Aufgaben: Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens

Bestimme die Amplitude und die Periode der trigonometrischen Funktion $f(x) = 4\sin(3x)$.

Berechne den Funktionswert der Funktion $g(x) = 2\cos(x) - 1$ an den Stellen $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ und $x = \frac{3\pi}{2}$.

Betrachte den folgenden Graphen und bestimme, ob er zur Sinusfunktion oder zur Kosinusfunktion gehört. Begründe deine Antwort, indem du den Schnittpunkt mit der y-Achse und die Art der Symmetrie angibst.

Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge der trigonometrischen Funktion $h(x) = 5\sin(x) + 2$ an.

Ordne die elementaren Funktionen $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ und $h(x) = \tan(x)$ nach der Art ihrer Symmetrie (gerade oder ungerade) ein.

Berechne die exakte Periode der Funktion $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Bestimme alle Schnittpunkte der Funktion $y = \sin(x)$ mit der x-Achse im abgeschlossenen Intervall $[0; 2\pi]$.

Beschreibe, durch welche geometrische Transformation der Graph der Funktion $f(x) = \cos(x)$ in den Graphen von $g(x) = \cos(x) - 3$ übergeht. Wie lautet die neue Wertemenge der Funktion $g(x)$?

Markus untersucht im Unterricht die trigonometrische Funktion $f(x) = -3\cos(2x)$ und notiert in seinem Heft die folgenden Schlussfolgerungen:

1) „Die Amplitude der Funktion ist $-3$, weil das der Faktor vor dem Kosinus ist."

2) „Die Periode ist $4\pi$, denn da die $x$ mit $2$ multipliziert wird, braucht die Welle doppelt so lange, um einen Durchlauf zu vollenden: $2 \cdot 2\pi = 4\pi$."

3) „Die Funktion ist ungerade, weil vorne ein Minuszeichen steht und ungerade Funktionen ein negatives Vorzeichen haben."

Finde und begründe den Denkfehler, den Markus in jeder der drei Aussagen macht, erkläre, was im jeweiligen Fall geometrisch am Graphen passiert, und gib die richtigen Werte für die Amplitude, die Periode und die Symmetrieart (gerade oder ungerade) der Funktion an.

Bestimme den Funktionsterm einer Funktion der Form $f(x) = A\cos(Bx) + D$ mit positiven Parametern $A > 0$ und $B > 0$, die gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. a) Ihre Mittellinie der Schwingung ist die waagerechte Gerade $y = 5$.
2. b) Der kleinste Funktionswert des Graphen ist $y = 1$.
3. c) Ihre kleinste Periode ist $T = \pi\text{ rad}$.

Leite Schritt für Schritt den Wert jedes Parameters $A$, $B$ und $D$ her und begründe seine Bedeutung anhand der Transformationen der Grundfunktion $\cos x$. Gib die gesamte Wertemenge der Funktion an und berechne ihren größten Funktionswert.

Die Höhe in Metern, in der sich eine Gondel eines Riesenrads befindet, ist in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten durch den Term $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ gegeben. Berechne die größte und die kleinste Höhe, die das Riesenrad erreicht, und bestimme die genaue Zeit, die es für eine volle Umdrehung braucht.

Der Wasserstand in einem Hafen schwankt durch die Gezeiten periodisch. Der folgende Graph zeigt die Wasserhöhe in Metern im Verlauf von $24\text{ Stunden}$. Bestimme die Amplitude, die Periode und die mittlere Wasserhöhe. Gib mithilfe dieser Daten einen trigonometrischen Term der Form $h(t) = A\sin(Bt) + D$ an, der zum gezeigten Graphen passt.

Ein reiner Ton einer Stimmgabel wird durch die Funktion $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$ modelliert, wobei $P$ die Druckänderung in Pascal und $t$ die vergangene Zeit in Sekunden angibt. Bestimme die Amplitude der Welle und ihre Frequenz (die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Sekunde).

Die Spannung des Wechselstroms in einem europäischen Haushalt lässt sich durch die Funktion $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$ beschreiben, wobei $V$ die Spannung in Volt und $t$ die Zeit in Sekunden ist. Berechne die maximal erreichte Spannung und finde heraus, wie oft pro Sekunde die Spannung genau den Wert $0\text{ Volt}$ annimmt.

