Aufgaben: Radioaktivität und Kernprozesse

Instabile Kerne senden drei Arten von Strahlung aus: Alpha- ($\alpha$), Beta- ($\beta$) und Gammastrahlung ($\gamma$).

1. a) Geben Sie die Natur jeder Strahlung an: Handelt es sich um einen Heliumkern, ein Elektron oder ein Photon?
2. b) Ordnen Sie sie nach aufsteigender Masse.
3. c) Geben Sie an, welche elektrisch geladen sind und mit welchem Vorzeichen.

In einem Labor gibt es drei Abschirmmaterialien: ein Blatt Papier, eine einige Millimeter dicke Aluminiumplatte und eine dicke Wand aus Blei oder Beton. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Ordnen Sie jedes Material der Strahlungsart (Alpha, Beta oder Gamma) zu, die es abzuschirmen genügt.
2. b) Welche der drei Strahlungsarten ist die durchdringendste? Und welche die am wenigsten durchdringende?
3. c) Erklären Sie, warum Techniker, die mit Gammaquellen arbeiten, Bleischirme oder Bleischürzen verwenden.

Uran-238 zerfällt unter Aussendung eines Alphateilchens (eines Helium-4-Kerns, ${}^{4}_{2}\text{He}$) und wandelt sich in Thorium um.

1. a) Schreiben Sie die vollständige Gleichung des Prozesses ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$ und berechnen Sie die Werte von $A$ und $Z$.
2. b) Formulieren Sie die beiden Erhaltungssätze, die Sie angewendet haben: den für die Massenzahl und den für die Ordnungszahl.

Kohlenstoff-14, der zur Datierung archäologischer Funde verwendet wird, zerfällt durch β⁻-Zerfall: Ein Neutron des Kerns wandelt sich in ein Proton um und ein Elektron wird ausgesandt (${}^{0}_{-1}\text{e}$).

1. a) Schreiben Sie die Gleichung des Prozesses ${}^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e}$ und berechnen Sie $A$ und $Z$.
2. b) Erklären Sie, warum sich bei einem Betazerfall die Massenzahl nicht, wohl aber die Ordnungszahl ändert.

Die Halbwertszeit eines radioaktiven Isotops ist die Zeit, in der sich die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne auf die Hälfte verringert. Eine Laborquelle enthält $100\ \text{g}$ eines bestimmten Isotops. Die Abbildung zeigt seine Zerfallskurve.

1. a) Wie viel Gramm sind nach einer Halbwertszeit noch nicht zerfallen?
2. b) Und nach zwei Halbwertszeiten? Und nach drei?
3. c) Schreiben Sie in Abhängigkeit von $n$ den allgemeinen Ausdruck für den Bruchteil, der nach $n$ Halbwertszeiten übrig ist.

Nach vielen Alpha- oder Betazerfällen befindet sich der Tochterkern in einem angeregten Zustand und regt sich unter Aussendung von Gammastrahlung ab. Betrachten Sie das Niveauschema:

1. a) Erklären Sie, was Gammastrahlung ist: Worin gleicht sie dem sichtbaren Licht und worin unterscheidet sie sich davon?
2. b) Ändern sich die Massenzahl $A$ oder die Ordnungszahl $Z$ des Kerns, wenn er Gammastrahlung aussendet? Begründen Sie Ihre Antwort.

Die Aktivität einer radioaktiven Probe ist die Anzahl der Zerfälle, die pro Sekunde in ihr stattfinden, und wird in Becquerel gemessen ($1\ \text{Bq} = 1$ Zerfall pro Sekunde).

1. a) In einer Laborprobe werden $12000$ Zerfälle in einer Minute gezählt: Berechnen Sie ihre Aktivität in Becquerel.
2. b) Erklären Sie, was mit der Aktivität einer Probe im Laufe der Zeit geschieht, und bringen Sie dies mit der Abnahme der Kernzahl in Zusammenhang.

Die beiden Wege, Energie aus Atomkernen zu gewinnen, sind Kernspaltung und Kernfusion.

