Aufgaben: Vierfeldertafeln

Übertrage die folgende Vierfeldertafel in dein Heft und vervollständige sie. Sie zeigt die Verteilung einer Gruppe von Schülern nach Geschlecht und danach, ob sie eine Brille tragen oder nicht.

Bei einer Umfrage unter $80$ Personen zu ihrem hauptsächlichen Verkehrsmittel auf dem Weg zur Arbeit ergaben sich die folgenden absoluten Häufigkeiten:

Gib die absolute Häufigkeit der Personen an, die „unter 30 Jahre“ alt sind und „zu Fuß“ gehen, und berechne die absolute Randhäufigkeit derjenigen, die das „Auto“ benutzen.

Erstelle aus der folgenden Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten die zugehörige Tafel der relativen Häufigkeiten bezogen auf die Gesamtzahl (gib die Ergebnisse als vollständig gekürzte Brüche an).

In einem Sportverein gibt es $120$ Mitglieder. Wir wissen, dass $70$ Tennis spielen und $50$ Padel spielen, und dass von den Tennisspielern $20$ Frauen sind. Wenn es im Verein insgesamt $45$ Frauen gibt, erstelle die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, die das Geschlecht (Mann / Frau) mit der ausgeübten Sportart (Tennis / Padel) verknüpft.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Betrachte die folgende Tafel, die die Teilnehmer eines Kongresses nach Nationalität und nach der Sprache einteilt, in der sie die Unterlagen erhalten wollten:

Berechne die bedingte relative Häufigkeit dafür, dass ein Teilnehmer die Unterlagen auf Englisch bevorzugt, wenn er Europäer ist.

Es wurden $200$ Kunden einer Pizzeria nach ihrer bevorzugten Teigart gefragt. Die Ergebnisse stehen in der folgenden Tafel:

Schreibe die Randverteilung des Merkmals „Teigart“ mit ihren absoluten Häufigkeiten auf.

Gegeben ist die folgende Tafel, die die Handymarke und die Altersgruppe der Besitzer verknüpft. Bestimme den Modalwert der gemeinsamen Verteilung und den Modalwert der Randverteilung des Merkmals „Marke“.

In einer Sprachschule werden Französisch- und Deutschkurse vormittags und nachmittags angeboten. Die Tafel zeigt die Anzahl der Angemeldeten:

Berechne, wie viel Prozent aller Teilnehmer auf diejenigen entfallen, die nachmittags Französisch lernen.

Bei einer Umfrage an einem Gymnasium in Nordrhein-Westfalen zu nachhaltiger Mobilität und körperlicher Aktivität wurden die Daten von $80$ Schülern der Klasse 10 in der folgenden Vierfeldertafel erfasst:

Der Lehrer stellt die folgende Frage: „Wie groß ist der Anteil der Schüler, die keinen Sport treiben, unter denen, die ein Schülerticket haben?“ Lukas argumentiert so: „Da es $16$ Schüler gibt, die ein Ticket haben und keinen Sport treiben, bei insgesamt $80$ Schülern, beträgt der Anteil $\frac{16}{80} = 0,2$ (also $20\%$ )“.

1. a) Erkläre genau den Denkfehler von Lukas: Welche Art von Häufigkeit hat er berechnet, und welche war eigentlich gefragt?
2. b) Korrigiere die Rechnung von Lukas, indem du klar angibst, welche Gesamtzahl als Bezugsgröße (Nenner) gelten muss, und gib die richtige bedingte Häufigkeit $h(\text{Treibt keinen Sport} \mid \text{Hat ein Schülerticket})$ als gekürzten Bruch und in Prozent an.

