Aufgaben: Funktionsuntersuchung im Sachkontext

In einem Gewächshaus in Münster wird die Temperatur an einem Sommertag gemessen. Für $0\le t\le 16$ wird die Temperatur durch die Funktion $T$ mit $T(t)=-0{,}25t^2+4t+5$ beschrieben. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden seit 6 Uhr und $T(t)$ die Temperatur in $^\circ\mathrm{C}$.

1. a) Berechnen Sie die Temperatur um 10 Uhr.

1. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitraum von 6 Uhr bis 14 Uhr und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. c) Bestimmen Sie $T'(t)$, berechnen Sie $T'(4)$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der höchsten Temperatur und berechnen Sie diese Temperatur.

Die Seilbahn in Winterberg überwindet auf einer horizontalen Strecke von $800\,\mathrm{m}$ einen Höhenunterschied von $200\,\mathrm{m}$. Der Verlauf des Seils wird als gerade angenommen. Die Talstation liegt auf $660\,\mathrm{m}$ Höhe über dem Meeresspiegel. Die Höhe des Seils über dem Meeresspiegel wird in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung $x$ (in Metern) zur Talstation durch eine lineare Funktion $h$ beschrieben.

1. a) Bestimmen Sie die Steigung der Seilbahn und den Funktionsterm von $h$.

1. b) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Seilbahn.

1. c) Berechnen Sie die Höhe des Seils über dem Meeresspiegel in einer horizontalen Entfernung von $300\,\mathrm{m}$ zur Talstation.

1. d) Berechnen Sie die Länge des Seils zwischen Tal- und Bergstation.

Ein Fahrradverleih in Köln modelliert seinen Tagesgewinn in Abhängigkeit von der Anzahl $x$ der verliehenen Räder durch die Funktion $G$ mit $G(x)=-2x^2+40x-150$ für $0\le x\le 20$ ($G(x)$ in Euro).

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $G$ und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.

1. b) Bestimmen Sie, bei welcher Anzahl verliehener Räder der Gewinn maximal ist, und geben Sie den maximalen Gewinn an.

1. c) Berechnen Sie $G'(8)$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate des Gewinns im Intervall $[5;10]$.

Der Bogen einer Rheinbrücke wird für $0\le x\le 200$ durch die Funktion $h$ mit $h(x)=-0{,}0025x^2+0{,}5x$ modelliert. Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung vom linken Brückenfuß und $h(x)$ die Höhe des Bogens über dem Wasserspiegel, jeweils in Metern.

1. a) Bestimmen Sie die Spannweite des Bogens.

1. b) Berechnen Sie die größte Höhe des Bogens über dem Wasserspiegel.

1. c) Berechnen Sie den Steigungswinkel des Bogens am linken Brückenfuß.

1. d) Bestimmen Sie die Stelle, an der der Bogen die Steigung $0{,}2$ besitzt, und berechnen Sie die zugehörige Höhe.

1. e) Ein Schiff benötigt eine Durchfahrtshöhe von mindestens $20\,\mathrm{m}$. Berechnen Sie die Breite des Bereichs, in dem der Bogen mindestens $20\,\mathrm{m}$ hoch ist.

Die Leistung einer Fotovoltaikanlage auf einem Schuldach wird an einem Sommertag für $0\le t\le 12$ durch die Funktion $P$ mit $P(t)=-0{,}01t^3+0{,}12t^2$ modelliert. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden seit 6 Uhr und $P(t)$ die Leistung in Kilowatt ($\mathrm{kW}$).

1. a) Berechnen Sie die Leistung um 12 Uhr.

1. b) Untersuchen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die Leistung maximal ist, und geben Sie die maximale Leistung an.

1. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Leistung am stärksten zunimmt, und geben Sie die Änderungsrate der Leistung zu diesem Zeitpunkt an.

1. d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Leistung im Zeitraum von 6 Uhr bis 14 Uhr und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Der Anhalteweg eines Pkw auf der Autobahn wird in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $v$ (in km/h) durch die Funktion $s$ mit $s(v)=0{,}008v^2+0{,}3v$ für $v\ge 0$ modelliert ($s(v)$ in Metern).

1. a) Berechnen Sie den Anhalteweg bei $100\,\mathrm{km/h}$ und bei $130\,\mathrm{km/h}$.

1. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von $s$ im Intervall $[100;130]$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. c) Bestimmen Sie $s'(v)$, berechnen Sie $s'(120)$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, bei der der Anhalteweg $60\,\mathrm{m}$ beträgt.

1. e) Begründen Sie mithilfe der Ableitung, dass der Anhalteweg mit zunehmender Geschwindigkeit stets zunimmt.

Der Wasserstand des Rheins an einem Pegel wird für $0\le t\le 40$ durch die Funktion $h$ mit $h(t)=-0{,}001t^3+0{,}06t^2-0{,}9t+5$ modelliert. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn und $h(t)$ der Wasserstand in Metern.

Ohne Nachweis darf verwendet werden: $h'(t)=-0{,}003\cdot(t-10)\cdot(t-30)$.

1. a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen lokale Extremwerte des Wasserstands vorliegen, und geben Sie jeweils Art und Wasserstand an.

1. b) Bestimmen Sie den höchsten und den niedrigsten Wasserstand im Beobachtungszeitraum.

1. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am stärksten steigt, und geben Sie die Änderungsrate des Wasserstands zu diesem Zeitpunkt an.

1. d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate des Wasserstands im Zeitraum von $t=10$ bis $t=30$ und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe c).

1. e) Eine Anwohnerin behauptet: „Der Wasserstand fällt im gesamten Beobachtungszeitraum nie unter 1 m." Beurteilen Sie diese Aussage.

Ein Fahrradverleih in Köln vermietet seine Räder zum Tagespreis $p$ (in Euro). Die Nachfrage wird durch $n(p)=200-10p$ (Anzahl der Ausleihen pro Tag) für $0\le p\le 20$ beschrieben. Pro Ausleihe entstehen dem Verleih Kosten von 4 €.

1. a) Zeigen Sie, dass der Tagesgewinn durch $G(p)=-10p^2+240p-800$ (in Euro) beschrieben wird.

1. b) Bestimmen Sie den Tagespreis, bei dem der Gewinn maximal ist, und geben Sie den maximalen Gewinn an.

1. c) Bestimmen Sie die Tagespreise, bei denen der Gewinn mindestens 500 € beträgt.

1. d) Berechnen Sie $G'(8)$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. e) Begründen Sie, dass bei einem Tagespreis von 20 € kein Gewinn erzielt wird.

Eine Regionalbahn fährt im Bahnhof an und hält nach $30$ Sekunden wieder an. Für $0\le t\le 30$ wird der zurückgelegte Weg durch die Funktion $s$ mit $s(t)=-0{,}01t^3+0{,}45t^2$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $s(t)$ in Metern).

1. a) Berechnen Sie den insgesamt zurückgelegten Weg und die mittlere Geschwindigkeit im Zeitraum $[0;30]$.

1. b) Zeigen Sie, dass für die Geschwindigkeit $v(t)=s'(t)=-0{,}03t^2+0{,}9t$ gilt, und bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit.

1. c) Zeigen Sie, dass $v(0)=v(30)=0$ gilt, und interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang.

1. d) Begründen Sie, dass der Graph von $s$ an der Stelle der maximalen Geschwindigkeit einen Wendepunkt besitzt.

1. e) Bestimmen Sie das Zeitintervall, in dem die Geschwindigkeit größer als $6\,\mathrm{m/s}$ ist.