Aufgaben: Exponentialfunktionen

Berechne für die Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ die Funktionswerte für $x = -2$, $x = 0$ und $x = 3$.

Gib mit Begründung an, welche der folgenden Exponentialfunktionen steigend und welche fallend sind:

• a) $f(x) = 1,2^x$

• b) $g(x) = 0,7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Betrachte die Graphen A und B in der folgenden Abbildung. Ordne jedem von ihnen den passenden Funktionsterm zu: $y = 3^x$ oder $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Eine Familie zahlt $2000$ € auf ein Bankkonto ein, das jährlich $4 \%$ Zinseszins bietet. Über welches Kapital verfügt sie nach $2$ Jahren, wenn sie kein Geld vom Konto abhebt?

Die Anzahl der Follower eines Accounts, der gerade viral gegangen ist, verdreifacht sich jeden Tag. Wenn er anfangs $100$ Follower hat, gib die Funktion an, die die Anzahl der Follower mit der vergangenen Zeit in Tagen verknüpft, und berechne, wie viele Follower es nach $3$ Tagen sind.

Bestimme den Wert von $x$ in den folgenden einfachen Exponentialgleichungen:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

Der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$ verläuft durch den Punkt $(3|8)$. Berechne den Wert der Basis $a$.

Bestimme die Definitionsmenge, die Wertemenge und den Schnittpunkt mit der y-Achse der Exponentialfunktion $f(x) = 0,5^x$.

Marcos untersucht die Funktion $f(x) = 2^{x+1} - 8$. In seiner Klassenarbeit hat er die folgende Schlussfolgerung aufgeschrieben: „Da es eine Exponentialfunktion ist, ist ihre waagerechte Asymptote immer die Gerade $y = 0$, ihre Wertemenge ist $(0; +\infty)$ und somit schneidet der Graph niemals die x-Achse ($X$) und nimmt keine negativen Werte an.“

1. a) Bestimme die zwei inhaltlichen Fehler, die Marcos in Bezug auf die Verschiebungen einer Exponentialfunktion gemacht hat.
2. b) Erkläre begründet, warum diese Fehler entstehen, und korrigiere sie, indem du die richtige Gleichung der waagerechten Asymptote und die tatsächliche Wertemenge von $f(x)$ angibst.
3. c) Zeige, dass die Funktion die $X$-Achse sehr wohl schneidet, indem du die genauen Koordinaten dieses Schnittpunkts berechnest.

Bestimme den Funktionsterm einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x + q$ anhand der folgenden Informationen:

1. Ihr Graph nähert sich beliebig nahe der waagerechten Geraden $y = -3$, wenn die Werte von $x$ sehr stark negativ sind, ohne sie jemals zu berühren.

2. Der Graph verläuft durch den Punkt $P(2|13)$.

Gib nach der Berechnung der Parameter $a$ und $q$ begründet an, ob die Funktion steigend oder fallend ist, indem du den Wert der erhaltenen Basis betrachtest, und bestimme die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse ($Y$).

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = 3^{x-2} + 1$, indem du zuvor eine Wertetabelle erstellst. Gib die Gleichung ihrer waagerechten Asymptote an und berechne die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort senden.

Löse die folgenden Exponentialgleichungen, indem du die Basen auf beiden Seiten der Gleichung angleichst:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Ein Anleger möchte in $5$ Jahren ein Endkapital von $5000$ € erreichen. Seine Bank bietet ihm eine Geldanlage mit einem Zinseszins von $3 \%$ pro Jahr an. Welches Anfangskapital muss er heute anlegen, um sein Ziel zu erreichen? (Runde das Ergebnis auf Cent.)

Eine Probe eines radioaktiven Isotops hat eine Anfangsmasse von $200$ Gramm. Die Masse halbiert sich alle $10$ Jahre. Gib den Funktionsterm an, der die verbleibende Masse in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) beschreibt, und berechne, wie viele Gramm nach $30$ Jahren genau übrig sind.

Der folgende Graph gehört zu einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x + b$. Betrachte ihre charakteristischen Merkmale, wie die waagerechte Asymptote und die Punkte, durch die sie verläuft, und bestimme die Werte der Parameter $a$ und $b$.

Löse die folgende Exponentialgleichung, indem du zuvor ausklammerst:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Bestimme rechnerisch die exakten Koordinaten der Schnittpunkte der Exponentialfunktion $f(x) = 2^{x+1} - 8$ mit der x-Achse und mit der y-Achse.