Bei einer Verkehrssicherheitskampagne der Polizei in Dortmund zur Helmpflicht bei E-Scootern (Elektrokleinstfahrzeugen) wurden bei einer zufälligen Kontrolle von $200$ Nutzern die folgenden Daten erfasst:

1. a) Betrachte, bevor du irgendeinen Bruch oder Prozentsatz berechnest, die Daten der beiden Altersspalten genau und schätze zunächst: In welcher Altersgruppe vermutest du, dass der Helmanteil verhältnismäßig größer ist? Begründe deine Vermutung, indem du jede Zelle gedanklich mit der Randsumme ihrer Spalte vergleichst.
2. b) Überprüfe deine Schätzung, indem du die bedingten relativen Häufigkeiten $h(\text{Trägt Helm} \mid \text{Unter 25})$ und $h(\text{Trägt Helm} \mid \text{Ab 25})$ exakt berechnest und in Prozent angibst.
3. c) Beurteile, ob deine anfängliche Schätzung zutraf, und formuliere ein kurzes Fazit dazu, ob das Tragen des Helms in dieser Stichprobe von der Altersgruppe abzuhängen scheint.

An einer Schule mit $300$ Schülern nehmen $60\%$ an außerunterrichtlichen Aktivitäten (AGs) teil. Von den Schülern, die an diesen Aktivitäten teilnehmen, sind $40\%$ in der Theater-AG angemeldet. Außerdem weiß man, dass $15\%$ aller Schüler der Schule weder an AGs teilnehmen noch Theater mögen. Erstelle die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten und bestimme, wie viele Schüler an keinen AGs teilnehmen, aber trotzdem für Theater angemeldet sind.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Eine medizinische Studie untersucht die Wirksamkeit zweier Behandlungen (Behandlung A und Behandlung B) gegen eine Hauterkrankung. Die Ergebnisse nach einem Monat sind folgende:

Berechne den Erfolgsanteil (Geheilte) in Prozent für jede der beiden Behandlungen getrennt und begründe anhand dieser Prozentsätze, welche der beiden Behandlungen wirksamer zu sein scheint.

Vervollständige die folgende Vierfeldertafel (hier mit mehreren Spalten). Die relativen Häufigkeiten einiger Zellen sind als Brüche bezogen auf die Gesamtzahl $N = 150$ gegeben.

Bei einer Qualitätskontrolle überprüft ein Metalldetektor $1000$ Gepäckstücke. Man weiß, dass $40$ Gepäckstücke verbotene Gegenstände enthalten. Der Detektor schlägt bei $35$ der Gepäckstücke mit verbotenen Gegenständen Alarm und löst außerdem bei $24$ Gepäckstücken, die nichts Verbotenes enthalten, einen Fehlalarm aus. Erstelle die Vierfeldertafel und berechne den Prozentsatz der Gepäckstücke, die tatsächlich verbotene Gegenstände enthalten, unter allen, bei denen der Alarm ausgelöst wurde.

Rekonstruiere eine Vierfeldertafel $2 \times 2$ mit den Merkmalen $X$ und $Y$ aus den folgenden Angaben:

• Die Gesamtzahl der Personen beträgt $N = 200$.

• Die Randhäufigkeit von $X_1$ beträgt $120$.

• Die Randhäufigkeit von $Y_2$ beträgt $90$.

• $30\%$ der Personen, die $X_1$ erfüllen, erfüllen auch $Y_1$.

Das folgende Venn-Diagramm zeigt die Verteilung von $110$ Schülern einer Sprachschule danach, ob sie Englisch ($A$) oder Französisch ($B$) lernen.

Übertrage die Information des Diagramms in eine Vierfeldertafel, in der die Merkmale „Lernt Englisch“ (Ja/Nein) und „Lernt Französisch“ (Ja/Nein) sind. Berechne anschließend den Anteil der Schüler, die Französisch lernen, unter denen, die kein Englisch lernen.

In einem Unternehmen mit $500$ Beschäftigten wird der Zusammenhang zwischen der Abteilung, zu der sie gehören, und ihrer Arbeitszufriedenheit untersucht.

Berechne die Randverteilung des Merkmals „Zufriedenheit“ in Prozent und die bedingte Verteilung der Zufriedenheit innerhalb der Abteilung „Produktion“.

Ein Naturschutzgebiet teilt die Bäume einer Parzelle nach ihrer Art (Kiefer / Eiche) und der Bodenart, auf der sie wachsen (trocken / feucht), ein. Insgesamt wurden $240$ Bäume gezählt, davon sind $150$ Kiefern. Man weiß, dass $60\%$ der Eichen auf feuchtem Boden wachsen, während nur $40$ Kiefern auf feuchtem Boden wachsen. Erstelle die Vierfeldertafel und bestimme, wie viel Prozent aller Bäume auf trockenem Boden wachsen.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung einsenden.