Ein Gewicht am Ende einer Feder schwingt senkrecht. Seine Position relativ zur Decke ist durch die Gleichung $y(t) = 8\cos(4t) - 20$ gegeben, gemessen in Zentimetern. Gib an, wie weit das Gewicht zum Anfangszeitpunkt ($t=0$) von der Decke entfernt ist, wo seine tiefste Position liegt (größter Abstand zur Decke) und wie groß die Schwingungsdauer der Feder ist.

Die Anzahl der Sonnenstunden in einer bestimmten Stadt im Laufe des Jahres lässt sich durch die Funktion $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$ annähern, wobei $d$ den Tag des Jahres angibt ($d=1$ ist der 1. Januar). Wie viele Stunden Tageslicht gibt es genau am Tag $d=80$? Und am Tag $d=262$ (ein halbes Jahr später)? Deute die Bedeutung beider Ergebnisse.

Skizziere den Graphen der Funktion $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Erkläre Schritt für Schritt, wie dieser Graph durch Verschiebungen und Streckungen aus dem Graphen der ursprünglichen Funktion $f(x) = \sin(x)$ entsteht.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \tan(2x)$ und gib die Gleichungen ihrer ersten drei positiven senkrechten Asymptoten an.

Eine ozeanografische Boje vor dem Hafen von Kiel zeichnet den Wellengang auf. Ihre Höhe $h(t)$ in Metern über dem Meeresboden ist durch den Term $h(t) = 3 + 1,2\sin(4\pi t)$ gegeben, wobei $t$ die in Sekunden gemessene Zeit ist.

1. a) Führe vor detaillierten algebraischen Berechnungen eine begründete Abschätzung durch:

• Zwischen welchen beiden Extremwerten der Höhe schwankt die Boje?

• Wie viele vollständige Schwingungen (Wellen) macht die Boje deiner Schätzung nach in einer einzigen Sekunde?

• Nach etwa welchem Bruchteil einer Sekunde erreicht sie ihre maximale Höhe zum ersten Mal, nachdem die Zeit bei $t = 0$ zu laufen begonnen hat?

1. b) Berechne nun mit mathematischer Genauigkeit die Amplitude, die kleinste Periode $T$, die Wertemenge der Funktion und den genauen Zeitpunkt $t_1 > 0$, zu dem das erste Maximum auftritt.
2. c) Prüfe, ob deine anfänglichen Schätzungen mit den rechnerischen Ergebnissen übereinstimmen, und erkläre, warum das erste Maximum bei $t = T/4$ und nicht bei $t = T/2$ erreicht wird.

Die Änderung des Wasserstands $h(t)$ (in Metern) durch die Gezeiten in der Elbe bei Hamburg soll in Abhängigkeit von den seit Mitternacht vergangenen Stunden $t$ modelliert werden ($t = 0$). Die Messungen zeigen: Der mittlere Wasserstand beträgt $3\text{ Meter}$, die maximale Abweichung nach oben und unten von diesem Mittelwert beträgt $1,5\text{ Meter}$, ein vollständiger Gezeitenzyklus dauert $12\text{ Stunden}$ und genau um $00:00$ ($t = 0$) wird das absolute Niedrigwasser (Tiefststand von $1,5\text{ Meter}$) gemessen.

Um die Formel für $h(t)$ aufzustellen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Ansätze vor:

• Methode 1 (Lea): Ein umgekehrter Kosinus ohne horizontale Verschiebung: $h(t) = -A\cos(Bt) + D$.

• Methode 2 (David): Ein Sinus mit horizontaler Verschiebung: $h(t) = A\sin(B(t - C)) + D$.

1. a) Bestimme die nötigen Parameter, um die Funktion $h(t)$ nach Leas Methode und nach Davids Methode (mit $A > 0$ und $B > 0$) aufzustellen.
2. b) Vergleiche beide Wege: Begründe, welche der beiden Methoden in diesem Fall direkter und günstiger ist, und erkläre, welcher Zusammenhang zwischen dem Ausgangspunkt des Vorgangs bei $t = 0$ und der Wahl der Grundfunktion (Sinus oder Kosinus) besteht.
3. c) Zeige rechnerisch, dass beide Terme um $03:00$ nachts ($t = 3$) genau denselben Wasserstand liefern.

