Aufgaben: Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basen

Zwei Überwachungsdrohnen bewegen sich im Raum auf geradlinigen Bahnen, die durch die Vektoren $\vec{u} = (2, -4, 6)$ und $\vec{v} = (-1, 2, -3)$ beschrieben werden. Bestimmen Sie, ob sich die Drohnen in parallelen Richtungen bewegen, indem Sie die lineare Abhängigkeit ihrer Richtungsvektoren untersuchen.

In der Grafik-Engine eines Videospiels wird die Position eines Objekts durch die Linearkombination zweier Basisvektoren $\vec{a} = (1, 0, 2)$ und $\vec{b} = (0, -1, 3)$ festgelegt. Berechnen Sie die Koordinaten des resultierenden Vektors $\vec{w}$, wenn die folgende Operation angewendet wird:

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ und $\vec{w} = (3, 2, 4)$. Zeigen Sie ohne aufwendige Rechnung (durch Beobachtung des Zusammenhangs zwischen ihren Komponenten), dass die Menge $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ linear abhängig ist.

Ein Laser-Sensorsystem erfordert, dass zwei Lichtstrahlen parallel sind. Der erste Strahl folgt der Richtung des Vektors $\vec{d_1} = (3, k, -1)$, der zweite der des Vektors $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die Vektoren linear abhängig und die Strahlen somit parallel sind.

Prüfen Sie, ob die Vektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bilden können. Begründen Sie dazu mithilfe der Determinante der von ihnen gebildeten Matrix, ob sie linear unabhängig sind.

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|-1)$, $B(2|3|1)$ und $C(3|4|3)$ des Raumes.

1. a) Bestimmen Sie die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$.
2. b) Entscheiden Sie anhand ihrer Komponenten, ob die Punkte $A, B$ und $C$ auf einer Geraden liegen.

Ein Vektor $\vec{v}$ hat bezüglich der kanonischen Basis $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ die Koordinaten $(3, -2, 5)$. Stellen Sie ihn als Linearkombination dieser Einheitsvektoren dar.

Beurteilen Sie mit Begründung, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ ist jede Menge aus vier Vektoren ungleich dem Nullvektor stets linear abhängig.“ Geben Sie ein einfaches Beispiel zur Stützung Ihrer Antwort an.

Um zu prüfen, ob die Vektoren $\vec{u} = (1, 2, 0)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ und $\vec{w} = (3, 3, 0)$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bilden, schreibt Marcos in seiner Klausur folgende Überlegung auf:

„Ich prüfe, ob sie paarweise proportional sind:

• $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind nicht proportional, weil $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind nicht proportional, weil $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind nicht proportional, weil $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Da kein Paar von Vektoren dieselbe Richtung hat, sind die drei Vektoren linear unabhängig und bilden somit eine Basis von $\mathbb{R}^3$.“

1. a) Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Marcos macht, und erklären Sie ihn ausführlich.
2. b) Erklären Sie ohne algebraische Rechnung, nur anhand der dritten Komponente der Vektoren, warum von Anfang an offensichtlich war, dass sie keine Basis des dreidimensionalen Raumes bilden können.
3. c) Berechnen Sie die Determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mit der Regel von Sarrus, um die formale analytische Begründung zu geben, die Marcos' Schluss widerlegt.

Konstruieren Sie drei Vektoren des dreidimensionalen Raumes $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. Keiner der drei Vektoren hat eine Komponente gleich null (keine Komponente darf $0$ sein).

2. Kein Paar von Vektoren ist zueinander proportional (d. h., es gibt keine zwei Vektoren mit derselben Richtung).

3. Die Menge $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ ist linear abhängig.

Gehen Sie dazu so vor:

1. a) Erklären Sie die Strategie, mit der Sie die Vektoren ausgehend von der Definition der Linearkombination konstruiert haben.
2. b) Geben Sie die Komponenten Ihrer drei Vektoren an.
3. c) Weisen Sie formal nach, dass sie linear abhängig sind, indem Sie die aus ihren Komponenten gebildete Determinante berechnen und überprüfen, dass ihr Wert genau $0$ ist.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, 2, -1)$ und $\vec{v} = (0, 1, 2)$. Bestimmen Sie den Wert des reellen Parameters $k$ so, dass der Vektor $\vec{w} = (2, k, 0)$ eine Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist. In welcher geometrischen Beziehung stehen die drei Vektoren für diesen Wert von $k$?