Ausgehend von realitätsnahen Daten einer Erhebung zu Kulturgewohnheiten in Deutschland wurde mit einer Stichprobe von $250$ Jugendlichen im Alter von $15$ bis $19$ Jahren eine Studie durchgeführt, die zwei Merkmale in Beziehung setzt: ob sie in ihrer Freizeit regelmäßig Bücher lesen (mindestens eines pro Monat) und ob sie Abonnements bei Streaming-Plattformen (Netflix, Prime Video usw.) haben.

• Von den insgesamt $250$ Jugendlichen geben $160$ an, bei Streaming-Plattformen angemeldet zu sein.

• Unter denen mit Streaming-Abonnement geben genau $64$ an, regelmäßig Bücher zu lesen.

• In der gesamten Stichprobe geben $118$ Jugendliche an, in ihrer Freizeit regelmäßig Bücher zu lesen.

1. a) Ordne alle gegebenen Informationen in einer vollständigen Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten ($2 \times 2$) und berechne dazu zuerst die Randsummen und die fehlenden Zellen.
2. b) Es wird zufällig eine Person ausgewählt, die KEIN Streaming-Abonnement hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie regelmäßig liest? Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und als Prozentwert, auf Zehntel gerundet, an.
3. c) Vergleiche die bedingten Anteile der regelmäßigen Leser in beiden Gruppen: $h(\text{Liest} \mid \text{Streaming})$ und $h(\text{Liest} \mid \text{Kein Streaming})$. Kann man anhand der Daten sagen, dass ein Streaming-Abonnement mit einem geringeren Anteil an Buchlesern einhergeht? Begründe deine Antwort.

In der Mensa einer Schule werden die Menüwünsche eines Tages mit $200$ Essensteilnehmern (Lehrkräfte und Schüler) untersucht:

Drei Schüler diskutieren, wie man prüfen kann, ob die Wahl des Menütyps unabhängig von der Gruppe (Lehrkraft oder Schüler) ist:

• Irene behauptet: „Da der Unterschied bei der Zahl derer, die das traditionelle Menü wählen, zwischen Schülern und Lehrkräften sehr groß ist ($112 - 28 = 84$), hängt die Wahl eindeutig von der Gruppe ab.“

• Marta schlägt vor, den Anteil der Vegetarier unter den Lehrkräften mit dem Anteil der Vegetarier unter den Schülern zu vergleichen: $h(\text{Vegetarisch} \mid \text{Lehrkräfte}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetarisch} \mid \text{Schülerschaft})$.

• Sergio schlägt vor, den Anteil der Vegetarier unter den Lehrkräften mit dem Gesamtanteil der Vegetarier in der ganzen Schule zu vergleichen: $h(\text{Vegetarisch} \mid \text{Lehrkräfte}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetarisch})$.

1. a) Erkläre, warum Ireness Methode falsch ist, und zeige, warum absolute Unterschiede nicht aussagekräftig sind, wenn die Gruppen unterschiedlich groß sind.
2. b) Führe die Berechnungen von Marta und Sergio durch. Kommen beide Methoden zum selben Schluss, ob die Merkmale stochastisch unabhängig sind?
3. c) Begründe anhand der Theorie der Vierfeldertafeln („die bedingte Verteilung stimmt mit der Randverteilung überein“), welche der beiden gültigen Methoden (die von Marta oder die von Sergio) die Definition der stochastischen Unabhängigkeit am direktesten und strengsten wiedergibt.

Betrachte die folgende Vierfeldertafel, in der einige absolute Häufigkeiten von einem Parameter $x$ abhängen:

Die relative Randhäufigkeit der „Bedingung 1“ ist gleich $0,6$. Stelle eine Gleichung auf, bestimme den Wert von $x$ und rekonstruiere die vollständige Tafel mit Zahlenwerten.

Zwei statistische Merkmale heißen unabhängig, wenn die bedingten relativen Häufigkeiten gleich den entsprechenden relativen Randhäufigkeiten sind; das heißt, der Anteil bleibt in allen Zeilen und Spalten konstant.