Der Preis eines neu auf den Markt gekommenen Highend-Smartphones beträgt $800$ €. Wegen der technologischen Alterung verliert es jedes Jahr $20 \%$ an Wert. Stelle die Funktion auf, die den Preis des Smartphones in Abhängigkeit von den vergangenen Jahren beschreibt, und berechne, welchen Wert es nach $4$ Jahren hat.

In einem Krankenhaus wird einem Patienten eine Dosis von $80\text{ mg}$ eines Medikaments verabreicht. Die Masse $M(t)$ des Medikaments, die nach $t$ Stunden noch in seinem Körper verbleibt (in Milligramm), wird durch die Exponentialfunktion $M(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$ beschrieben.

1. a) Schätze begründet ab, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden Zehnern (in Milligramm) die Menge des Medikaments nach 10 Stunden liegt, ohne den genauen Wert mit der Formel zu berechnen (Tipp: Berechne im Kopf die genaue Menge, die nach 8 und nach 12 Stunden übrig ist).
2. b) Berechne nun den genauen Zahlenwert von $M(10)$ gerundet auf Hundertstel und überprüfe, ob deine Schätzung aus Teilaufgabe a) richtig war.
3. c) Begründe anhand der Eigenschaften der Exponentialfunktion (waagerechte Asymptote und Wertemenge), ob es nach diesem Modell jemals einen Zeitpunkt gibt, zu dem im Körper des Patienten rechnerisch genau $0\text{ mg}$ des Medikaments vorhanden sind.

Nach demografischen Daten, die an die Erhebungen des Statistischen Bundesamts (Destatis) angelehnt sind, hatte eine ländliche Gemeinde Anfang 2015 $1200$ Einwohner. Wegen der Alterung und der Abwanderung sinkt ihre Bevölkerung jedes Jahr gleichbleibend um $5\,\%$.

1. a) Gib die Funktionsgleichung der Funktion $P(t)$ an, die die Einwohnerzahl in Abhängigkeit von der seit 2015 vergangenen Zeit $t$ in Jahren beschreibt. Begründe anhand der Basis, ob die Funktion steigend oder fallend ist.
2. b) Berechne die prognostizierte Einwohnerzahl dieser Gemeinde für Anfang des Jahres 2023, gerundet auf die nächste ganze Person.
3. c) Ein Sprecher der Gemeinde behauptet in der Presse: „Da wir jedes Jahr $5\,\%$ verlieren, haben wir in 20 Jahren $100\,\%$ der Bevölkerung verloren und der Ort hat dann noch $0$ Einwohner.“ Begründe mathematisch, warum diese lineare Überlegung falsch ist, und berechne, wie viel Prozent der Anfangsbevölkerung von 2015 nach diesen 20 Jahren tatsächlich noch übrig sind.

Die Entwicklung einer bestimmten Insektenplage folgt einem exponentiellen Modell der Form $N(t) = k \cdot a^t$, wobei $N(t)$ die Anzahl der Insekten und $t$ die Zeit in Wochen ist. Zum Anfangszeitpunkt ($t=0$) gab es $5$ Insekten und nach $2$ Wochen $45$ Insekten. Berechne die Werte der Konstanten $k$ und $a$. Bestimme anschließend, wie viele Insekten es nach $4$ Wochen gibt.

Zwei Geschwister erben jeweils $10000$ €. Das erste legt sein Geld mit einfachen Zinsen von $5 \%$ pro Jahr an, das zweite mit Zinseszins von $4 \%$ pro Jahr. Stelle die Funktionen auf, die das Kapital der beiden im Zeitverlauf beschreiben. Wer hat nach $10$ Jahren mehr Geld? Und wer nach $20$ Jahren?

Die Bevölkerung einer Stadt A beträgt derzeit $100000$ Einwohner und wächst gleichmäßig um $4 \%$ pro Jahr. Die Bevölkerung einer Stadt B beträgt $150000$ Einwohner und nimmt um $2 \%$ pro Jahr ab. Stelle die Bevölkerungsfunktionen beider Städte auf. Überprüfe mit dem Taschenrechner durch Probieren (oder mithilfe von Logarithmen), in welchem Jahr Stadt A genau mehr Einwohner hat als Stadt B.

Gegeben ist die Betragsfunktion $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Schreibe sie als abschnittsweise definierte Funktion, indem du zuvor bestimmst, an welcher Stelle der Term im Betrag das Vorzeichen wechselt.

• b) Bestimme ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

• c) Gib an, in welchen Intervallen die Funktion monoton steigend und in welchen monoton fallend ist.

Nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz wird die Temperatur einer Tasse Tee in einem Raum durch die Funktion $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$ modelliert, wobei $T(t)$ die Temperatur in Grad Celsius und $t$ die Zeit in Minuten seit dem Einschenken ist.

• a) Wie hoch war die Anfangstemperatur des Tees?

• b) Wie hoch ist die Raumtemperatur? (Begründe, was passiert, wenn die Zeit $t$ sehr groß wird.)

• c) Stelle die Gleichung auf, mit der man berechnet, nach wie vielen Minuten die Temperatur des Tees genau $55$ °C beträgt, und löse sie.

Die Pharmakokinetik untersucht, wie ein Medikament aus dem menschlichen Körper abgebaut wird. Einem Patienten wird eine Anfangsdosis von $50$ mg eines Medikaments verabreicht. Die Menge im Blut nimmt exponentiell ab, sodass sie sich alle $6$ Stunden halbiert.

• a) Gib die Funktion $C(t)$ an, die die Milligramm des Medikaments im Blut in Abhängigkeit von der in Stunden gemessenen Zeit $t$ beschreibt.

• b) Welche Menge des Medikaments ist nach einem ganzen Tag ($24$ Stunden) noch im Blut des Patienten?

Eine Bank bietet ein Anlageprodukt mit einem jährlichen Nominalzins von $6 \%$ an.

• a) Gib die Funktion an, die das Endkapital modelliert, wenn $3000$ € angelegt werden und die Zinsen jährlich gutgeschrieben werden (jährliche Verzinsung mit Zinseszins).

• b) Gib die Funktion an, wenn die Zinsen monatlich gutgeschrieben werden (monatliche Verzinsung mit Zinseszins).

• c) Berechne die genaue Differenz des erzielten Kapitals zwischen beiden Varianten nach $5$ Jahren.

Löse die folgende Exponentialgleichung mithilfe der Potenzgesetze und durch Ausklammern:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Zur Lösung der Exponentialgleichung $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$ werden drei verschiedene Lösungsstrategien vorgeschlagen:

• Strategie A: Versuchen, $2^x$ direkt aus allen drei Termen auszuklammern, so wie sie geschrieben sind.

• Strategie B: Versuchen, die Basen direkt anzugleichen, ohne die Struktur der Gleichung umzuformen.

• Strategie C: Alle Potenzen zur Basis 2 schreiben, die Koeffizienten vereinfachen und die Substitution $t = 2^x$ anwenden, um den Term in eine quadratische Gleichung umzuformen.

1. a) Erkläre ausführlich, warum die Strategien A und B bei dieser Gleichung nicht gangbar sind.
2. b) Wende Strategie C an und löse die Gleichung Schritt für Schritt. Dabei erhältst du zwei mögliche Werte für $t$; begründe, welchen davon du verwerfen musst, und stütze dich dabei auf die Wertemenge der Exponentialfunktion $y = 2^x$.
3. c) Bestimme den endgültigen Wert von $x$ und überprüfe durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung, dass er sie erfüllt.

In einem mikrobiologischen Labor wird das gleichzeitige Wachstum zweier verschiedener Bakterienkolonien, Stamm A und Stamm B, unter kontrollierten Kulturbedingungen untersucht:

• Stamm A besteht anfangs aus 150 Bakterien und seine Population verdoppelt sich alle 3 Stunden nach dem Modell $N_A(t) = 150 \cdot 2^{t/3}$ ($t$ in Stunden gemessen).

• Stamm B startet mit einer größeren Population von 1200 Bakterien, vermehrt sich aber langsamer und verdoppelt sich alle 6 Stunden: $N_B(t) = 1200 \cdot 2^{t/6}$.

1. a) Schreibe jede Funktion in der Form $N(t) = N_0 \cdot b^t$ und bestimme die stündliche Basis $b$ von jeder. Begründe anhand der Werte dieser Basen, welcher der beiden Stämme prozentual pro Stunde schneller wächst.
2. b) Obwohl Stamm B mit 8-mal mehr Bakterien als Stamm A startet: Holt Stamm A ihn jemals ein? Stelle die Gleichung $N_A(t) = N_B(t)$ auf und löse sie ausschließlich mit den Potenzgesetzen, um zu bestimmen, nach genau wie vielen Stunden beide gleich viele Bakterien haben.
3. c) Berechne die Anzahl der Bakterien jedes Stammes nach 24 Stunden und bestimme die Differenz zwischen beiden. Deute, ob das Ergebnis mit deinen Überlegungen aus den vorherigen Teilaufgaben übereinstimmt.