Aufgaben: Tangente an eine Kurve

Berechne die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 3x$ an der Stelle $x = 2$.

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = x^2 + 1$ an der Stelle $x = 1$, wie in der Abbildung, und gib sie in der Form $y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1)$ an.

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x) = x^3 - 2x$ an der Stelle $x = 1$.

In welchem Punkt des Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ist die Tangente waagerecht? Gib die Koordinaten des Punktes an.

Bestimme den Punkt der Parabel $f(x) = x^2$, in dem die Tangente parallel zur Geraden $y = 4x - 1$ verläuft.

Entscheide begründet, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Die Tangente an eine Kurve in einem Punkt kann die Kurve in keinem weiteren Punkt schneiden.“ Falls sie falsch ist, gib ein Gegenbeispiel mit der Funktion $f(x) = x^3$ an der Stelle $x = 1$ an.

Marie versucht, die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = x^2 - 3x + 2$ an der Stelle $x = 2$ zu berechnen. In ihrer Klausur schreibt sie Folgendes:

„$f'(x) = 2x - 3$

Gleichung: $y - f(2) = f'(x)\cdot(x - 2)$

Da $f(2) = 0$, setze ich ein: $y - 0 = (2x - 3)(x - 2)$

Also lautet die Tangente $y = 2x^2 - 7x + 6$.“

1. a) Finde den inhaltlichen Fehler, den Marie macht, und erkläre, warum ihr Ergebnis der geometrischen Definition der Tangente widerspricht.
2. b) Korrigiere die Aufgabe, indem du die Gleichung der Tangente in der Form y = mx + b und die der Normalen an der Stelle $x = 2$ richtig berechnest.

Betrachte die Funktion $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Nimm vor jeder Ableitung die folgenden qualitativen Abschätzungen vor und argumentiere dabei mit der Form der Parabel und ihrem Scheitelpunkt:

1. Hat die Tangente an der Stelle $x = 1$ eine positive oder eine negative Steigung? Begründe mit dem Monotonieverhalten der Funktion.

2. Hat die Normale in diesem Punkt eine positive oder eine negative Steigung?

3. Ist der y-Achsenabschnitt ($b$) der Tangente größer oder kleiner als $4$?

1. b) Berechne rechnerisch die Gleichung der Tangente und der Normalen an den Graphen an der Stelle $x = 1$.
2. c) Überprüfe, ob die erhaltenen Zahlenwerte für die Steigung und den y-Achsenabschnitt deine Abschätzungen aus Teilaufgabe a) bestätigen.

Ein Radfahrer, der in einem Velodrom trainiert, legt in den ersten $t$ Sekunden $s(t) = 2t^2 + 3t$ Meter zurück.

1. a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $s(t)$ zum Zeitpunkt $t = 2$.

1. b) Welche physikalische Größe stellt die Steigung dieser Tangente dar? Gib ihren Wert und ihre Einheit an.

Die Abbildung zeigt den Ast der Hyperbel $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x > 0$ und den Punkt mit der x-Koordinate $x = 2$. Bestimme die Gleichung der Tangente in diesem Punkt und zeige, dass sie die y-Achse in $y = 1$ schneidet.

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = \ln x$ an der Stelle $x = 1$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser Geraden und den Werten von $\ln x$, wenn $x$ sehr nahe bei $1$ liegt?

Bestimme die Punkte des Graphen von $f(x) = x^3 - 3x + 2$, in denen die Tangente parallel zur Geraden $y = 9x + 5$ ist, und gib die Koordinaten jedes Punktes an.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

1. a) Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle $x = 3$.

1. b) Bestimme die Schnittpunkte dieser Tangente mit den Koordinatenachsen.

1. c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente mit den beiden Achsen bildet.

Die Normale an eine Kurve in einem Punkt ist die Senkrechte zur Tangente in diesem Punkt. Bestimme die Gleichungen der Tangente und der Normalen an die Parabel $f(x) = x^2$ an der Stelle $x = 1$.

Eine Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes im Harz misst während eines Frühlingstages die Lufttemperatur $T$ (in $^{\circ}\text{C}$). Zwischen $08:00$ und $18:00$ Uhr lassen sich die Daten durch die Funktion $T(t) = -0,1t^2 + 2,6t - 4,9$ beschreiben, wobei $t$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden ist ($8 \le t \le 18$).