Gegeben ist die folgende unvollständige Tafel:

Berechne den exakten Wert von $y$, damit die beiden Merkmale („Kategorie“ und „Typ“) vollständig unabhängig sind.

In zwei verschiedenen Krankenhäusern wurde der Erfolg einer komplizierten Operation erfasst, wobei die Fälle in „leichte“ und „schwere“ unterteilt wurden.

Krankenhaus St. Omar:

Krankenhaus Zum Heiligen Geist:

Erstelle für jedes Krankenhaus eine gemeinsame Vierfeldertafel (leichte und schwere Fälle zusammengefasst), die das „Krankenhaus“ mit dem „Ergebnis“ (Erfolg / Misserfolg) verknüpft. Berechne den Gesamterfolgsanteil in Prozent für jedes Krankenhaus und erkläre, warum sich die Einschätzung, welches Krankenhaus das bessere ist, ändert, wenn man die Daten zusammenfasst.

Eine Fabrik für elektronische Bauteile hat zwei Montagemaschinen. Maschine I stellt $60\%$ aller Bauteile her und Maschine II die restlichen $40\%$. Die Qualitätskontrolle zeigt, dass $2\%$ der Bauteile von Maschine I defekt sind, während die Fehlerquote bei Maschine II $5\%$ beträgt.

Erstelle für eine Charge von $2000$ Bauteilen die Vierfeldertafel, die die „Maschine“ (I / II) mit dem „Zustand“ (defekt / in Ordnung) verknüpft. Wenn man aus dieser Charge ein defektes Bauteil auswählt, welcher Anteil der defekten stammt dann von Maschine II?

In einer Vierfeldertafel $2 \times 2$ mit den Merkmalen $X$ und $Y$ sind die folgenden proportionalen Beziehungen zwischen den absoluten Häufigkeiten $a, b, c, d$ bekannt:

Das Verhältnis von $a$ zu $c$ ist $\frac{2}{3}$ und das Verhältnis von $b$ zu $d$ ist $\frac{4}{1}$. Stelle ein Gleichungssystem auf, um die Werte von $a, b, c$ und $d$ zu bestimmen.

Das folgende Baumdiagramm stellt die Anteile einer Population von $500$ Individuen dar, die nach zwei dichotomen Merkmalen $A$ und $C$ eingeteilt sind.

Übertrage die Information dieses Diagramms in eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, in der die Zeilen $A$ und $B$ und die Spalten $C$ und $D$ sind. Berechne die relative Randhäufigkeit von $C$.

Eine Marktstudie unter $600$ Verbrauchern ordnet deren Getränkevorlieben (Wasser, Limonade, Saft) und ihre Altersgruppe (jung, erwachsen) ein. Die Tafel ist fast leer, aber es sind die folgenden Hinweise bekannt:

1. Die Gesamtzahl der Jungen ist doppelt so groß wie die der Erwachsenen.

2. Die Anzahl der Erwachsenen, die Wasser bevorzugen, ist gleich der Anzahl der Erwachsenen, die Saft bevorzugen.

3. Die Jungen, die Limonade bevorzugen, sind $150$.

4. Die Gesamtzahl der Personen, die Saft bevorzugen, ist $140$.

5. Die Randhäufigkeit derer, die Wasser bevorzugen, ist $200$.

Bestimme alle gemeinsamen und Randhäufigkeiten und erstelle die vollständige Vierfeldertafel.

Du kannst die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto deiner Lösung einsenden.

In einer Bevölkerung von $400$ Einwohnern werden zwei Merkmale untersucht: „Treibt Sport“ (Ja/Nein) und „Raucht“ (Ja/Nein). Die Randverteilungen sind bekannt: $240$ Personen treiben Sport und $160$ nicht; außerdem rauchen $100$ Personen und $300$ rauchen nicht.