1. a) Definieren Sie mit eigenen Worten, worin jeder der beiden Prozesse besteht.
2. b) Nennen Sie jeweils ein Beispiel dafür, wo er natürlich oder technisch abläuft.
3. c) Welcher der beiden Prozesse ist die Energiequelle der Sonne? Begründen Sie.

Thorium-232 (${}^{232}_{90}\text{Th}$) sendet zunächst ein Alphateilchen (${}^{4}_{2}\text{He}$) aus, und der entstandene Kern sendet danach ein β⁻-Teilchen (${}^{0}_{-1}\text{e}$) aus. Betrachten Sie das Schema der Zerfallsreihe:

1. a) Schreiben Sie die Gleichung des ersten Zerfalls und bestimmen Sie das Tochternuklid (ein Radiumisotop mit $Z = 88$).
2. b) Schreiben Sie die Gleichung des zweiten Zerfalls und bestimmen Sie das Endnuklid (ein Actiniumisotop mit $Z = 89$).
3. c) Überprüfen Sie, dass bei jedem Schritt Massenzahl und Ordnungszahl erhalten bleiben.

Iod-131, das in der Nuklearmedizin eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen. Ein Krankenhaus erhält eine Probe von $80\ \text{mg}$.

1. a) Wie viele Halbwertszeiten sind nach $32$ Tagen vergangen?
2. b) Berechnen Sie die Masse an Iod-131, die nach $32$ Tagen noch nicht zerfallen ist.
3. c) Geben Sie diese Masse als Prozentsatz der Anfangsmasse an.

Technetium-99m, das in der Diagnostik am häufigsten verwendete Radiopharmakon, hat eine Halbwertszeit von $6\ \text{h}$. Einem Patienten wird eine Dosis mit einer Anfangsaktivität von $800\ \text{MBq}$ verabreicht (beachten Sie, dass die Vorsilbe Mega $10^{6}$ bedeutet).

1. a) Berechnen Sie die Aktivität, die nach $6\ \text{h}$ übrig ist.
2. b) Berechnen Sie die Aktivität, die nach einem ganzen Tag übrig ist, $24\ \text{h}$.
3. c) Begründen Sie, warum eine so kurze Halbwertszeit für den Patienten ein Vorteil und zugleich für das Krankenhaus ein logistisches Problem ist.

An Knochenresten, die in der Nähe der Höhlen von Altamira gefunden wurden, wird gemessen, dass der heutige Anteil an Kohlenstoff-14 ein Viertel dessen beträgt, den die Knochen beim Tod des Tieres hatten. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre. Die Abbildung zeigt die Zerfallskurve von Kohlenstoff-14.

1. a) Wie viele Halbwertszeiten sind seit dem Tod des Tieres vergangen?
2. b) Berechnen Sie das Alter der Reste.
3. c) Erklären Sie, warum der Kohlenstoff-14 eines Organismus nach dessen Tod nicht mehr aufgefüllt wird und warum man ihn deshalb als „Uhr“ verwenden kann.

Im Holz eines Schiffes, das den Wikingern zugeschrieben wird, misst man eine Kohlenstoff-14-Konzentration, die ein Achtel der Konzentration in heutigem Holz beträgt. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre.

1. a) Drücken Sie den Bruchteil $\frac{1}{8}$ als Potenz von $\frac{1}{2}$ aus und leiten Sie daraus ab, wie viele Halbwertszeiten seit dem Fällen des Baumes vergangen sind.
2. b) Berechnen Sie das Alter des Holzes.
3. c) Die Wikinger segelten vor etwa $1000$ Jahren: Kommentieren Sie, ob das Ergebnis mit dieser Epoche vereinbar ist und welche Schlüsse sich daraus über das Schiff ziehen lassen.

Eine der möglichen Spaltungsreaktionen von Uran-235 ist ${}^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + x \cdot {}^{1}_{0}\text{n}$. Betrachten Sie das Schema des Vorgangs:

1. a) Berechnen Sie mithilfe der Erhaltung der Massenzahl den Wert von $x$.
2. b) Zeigen Sie, dass auch die Ordnungszahl erhalten bleibt.
3. c) Erklären Sie, warum die Freisetzung mehrerer Neutronen bei jeder Spaltung eine Kettenreaktion ermöglicht.