Untersuchen Sie die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit der Vektormenge $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ in Abhängigkeit vom Parameter $m \in \mathbb{R}$, wobei $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ und $\vec{c} = (1, 1, m)$ gilt.

Zeigen Sie mit Begründung: Wenn die Vektoren $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ linear unabhängig sind, dann sind auch die Vektoren $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ linear unabhängig und bilden somit eine Basis von $\mathbb{R}^3$.

Eine Überwachungsdrohne bewegt sich auf geradlinigen Bahnen, die durch Vektoren beschrieben werden. Die Richtungsvektoren dreier Drohnen sind $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ und $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$. Berechnen Sie die Werte von $a$, für die die Bahnen der drei Drohnen in zueinander parallelen Ebenen liegen würden (d. h., die Vektoren sind komplanar).

Betrachten Sie die Punkte $A(1|0|0)$, $B(0|2|1)$ und $C(2|0|m)$ des Raumes.

1. a) Bestimmen Sie den Vektor $\vec{AB}$ und den Vektor $\vec{AC}$.
2. b) Bestimmen Sie den Wert von $m$ so, dass der Vektor $\vec{v} = (3, -3, -3)$ linear abhängig von $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ ist.
3. c) Schreiben Sie für den ermittelten Wert von $m$ den Vektor $\vec{v}$ als Linearkombination von $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$.

Gegeben sind die Vektoren der kanonischen Basis $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$. Es werden die folgenden Vektoren definiert:

Begründen Sie, ob die Menge $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ ist. Wenn ein Vektor $\vec{x}$ in der kanonischen Basis die Koordinaten $(1, 2, 3)$ hat, welche Koordinaten hat er dann in der Basis $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Wert von $k$, ob die Punkte $P(1|2|-1)$, $Q(3|1|1)$, $R(0|5|-2)$ und $S(k|0|4)$ komplanar sind. Nutzen Sie für diese Untersuchung die lineare Abhängigkeit der Vektoren mit Anfangspunkt $P$ und den übrigen Punkten als Endpunkten.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, -1, 2)$, $\vec{v} = (2, 0, 3)$ und $\vec{w} = (0, 2, -1)$. Es soll untersucht werden, ob $\vec{w}$ komplanar zu $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist. Zwei Mitschüler wollen dies auf unterschiedlichen Wegen lösen:

• Mateos Methode: Die Determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ direkt mit der Regel von Sarrus berechnen.

• Elenas Methode: Die Vektorgleichung $\vec{w} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v}$ als Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten ($a$ und $b$) aufstellen, mit zwei der Gleichungen lösen und prüfen, ob die dritte erfüllt ist.

1. a) Wenden Sie Mateos Methode an, um zu bestimmen, ob $\vec{w}$ komplanar zu $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist.
2. b) Wenden Sie Elenas Methode an, um, falls vorhanden, die Skalare $a$ und $b$ zu bestimmen, die $\vec{w}$ als Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ darstellen.
3. c) Vergleichen Sie beide Verfahren: Wenn in einer Klausur nur gefragt wird „Sind diese drei Vektoren komplanar?“, welches würden Sie wählen und warum? Was änderte sich an Ihrer Wahl, wenn zusätzlich verlangt würde: „Stellen Sie den Vektor $\vec{w}$ in Abhängigkeit von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ dar“?

Eine Aufklärungsdrohneneinheit der BRIF (Brigadas de Refuerzo en Incendios Forestales, Waldbrand-Verstärkungseinheiten) in der Sierra de Gredos nutzt drei in ihren Motoren kalibrierte elementare Verschiebungsvektoren (gemessen in Kilometern auf den Achsen Ost, Nord und Höhe):

$\vec{d}_1 = (2, 1, 0,5)$, $\vec{d}_2 = (1, 3, 1)$ und $\vec{d}_3 = (4, -1, k)$, wobei $k$ ein per Software einstellbarer vertikaler Ansprechparameter ist.