Erstelle die Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten unter der Annahme, dass in dieser Bevölkerung zwischen dem Rauchverhalten und dem Sporttreiben perfekte stochastische Unabhängigkeit besteht.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

In einer Gesundheitsstudie in einer Arztpraxis in Düsseldorf wird bei einer Stichprobe von $N = 120$ erwachsenen Patienten untersucht, wie zwei Merkmale zusammenhängen: „Benutzt täglich Zahnseide“ (Ja / Nein) und „Hat aktive Karies“ (Ja / Nein). Die vollständige Tabelle liegt nicht vor, aber es sind folgende Bedingungen bekannt:

1. Genau $40\%$ der Patienten der Stichprobe benutzen täglich Zahnseide.

2. In der gesamten Stichprobe haben insgesamt $48$ Personen aktive Karies.

3. Es zeigt sich, dass die Benutzung von Zahnseide das Auftreten von Karies deutlich verringert: Die bedingte relative Häufigkeit von Karies bei den Personen, die Zahnseide benutzen, ist genau halb so groß wie die bedingte relative Häufigkeit von Karies bei den Personen, die keine benutzen:

1. a) Wähle eine Unbekannte $x$ für die gemeinsame Häufigkeit der Patienten, die Zahnseide benutzen und Karies haben. Stelle eine Gleichung auf, die die beiden bedingten Häufigkeiten mit ihren jeweiligen Randsummen verknüpft, und bestimme den Wert von $x$.
2. b) Rekonstruiere die vollständige Vierfeldertafel ($2 \times 2$) mit allen absoluten gemeinsamen Häufigkeiten und Randhäufigkeiten und überprüfe, dass alle Werte ganzzahlig und stimmig sind.
3. c) Wenn Karies und tägliche Zahnseidenbenutzung stochastisch unabhängig wären, wie viele Patienten, die Zahnseide benutzen, müssten dann Karies haben? Vergleiche diese theoretische Zahl mit dem tatsächlichen Wert in deiner Tabelle und formuliere eine Schlussfolgerung zur vorbeugenden Wirkung von Zahnseide.

Der Katastrophenschutz und der Deutsche Wetterdienst (DWD) bewerten die Wirksamkeit der Unwetterwarnungen vor Starkregen in einer Küstenregion über eine Zeitreihe von $180$ Herbsttagen. Die erfassten Daten sind:

• Der DWD gab an $30$ der $180$ Tage eine Warnung der Stufe Orange oder Rot heraus.

• Tatsächlicher Starkregen wurde an $24$ der $180$ Tage verzeichnet.

• An $18$ der Tage mit aktiver Warnung gab es tatsächlich Starkregen.

1. a) Modelliere die Situation, indem du eine vollständige Vierfeldertafel ($2 \times 2$) der absoluten Häufigkeiten erstellst, welche die Merkmale „Warnung aktiv (Ja / Nein)“ und „Tatsächlicher Starkregen (Ja / Nein)“ mit den zugehörigen Randhäufigkeiten kreuzt.
2. b) In einer kommunalen Auswertungssitzung gibt es zwei gegensätzliche Meinungen:

• Der Einsatzleiter behauptet: „Das Warnsystem ist sehr wirksam: In $75\%$ der Fälle, in denen es stark regnete, war die Bevölkerung durch eine Warnung vorbereitet.“

• Eine Bürgerinitiative protestiert: „Das System löst zu viel unbegründeten Alarm aus: $40\%$ der ausgelösten Warnungen sind Fehlalarme (es kommt nicht zu Starkregen).“

Berechne die bedingten relativen Häufigkeiten $h(\text{Warnung aktiviert} \mid \text{Starkregen})$ und $h(\text{Starkregen} \mid \text{Warnung aktiviert})$ und erkläre mathematisch, warum beide Aussagen richtig sind, aber Antworten auf umgekehrte bedingte Fragen darstellen.

1. c) Zeige formal, ob die Auslösung der Warnung und das Auftreten von Starkregen abhängige oder unabhängige Merkmale sind, indem du die bedingte relative Häufigkeit $h(\text{Starkregen} \mid \text{Warnung aktiviert})$ mit der Randhäufigkeit $h(\text{Starkregen})$ vergleichst. Begründe, welche praktischen Folgen es für die Sicherheit der Bevölkerung hätte, wenn beide Merkmale stochastisch unabhängig wären.