C(t)$ auf, die das angesparte Kapital nach $t$ Jahren angibt. Wie hoch ist der Kontostand nach $8$ Jahren, wenn keine Ein- oder Auszahlungen erfolgen? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Erkläre ausgehend von der Funktion $f(x) = 2^x$, welche geometrischen Transformationen (Verschiebungen) nötig sind, um den Graphen der Funktion $g(x) = 2^{x-3} + 4$ zu erhalten. Gib die Gleichung der waagerechten Asymptote der Funktion $g(x)$ an.

Der Preis eines technischen Bauteils sinkt im Laufe der Zeit gemäß einer Exponentialfunktion der Form $V(t) = k \cdot a^t$, wobei $t$ in Jahren gemessen wird. Wenn das Bauteil im Neuzustand ($t=0$) $800$ Euro kostete und sein Wert nach $2$ Jahren $450$ Euro beträgt, berechne die exakten Werte von $k$ und $a$. Wie hoch ist sein Wert nach $4$ Jahren?

Eine radioaktive Substanz verliert alle $15$ Tage die Hälfte ihrer Masse. Wenn zu Beginn eine Probe von $200$ Gramm vorhanden ist, stelle die Funktion $M(t)$ auf, die die verbleibende Masse in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen) modelliert. Wie viele Gramm bleiben nach $60$ Tagen genau übrig?

Berechne die mittlere Änderungsrate der Exponentialfunktion $f(x) = 3^x$ in den Intervallen $[1; 2]$ und $[2; 3]$. Was fällt dir beim Vergleich beider Ergebnisse auf? Was sagt das über die Wachstumsgeschwindigkeit der Exponentialfunktion im Vergleich zu einer linearen Funktion aus?

Der folgende Graph gehört zu einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = 2^{x-p} + q$. Bestimme mithilfe der waagerechten Asymptote und der markierten Punkte auf der Kurve die Werte der Parameter $p$ und $q$ und gib den vollständigen Funktionsterm an.

Eine Falschmeldung verbreitet sich in einem sozialen Netzwerk nach einem exponentiellen Modell $N(t) = 15 \cdot 1,4^t$, wobei $N(t)$ die Anzahl der Personen ist, die die Meldung kennen, und $t$ die vergangene Zeit in Stunden. Wie viele Personen kannten die Meldung zu Beginn der Messung? Wie viele werden sie nach $6$ Stunden kennen? (Runde auf die nächste ganze Zahl.)

Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der Exponentialfunktion $f(x) = 3^{x+2} - 27$ mit den Koordinatenachsen.

Typ: UMKEHRPROBLEM. In einer klinischen Studie zum Abbau eines Schmerzmittels im Körper ist bekannt, dass die Restmenge des Wirkstoffs im Blut $C(t)$ (in Milligramm) einer Exponentialfunktion der Form $C(t) = C_0 \cdot a^t$ folgt, wobei $t$ die Zeit in Stunden seit der Einnahme ist. Durch einen Fehler in der Datenerfassung sind die Werte der Parameter $C_0$ und $a$ verloren gegangen, aber zwei exakte Messwerte sind im Protokoll erhalten: Zum Anfangszeitpunkt ($t = 0$) betrug die Menge $600$ mg und genau nach $3$ Stunden betrug die Restmenge $75$ mg.\na) Bestimme begründet den Anfangswert $C_0$ und berechne den exakten Wert der Basis $a$. Gib anschließend die vollständige Funktionsgleichung von $C(t)$ an.\nb) Gib mithilfe des Werts von $a$ an, wie viel Prozent des im Körper vorhandenen Medikaments pro Stunde abgebaut werden.\nc) Das Medikament wirkt nicht mehr therapeutisch, wenn die Restmenge unter $10$ mg fällt. Bestimme durch begründetes Probieren, indem du die Funktion an ganzzahligen Werten von $t$ auswertest, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden Stunden die Behandlung nicht mehr wirksam ist.