1. a) Damit die Drohne jeden Punkt des dreidimensionalen Raumes ansteuern kann, müssen ihre drei elementaren Bewegungen eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bilden. Bestimmen Sie den kritischen Wert von $k$, für den die Bewegungen auf eine einzige Ebene beschränkt wären (d. h. linear abhängig), sodass die Drohne nicht mehr vollständig steuerbar ist.
2. b) Wenn die Techniker $k = 1\text{ km}$ einstellen, begründen Sie, warum die drei Vektoren eine Basis $B = \{\vec{d}_1, \vec{d}_2, \vec{d}_3\}$ bilden.
3. c) Um einen Brandherd an der relativen Position $\vec{p} = (7, 3, 2,5)\text{ km}$ zu erreichen, berechnen Sie, wie viele Einheiten jeder elementaren Bewegung $(a, b, c)$ der Pilot programmieren muss, d. h. berechnen Sie die Koordinaten von $\vec{p}$ in der Basis $B$.

Ein Ingenieurteam entwickelt das Navigationssystem eines Satelliten. Damit sich der Satellit in jede beliebige Richtung des dreidimensionalen Raumes ausrichten kann, benötigt er drei Triebwerke, deren Schubrichtungen linear unabhängig sind. Es wurden drei Triebwerke eingebaut, die durch die Vektoren $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ und $\vec{w} = (1, 1, m)$ beschrieben werden.

Bestimmen Sie mit Begründung, für welche Werte des reellen Parameters $m$ das Antriebssystem nicht im gesamten Raum manövrieren könnte (d. h., wann die Vektoren linear abhängig sind). Erklären Sie für den Fall $m=1$ geometrisch, was mit den Schubrichtungen geschieht und ob sie eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bilden.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ und $\vec{c} = (k, 1, -3)$ des Raumes.

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass sich der Vektor $\vec{v} = (3, 4, -7)$ als Linearkombination von $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ darstellen lässt, sodass die drei Vektoren linear abhängig sind.

1. b) Bilden die Vektoren für $k = 2$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$? Falls ja, berechnen Sie die Koordinaten des Vektors $\vec{w} = (1, 1, 1)$ bezüglich dieser Basis $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

Bei der Entwicklung eines Open-World-Videospiels wird die Position einer Figur mithilfe einer nicht standardmäßigen Basis $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$ festgelegt. Diese Vektoren hängen wie folgt mit der kanonischen Basis $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ zusammen:

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Zeigen Sie, dass $B'$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ ist.

1. b) Ein Objekt im Spiel hat in der kanonischen Basis die Koordinaten $(2, -4, 6)$. Bestimmen Sie seine Koordinaten in der Basis $B'$.

Untersuchen Sie die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit der folgenden Vektoren in Abhängigkeit von den Parametern $a$ und $b$:

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Bestimmen Sie, bei welchem Zusammenhang zwischen $a$ und $b$ die Vektoren komplanar sind. Gibt es einen Wert von $a$, für den die Vektoren unabhängig vom Wert von $b$ linear abhängig sind? Begründen Sie Ihre Antwort.

Sei $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$. Gegeben sind die Vektoren:

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) Für welche Werte von $\lambda$ bildet die Menge $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ keine Basis von $\mathbb{R}^3$?

1. b) Stellen Sie für $\lambda = 0$ den Vektor $\vec{w}$ als Linearkombination von $\vec{x}$, $\vec{y}$ und $\vec{u}$ dar.

Ein Architekt entwirft eine Seilkonstruktion mit drei Seilen, die in einem Verankerungspunkt $P$ zusammenlaufen. Die Richtungen der Seile sind durch die Vektoren $\vec{v_1} = (1, 1, a)$, $\vec{v_2} = (a, 0, 1)$ und $\vec{v_3} = (2, 1, 1)$ gegeben.

1. a) Damit die Verankerung stabil ist, dürfen die Seile nicht alle in derselben Ebene liegen. Bestimmen Sie die Werte von $a$, für die die Konstruktion einstürzen würde, weil die Vektoren linear abhängig sind.