In experimentellen Fusionsreaktoren nutzt man die Reaktion zwischen Deuterium (${}^{2}_{1}\text{H}$) und Tritium (${}^{3}_{1}\text{H}$): ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{A}_{Z}\text{X}$. Betrachten Sie das Schema:

1. a) Identifizieren Sie das emittierte Teilchen ${}^{A}_{Z}\text{X}$, indem Sie seine Werte für $A$ und $Z$ berechnen.
2. b) Damit zwei Kerne verschmelzen, müssen sie sich bis auf etwa $10^{-15}\ \text{m}$ nähern: Erklären Sie, welche Kraft überwunden werden muss und warum das Gas auf mehr als $10^{8}\ \text{K}$ erhitzt werden muss.

Alphastrahlung ist von den drei Strahlungsarten die am stärksten ionisierende und zugleich die am wenigsten durchdringende; Gammastrahlung ist die am stärksten durchdringende und die am schwächsten ionisierende.

1. a) Erklären Sie, was es bedeutet, dass eine Strahlung ionisierend ist.
2. b) Begründen Sie, warum Alphastrahlung trotz ihrer großen Ionisationsfähigkeit die äußere Hautschicht kaum durchdringt.
3. c) Americium-241 in Rauchmeldern sendet Alphastrahlung aus: Erklären Sie, warum es keine Gefahr darstellt, solange es im Gehäuse bleibt, aber gefährlich wäre, wenn es eingeatmet oder verschluckt würde.

Eine Cobalt-60-Quelle eines Strahlentherapiegeräts hat eine Halbwertszeit von $5,27$ Jahren und eine Anfangsaktivität von $3,7 \cdot 10^{11}\ \text{Bq}$.

1. a) Drücken Sie $12,5\ \%$ der Anfangsaktivität als Potenz von $\frac{1}{2}$ aus.
2. b) Berechnen Sie, wie viele Halbwertszeiten vergehen müssen, bis die Quelle auf diesen Wert abgesunken ist, und welche Gesamtzeit das ergibt.
3. c) Berechnen Sie die Aktivität der Quelle zu diesem Zeitpunkt.

Die Aktivität von Kohlenstoff-14 in lebenden Organismen beträgt etwa $15$ Zerfälle pro Minute und Gramm Kohlenstoff. In einem prähistorischen menschlichen Gewebe misst man eine Aktivität von nur $1$ Zerfall pro Minute und Gramm; nehmen Sie sie als $\frac{1}{16}$ der Anfangsaktivität an. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre.

1. a) Berechnen Sie das Alter des Gewebes.
2. b) Schätzen Sie die Aktivität ab, die wir bei einer Probe von etwa $60000$ Jahren (etwa $10$ Halbwertszeiten) messen würden, und erklären Sie, warum die Kohlenstoff-14-Methode für so hohe Alter nicht mehr zuverlässig ist.

In der Uran-Zerfallsreihe wandelt sich der Radium-226-Kern (${}^{226}_{88}\text{Ra}$) schließlich in Blei-206 (${}^{206}_{82}\text{Pb}$) um, wobei ausschließlich Alpha- und Beta-minus-Teilchen emittiert werden. Betrachten Sie das Schema:

1. a) Jede Alpha-Emission verringert $A$ um $4$ Einheiten, jede Beta-minus-Emission ändert es nicht: Berechnen Sie, wie viele Alpha-Teilchen insgesamt emittiert werden, um von $A = 226$ auf $A = 206$ zu gelangen.
2. b) Berücksichtigen Sie, dass jede Alpha-Emission $Z$ um $2$ Einheiten verringert und jede Beta-minus-Emission es um $1$ erhöht, und berechnen Sie, wie viele Beta-minus-Emissionen nötig sind, um bei $Z = 82$ zu enden.
3. c) Zeigen Sie, dass die Gesamtbilanz der beiden Erhaltungssätze stimmig ist.