Das Pendel einer Wanduhr schwingt hin und her. Seine horizontale Auslenkung in Zentimetern aus der Mitte wird durch die Funktion $x(t) = A \cos(Bt)$ modelliert. Man weiß, dass das Pendel eine maximale Auslenkung von $12\text{ cm}$ erreicht und alle $2\text{ Sekunden}$ einen vollständigen Zyklus (hin und zurück) durchläuft. Bestimme die exakten Werte der Parameter $A$ und $B$. Berechne außerdem, zu welchen genauen Zeitpunkten das Pendel in den ersten $4\text{ Sekunden}$ genau durch die mittlere Gleichgewichtslage geht.

Die mittlere Monatstemperatur einer Stadt wird mit einer trigonometrischen Funktion modelliert. Betrachte den Graphen, der die Temperatur $T$ in Grad Celsius in Abhängigkeit vom Monat $m$ darstellt (wobei $m=0$ dem Anfang Januar, $m=1$ dem Anfang Februar usw. entspricht). Bestimme die Werte der Parameter $A, B, C$ und $D$ so, dass die Funktion $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ diese Kurve genau wiedergibt.

Bestimme rechnerisch alle Schnittpunkte (Koordinaten $x$ und $y$) der Graphen der Funktionen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = \cos(x)$ im abgeschlossenen Intervall $[0; 2\pi]$. Begründe deine Antwort mit den Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.

Nach der Biorhythmus-Theorie folgt die körperliche Leistungsfähigkeit eines Menschen einem sinusförmigen Zyklus von $23\text{ Tage}$ und die emotionale Leistungsfähigkeit einem Zyklus von $28\text{ Tage}$. Beide werden mit Sinusfunktionen der Amplitude $1$ modelliert, die am Geburtstag bei null beginnen ($t=0$). Schreibe die Funktionen $F(t)$ und $E(t)$ auf. Wie viele Tage müssen nach der Geburt genau vergehen, bis beide Leistungsfähigkeiten gleichzeitig wieder den Wert null durchlaufen und dabei beide positiv werden?

Die Kaninchenpopulation in einem Naturschutzgebiet schwankt jährlich nach dem Modell $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, wobei $t$ die Zeit in Monaten angibt ($t=0$ ist der 1. Januar). Stelle die passende trigonometrische Ungleichung auf und löse sie, um genau zu bestimmen, in welchen Monaten des ersten Jahres die Population streng über $950\text{ Kaninchen}$ liegt.

Der Lichtstrahl eines rotierenden Leuchtturms beleuchtet eine lange, gerade Steilküste. Der Abstand $d$ (in Metern) vom nächstgelegenen Punkt der Steilküste bis zum beleuchteten Punkt zum Zeitpunkt $t$ (in Sekunden) ist durch die Funktion $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$ gegeben. Bestimme die Definitionsmenge dieser Funktion im physikalischen Zusammenhang der Aufgabe (für die erste Drehung) und deute, was mit dem Lichtstrahl geschieht, wenn $t$ gegen $2\text{ Sekunden}$ geht.

Zeige mithilfe einer Analyse horizontaler Verschiebungen, dass die Funktion $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ zur Funktion $g(x) = \cos(x)$ gleichwertig ist. Nutze die Begriffe Phasenverschiebung und Periodizität sowie die Form der Graphen, um deine Antwort zu begründen.

Das Luftvolumen in der Lunge eines ruhenden Menschen, gemessen in Litern, wird durch die Funktion $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ modelliert, wobei $t$ in Sekunden gemessen wird. Berechne das größte und das kleinste Luftvolumen in der Lunge. Bestimme mithilfe der Periode der Funktion, wie viele vollständige Atemzüge (vollständige Zyklen aus Einatmen und Ausatmen) diese Person in genau einer Minute macht.

Anhand der historischen Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes für einen Ort im Binnenland wird die mittlere Tagestemperatur $T(t)$ im Verlauf eines Jahres von $365\text{ Tage}$ genau durch eine periodische Funktion der Form $T(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$ modelliert, wobei $t$ der Tag des Jahres ist ($t = 1$ steht für den 1. Januar). Der Tag mit der niedrigsten mittleren Temperatur des Jahres ist der 15. Januar ($t = 15$) mit $5^\circ\text{C}$, und der Tag mit der höchsten mittleren Temperatur liegt genau ein halbes Jahr später, am 16. Juli ($t = 197,5$), mit $27^\circ\text{C}$.