Typ: MODELLIERE. Die spanische Wetterbehörde AEMET misst auf Meereshöhe auf den Kanarischen Inseln einen Standardluftdruck von $1013$ hPa (Hektopascal). Mit zunehmender Höhe nimmt die Luftdichte ab, und der Luftdruck sinkt etwa um $12\%$ pro Kilometer Höhe gemäß der Funktion $P(h) = 1013 \cdot 0{,}88^h$, wobei $h$ die Höhe in Kilometern ist.\na) Das Besucherzentrum des Nationalparks Teide liegt auf $2$ km Höhe, der Gipfel des Vulkans auf etwa $3{,}7$ km. Berechne den ungefähren Luftdruck an beiden Orten und runde auf ganze hPa.\nb) Beim Aufstieg von Meereshöhe ($h = 0$) auf $1$ km Höhe sinkt der Druck um mehr als $120$ hPa, beim Aufstieg von $3$ km auf $4$ km Höhe dagegen um weniger als $85$ hPa. Begründe dieses Phänomen anhand der Eigenschaften des Graphen einer fallenden Exponentialfunktion.\nc) Ein ozeanografisches Team taucht an der Küste von El Hierro auf $1$ km unter dem Meeresspiegel. Ist es mathematisch sinnvoll, $P(-1)$ in die gegebene Funktion einzusetzen? Ist es physikalisch sinnvoll, dieses Ergebnis als realen Druck unter Wasser zu deuten? Begründe deine Antwort und unterscheide dabei zwischen der abstrakten mathematischen Definitionsmenge und dem Gültigkeitsbereich eines realen Modells.

Bestimme und begründe, für welche Werte des Parameters $m$ die Funktion $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ eine streng monoton fallende Exponentialfunktion darstellt. Beachte die Bedingungen, die die Basis einer solchen Exponentialfunktion erfüllen muss.

In einem Ökosystem leben zwei Insektenarten. Die Population der Art A ist gegeben durch $P_A(t) = 500 \cdot 4^t$, die der Art B durch $P_B(t) = 32000 \cdot 0,5^t$, wobei $t$ die Zeit in Monaten ist. Zu welchem Zeitpunkt $t$ haben beide Populationen genau gleich viele Individuen? Löse die Aufgabe, indem du die passende Exponentialgleichung aufstellst und löst.

Betrachte den Graphen der Exponentialfunktion, deren Funktionsterm die Form $f(x) = k \cdot a^x + c$ hat. Bestimme die Gleichung der waagerechten Asymptote, um den Wert von $c$ abzuleiten, und stelle mithilfe der Koordinaten der markierten Punkte ein Gleichungssystem auf, mit dem du die Parameter $k$ und $a$ berechnen kannst. Gib den endgültigen Funktionsterm an.

Untersuche die Stetigkeit der folgenden abschnittsweise definierten Funktion an der Stelle $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} 3^{x-1} + 2 & \text{für } x \le 2 \\ m \cdot x - 1 & \text{für } x > 2 \end{cases}$

Bestimme den exakten Wert des Parameters $m$, sodass die Funktion auf ihrer gesamten Definitionsmenge $\mathbb{R}$ stetig ist.

Nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz wird die Temperatur eines Gegenstands in einem Raum mit konstanter Temperatur durch eine Exponentialfunktion modelliert. Eine frisch gekochte Tasse Kaffee folgt der Funktion $T(t) = 22 + 68 \cdot 0,85^t$, wobei $T$ die Temperatur in Grad Celsius und $t$ die Zeit in Minuten ist.

1. a) Wie hoch ist die Anfangstemperatur des Kaffees?
2. b) Wie hoch ist die Raumtemperatur? (Tipp: Untersuche das Verhalten der Funktion, wenn die Zeit $t$ sehr groß wird.)
3. c) Welche Temperatur hat der Kaffee nach $10$ Minuten?

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = 2^x$ und $g(x) = 4 - x^2$. Begründe anhand der Graphen, wie viele Schnittpunkte sie haben. Überprüfe anschließend durch Probieren mit kleinen ganzzahligen Werten, zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die x-Werte dieser Schnittpunkte liegen.

Ein Marketingunternehmen bietet seinen Vertriebsmitarbeitern zwei Vergütungspläne an. Plan A besteht aus einem Grundgehalt von $1000$ Euro im ersten Monat plus einer festen Erhöhung von $200$ Euro für jeden weiteren Monat der Betriebszugehörigkeit. Plan B bietet ein Anfangsgehalt von $100$ Euro im ersten Monat, aber der Betrag wird jeden Monat mit $1,5$ multipliziert. Stelle die Funktionen $S_A(t)$ und $S_B(t)$ auf (wobei $t$ die Nummer des Monats ist) und bestimme, indem du die Werte Monat für Monat berechnest, ab welchem Monat Plan B eindeutig lukrativer ist als Plan A.