Im Labor wird eine radioaktive Quelle mit unbekanntem Isotop untersucht: Man stellt fest, dass sich ihre Aktivität in $24$ Tagen auf ein Viertel der Anfangsaktivität verringert hat.

1. a) Drücken Sie den verbleibenden Bruchteil als Potenz von $\frac{1}{2}$ aus und leiten Sie ab, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind.
2. b) Berechnen Sie die Halbwertszeit des Isotops.
3. c) Sagen Sie voraus, welcher Bruchteil der Anfangsaktivität nach weiteren $24$ Tagen übrig sein wird, und überprüfen Sie dies durch Rechnung.

Bei jeder Spaltung eines Uran-235-Kerns werden etwa $200\ \text{MeV}$ freigesetzt. Gegeben: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ und molare Masse von Uran-235: $235\ \text{g/mol}$.

1. a) Geben Sie die bei einer einzelnen Spaltung freigesetzte Energie in Joule an.
2. b) Berechnen Sie, wie viele Kerne in $1\ \text{kg}$ Uran-235 enthalten sind.
3. c) Berechnen Sie die insgesamt freigesetzte Energie bei vollständiger Spaltung dieses Kilogramms und vergleichen Sie sie mit Benzin, das etwa $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$ freisetzt: Wie viele Kilogramm Benzin wären nötig, um sie zu erreichen?

In der Sonne besteht die Nettobilanz der Proton-Proton-Reaktion in der Verschmelzung von vier Protonen zu einem Helium-4-Kern, mit einem Massendefekt von $\Delta m = 0,0287\ \text{u}$ pro gebildetem Heliumkern. Gegeben: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ und von der Sonne abgestrahlte Leistung: $P = 3,8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$.

1. a) Berechnen Sie die bei der Bildung jedes Heliumkerns freigesetzte Energie, zuerst in $\text{MeV}$ und dann in Joule.
2. b) Berechnen Sie, wie viele Heliumkerne pro Sekunde im Sonneninneren gebildet werden, um diese Leistung aufrechtzuerhalten.
3. c) Begründen Sie, wissend, dass die Masse der Sonne etwa $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$ beträgt, warum sie so schon seit Milliarden von Jahren leuchten kann.

Ein Hobby-Paläontologe schlägt vor, einen Dinosaurier-Oberschenkelknochen mit einem Alter von $66$ Millionen Jahren mit der Kohlenstoff-14-Methode zu datieren. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre, die von Kalium-40 $1,25 \cdot 10^{9}$ Jahre.

1. a) Berechnen Sie, wie vielen Halbwertszeiten von Kohlenstoff-14 diese $66$ Millionen Jahre entsprechen.
2. b) Schätzen Sie ab, welcher Bruchteil des Kohlenstoff-14 im Knochen übrig wäre, und erklären Sie, warum die Methode in diesem Fall nutzlos ist.
3. c) Begründen Sie, welche Bedingung die Halbwertszeit eines Isotops erfüllen muss, damit es zur Datierung einer Probe gegebenen Alters taugt, und begründen Sie, warum für Gesteine mit Millionen Jahren Isotope mit langer Halbwertszeit wie Kalium-40 verwendet werden.

Beim Alphazerfall von Radium-226 zu Radon-222 wird Energie freigesetzt, weil die Masse des Radiums größer ist als die Summe der Massen der Produkte. Gegeben: $m(\text{Ra}) = 226,0254\ \text{u}$, $m(\text{Rn}) = 222,0176\ \text{u}$, $m_{\alpha} = 4,0026\ \text{u}$ und $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Berechnen Sie den Massendefekt des Vorgangs in der Einheit u.
2. b) Berechnen Sie die bei jedem Zerfall freigesetzte Energie in $\text{MeV}$.
3. c) Erklären Sie, wofür diese Energie aufgewendet wird, und begründen Sie, warum sie praktisch vollständig als kinetische Energie des Alpha-Teilchens auftritt.