1. a) Leite die Zahlenwerte von $A$, $D$ und der Phasenverschiebung $C$ (mit $A > 0$) her und begründe sie. Erkläre dabei klar die physikalische bzw. meteorologische Bedeutung jedes Werts für das Klima der Region.
2. b) Bestimme, an welchen zwei Tagen des Jahres das Modell eine mittlere Tagestemperatur von genau $16^\circ\text{C}$ vorhersagt, und deute, warum diese Tage nahe an den Tagundnachtgleichen im Frühling und Herbst liegen.
3. c) Begründe unter Berücksichtigung der Form und der Steigung des Kosinus-Graphen, in welchen Jahreszeiten die tägliche Temperaturänderung (wie schnell sie von Tag zu Tag steigt oder fällt) am größten und in welchen sie praktisch null ist.

Bestimme den Funktionsterm einer Funktion der Form $f(x) = A\tan(B(x - C))$ mit $A > 0$ und $B > 0$, die gleichzeitig die folgenden geometrischen Bedingungen erfüllt:

1) Zwei aufeinanderfolgende senkrechte Asymptoten liegen genau auf den Geraden $x = -\dfrac{\pi}{4}$ und $x = \dfrac{3\pi}{4}$.

2) Der Graph schneidet die x-Achse $OX$ in einem Punkt zwischen beiden Asymptoten.

3) Der Graph verläuft durch den Punkt $\left(\dfrac{\pi}{2}\,\middle|\,3\right)$.

1. a) Berechne und begründe anhand des Abstands zweier aufeinanderfolgender senkrechter Asymptoten des Tangens die Periode der Funktion und leite den Parameter $B$ her.
2. b) Bestimme den Wert der horizontalen Verschiebung $C$, indem du die Lage des Mittelpunkts zwischen beiden Asymptoten begründest, und ermittle anschließend mithilfe des gegebenen Punkts den Wert des Streckfaktors in y-Richtung $A$.
3. c) Obwohl die Grundfunktion $\tan x$ eine ungerade Funktion ist (es gilt $\tan(-x) = -\tan x$), zeige rechnerisch, dass die von dir erhaltene Funktion $f(x)$ weder gerade noch ungerade ist, und erkläre genau, welche geometrische Wirkung die horizontale Verschiebung $C$ auf die ursprüngliche Symmetrie bezüglich des Ursprungs hatte.

Herausforderung des Themas. Stell dir vor, du entwirfst für deine Schule oder deine Terrasse eine bioklimatische Pergola und optimierst dabei Schatten und Stromkosten.

1. Geometrische Messung: Miss mittags deinen Schatten und den eines Pfostens oder einer Laterne, um mithilfe ähnlicher Dreiecke dessen tatsächliche Höhe zu bestimmen. Skizziere in GeoGebra die Konstruktion, indem du zu den Achsen parallele Geraden ($x = 2,5$, $y = 0$), parallele Balken mit Polynomen ersten Grades ($y = 0,4x + 2$) und senkrechte Stützen ($m_1 \cdot m_2 = -1$) kombinierst.

2. Tarif und Verbrauch: Gehe auf die Seite SMARD der Bundesnetzagentur (smard.de) und lade die stündlichen Großhandelsstrompreise von gestern herunter. Modelliere in einer Tabellenkalkulation die Stromkosten mit einer abschnittsweise definierten Funktion, die Schwachlast-, Normal- und Spitzenlastzeiten mit linearen und konstanten Funktionen unterscheidet.

3. Umweltmodellierung: Recherchiere die Sonneneinstrahlung oder die Amortisation einer Solaranlage von $1,2\text{ m}^2$. Passe die Daten in GeoGebra mit Grundfunktionen an: antiproportionale Funktionen ($k/x$) für den Ertrag je nach Bewölkung oder auch Exponential-, Logarithmus-, Potenz- oder Wurzelfunktionen, um die Einsparung langfristig abzuschätzen.

4. Begründeter Vorschlag: Verfasse einen kurzen Bericht mit den erhaltenen Graphen, den algebraischen Formeln und deinem Vorschlag zu Ausrichtung und Einsparung.

Bewertet wird:

• Genauigkeit bei der Berechnung mit ähnlichen Dreiecken und beim Zeichnen von Geraden (parallel, senkrecht und zu den Achsen).

• Rechnerische Korrektheit der abschnittsweise definierten Funktion und Anpassung der Grundfunktionen (antiproportional, Wurzel-, Exponential- oder Logarithmusfunktion) an reale Daten.

• Technische Qualität des Berichts und mathematische Begründung mit Unterstützung von GeoGebra oder Tabellenkalkulation.