Die Masse $M$ in Gramm eines radioaktiven Isotops nimmt mit der Zeit $t$ (in Jahren) gemäß $M(t) = M_0 \cdot 3^{-t/20}$ ab, wobei $M_0$ die Anfangsmasse ist. Es ist bekannt, dass nach $40$ Jahren genau $15$ Gramm des Isotops übrig sind. Berechne die Anfangsmasse $M_0$. Wie viele Gramm bleiben insgesamt nach $60$ Jahren übrig?

Typ: WÄHLE DIE METHODE. Ein Lieferunternehmen mit Fahrrädern und Transportern in Düsseldorf kauft ein Nutzfahrzeug für $32\,000$ €. Um die Entwicklung seines Vermögens in den nächsten Jahren zu berechnen, schwankt der Geschäftsführer zwischen zwei Abschreibungsmethoden:\n- Lineare Methode: Das Fahrzeug verliert jedes Jahr einen festen Betrag von $3200$ €: $f(t) = 32\,000 - 3200 \cdot t$.\n- Exponentielle Methode: Das Fahrzeug verliert $15\%$ seines Buchwerts des Vorjahres: $g(t) = 32\,000 \cdot 0{,}85^t$.\na) Berechne den Wert, den jede Methode dem Fahrzeug nach $3$ Jahren und nach $10$ Jahren Nutzung zuweist.\nb) Untersuche, was bei der linearen Methode nach $11$ Jahren Nutzung geschehen würde. Warum verliert das lineare Modell langfristig seine mathematische und wirtschaftliche Gültigkeit? Erkläre, welche Eigenschaft der Exponentialfunktion (Wertemenge und Asymptoten) das exponentielle Modell zur Beschreibung langfristiger Wertverluste begrifflich stimmiger macht.\nc) Welches der beiden Modelle bildet in den ersten $4$ Jahren der Nutzungsdauer des Fahrzeugs den schnelleren Wertverlust ab? Wenn die Unternehmensleitung nach dem Prinzip größtmöglicher finanzieller Vorsicht entscheiden will (in den ersten Jahren den möglichst geringen Wert ansetzen, um ihr Vermögen nicht zu überbewerten), begründe mathematisch, welche der beiden Methoden sie wählen sollte.

Typ: SCHÄTZE UND PRÜFE. In der Nuklearmedizin eines Krankenhauses wird das Radioisotop Technetium-99m für Herzuntersuchungen verwendet. Seine Masse nimmt exponentiell mit einer Halbwertszeit von $T = 6$ Stunden ab, gemäß der Formel $M(t) = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, wobei $t$ die Zeit in Stunden und $M_0$ die Anfangsaktivität in MBq (Megabecquerel) ist. Um 08:00 Uhr morgens wird im Labor eine Dosis mit $M_0 = 800$ MBq angeliefert.\na) Schätze: Berechne im Kopf, ohne Dezimalrechnung und ohne Taschenrechner, wie viele volle Halbwertszeiten in $24$ Stunden (bis 08:00 Uhr am nächsten Tag) passen, und schätze, ob die Restaktivität über $100$ MBq, zwischen $40$ und $60$ MBq oder unter $20$ MBq liegt. Begründe deine Überlegung schriftlich.\nb) Prüfe: Wende die Formel an und berechne den exakten Wert von $M(24)$ mithilfe von Potenzen mit Bruch als Basis. Prüfe, ob deine begründete Schätzung aus dem vorigen Teil richtig war.\nc) Die Sicherheitsvorschrift des Krankenhauses legt fest, dass ein gebrauchtes Fläschchen erst dann im normalen medizinischen Abfall entsorgt werden darf, wenn seine Restaktivität unter $1\%$ der Anfangsaktivität ($8$ MBq) gesunken ist. Schätze zunächst, wie viele Halbwertszeiten (aufeinanderfolgende Potenzen von $1/2$) mindestens nötig sind, um jede Menge unter $1\%$ zu senken, und berechne dann die exakte Mindestanzahl an Stunden, die der Abfall in der bleiummantelten Isolierkammer bleiben muss.