1. b) Für $a = 2$ wirkt im Punkt $P$ eine Gesamtkraft von $\vec{F} = (5, 2, 4)$. Untersuchen Sie, ob sich diese Kraft eindeutig als Summe von Zugkräften in Richtung der Seile zerlegen lässt, und bestimmen Sie gegebenenfalls diese Zerlegung.

Betrachten Sie die Punkte $A(1|0|1)$, $B(0|2|1)$ und $C(2|1|0)$.

1. a) Bestimmen Sie einen Punkt $D$ so, dass der Vektor $\vec{AD}$ linear abhängig vom Vektor $\vec{BC}$ ist und den Betrag 6 hat. Ist die Lösung eindeutig?

1. b) Untersuchen Sie, ob der Punkt $E(5|-1|4)$ in der von den Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ aufgespannten Ebene liegt. Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der Begriffe lineare Abhängigkeit und Basis.

Zeigen Sie: Wenn drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear unabhängig sind, dann sind die Vektoren $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ und $\vec{w} - \vec{u}$ stets linear abhängig.

Geben Sie eine geometrische Deutung dieses Ergebnisses, indem Sie die Vektoren als Seiten einer geschlossenen Figur im Raum betrachten.

Betrachten Sie die Basis $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ von $\mathbb{R}^3$, die aus den Vektoren $\vec{u} = (10, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 10, 0)$ und $\vec{w} = (1, 1, 10)$ besteht, sowie den Zielvektor $\vec{x} = (12, 21, 30)$. Gesucht sind die Koordinaten $(a, b, c)_B$ mit $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$.

1. a) Schätzen: Analysieren Sie, bevor Sie ein Zahlensystem lösen, die Struktur der Basisvektoren (beachten Sie die Lage der Nullen und die dominierenden Werte $10$):

• Welcher Basisvektor kann als einziger zur dritten Komponente ($z$) beitragen? Schätzen Sie den genauen Wert, den $c$ haben muss.

• Dieser Wert von $c$ liefert bereits einen festen Beitrag zur zweiten Komponente ($y$). In welcher Größenordnung muss dann die Koordinate $b$ liegen? Ist sie größer oder kleiner als $2,1$?

• Schätzen Sie durch analoge Überlegung für die erste Komponente ($x$), ob die Koordinate $a$ größer oder kleiner als $1$ ausfällt.

1. b) Berechnen: Stellen Sie das zu $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$ gehörende lineare Gleichungssystem auf und berechnen Sie die Werte von $a$, $b$ und $c$ exakt.
2. c) Bewerten: Vergleichen Sie Ihre qualitativen Schätzungen mit den exakten Ergebnissen und erklären Sie, warum die Dreiecksgestalt dieser Basis einen „Kaskadeneffekt“ bewirkt, der nacheinander jede Koordinate von unten nach oben korrigiert.

Gegeben ist die Menge von Vektoren aus $\mathbb{R}^3$, bestehend aus $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$ und $\vec{w} = (0, 1, 1)$.

1. a) Zeigen Sie, dass $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ ist, indem Sie das Volumen des von ihnen aufgespannten Spats mithilfe des Spatprodukts bzw. der Determinante berechnen.
2. b) Ein Schüler behauptet mit Nachdruck: „Da $B$ nicht die kanonische Basis ist, kann kein Vektor ungleich dem Nullvektor in der kanonischen Basis genau dieselben Komponenten haben wie Koordinaten in der Basis $B$.“ Um zu prüfen, ob er recht hat, stellen Sie die Vektorgleichung auf, die diese Bedingung ausdrückt:

Überführen Sie diese Gleichung in ein homogenes lineares Gleichungssystem, lösen Sie es mit Begründung und entscheiden Sie, ob die Behauptung des Schülers wahr oder falsch ist.

1. c) Deuten Sie die Menge der Vektoren, die die obige Bedingung erfüllen, geometrisch: Welche Figur bilden sie im Raum und in welcher Beziehung stehen sie zu den Vektoren der Basis $B$?