1. a) Deute die physikalische Bedeutung der Ableitung $T'(a)$ und der Tangente an die Kurve zu einem beliebigen Zeitpunkt $t = a$. Gib an, in welcher Einheit diese Steigung gemessen wird.
2. b) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Temperatur um $10:00$ Uhr morgens ($t = 10$).
3. c) Verwende die bestimmte Tangente als lineare Näherung, um die voraussichtliche Temperatur um $10:15$ ($t = 10,25$) abzuschätzen. Vergleiche das Ergebnis mit dem exakten Wert des Modells $T(10,25)$ und erkläre, warum die Tangente ein nützliches Werkzeug für sehr kurzfristige Prognosen ist.

Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der ganzrationalen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn bekannt ist, dass sie gleichzeitig drei geometrische Bedingungen erfüllt:

1. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt $(0|3)$.

2. Die Tangente an die Kurve an der Stelle $x = 2$ ist waagerecht.

3. An der Stelle $x = -1$ ist die Normale an die Kurve parallel zur Geraden mit der Gleichung $x - 6y + 12 = 0$.

Übersetze zunächst jede Bedingung in eine Gleichung in $f$ und $f'$ und löse das entstehende Gleichungssystem ausführlich.

Vom Punkt $P(0|-4)$, der außerhalb der Parabel $f(x) = x^2$ liegt und in der Abbildung dargestellt ist, sollen Tangenten an die Kurve gelegt werden.

1. a) Gib die Gleichung der Tangente an die Parabel in einem beliebigen Punkt mit der x-Koordinate $x = a$ an.

1. b) Fordere, dass sie durch $P$ verläuft, und bestimme die Gleichungen der beiden möglichen Tangenten. Gib auch die Berührpunkte an.

Bestimme den Punkt der Kurve $f(x) = \ln x$, in dem die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, und gib die Gleichung dieser Tangente an. (Hinweis: Stelle die Tangente in einem beliebigen Punkt mit der x-Koordinate $x = a$ auf und fordere, dass sie durch $(0|0)$ verläuft.)

Die Parabeln $f(x) = x^2$ und $g(x) = 2 - x^2$ schneiden sich unter einem Winkel, nämlich dem Winkel zwischen ihren Tangenten im Schnittpunkt, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Zeige, dass sich die beiden Kurven an den Stellen $x = -1$ und $x = 1$ schneiden.

1. b) Berechne die Steigungen der Tangenten beider Kurven an der Stelle $x = 1$.

1. c) Bestimme mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Geraden, $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$, den Winkel, unter dem sich die beiden Kurven in diesem Punkt schneiden.

Der Wert von $\sqrt{102}$ soll ohne Taschenrechner abgeschätzt werden.

1. a) Bestimme die Gleichung der Tangente an $f(x) = \sqrt{x}$ an der Stelle $x = 100$.

1. b) Gib mithilfe dieser Geraden eine Schätzung für $\sqrt{102}$ mit zwei Nachkommastellen an.

1. c) Der tatsächliche Wert, auf vier Nachkommastellen gerundet, ist $10,0995$. Beurteile, ob die Näherung durch die Tangente zu groß oder zu klein ist, und begründe, woran das liegt.

Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten an die Parabel $f(x) = x^2 - 4x + 5$, die durch den außerhalb liegenden Punkt $P(2|-3)$ verlaufen (überprüfen Sie zuerst, dass $P$ nicht auf der Kurve liegt). Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Wege vor:

• Methode 1 (analytische Geometrie): Das Geradenbüschel durch $P$, $y + 3 = m(x - 2)$ aufstellen, in die Parabel einsetzen, sodass eine quadratische Gleichung in $x$ entsteht, und die Diskriminante gleich null setzen ($\Delta = 0$), um die Berührung zu erzwingen.

• Methode 2 (Differentialrechnung): Die allgemeine Tangente in einem unbekannten Punkt $(a|f(a))$ aufstellen, fordern, dass sie durch $P(2|-3)$ verläuft, und die Werte von $a$ bestimmen.

1. a) Wenden Sie Methode 1 an und bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten.
2. b) Wenden Sie Methode 2 an und überprüfen Sie, dass sich genau dieselben Lösungen ergeben.
3. c) Vergleichen Sie beide Methoden und begründen Sie, welche der beiden vorzuziehen ist, wenn die Kurve $g(x) = x^3 - 2x$ oder $h(x) = e^x$ wäre. Erklären Sie genau, warum die andere Methode nicht mehr anwendbar oder nicht mehr praktikabel ist.

Betrachte die Parabelschar $f_k(x) = x^2 + k$, wobei $k \in \mathbb{R}$ eine Konstante ist. Vom Punkt $P(0|-1)$ außerhalb werden Tangenten an die Kurve gelegt.

1. a) Leite die Gleichung der Tangente in einem beliebigen Punkt $(a|f_k(a))$ her und fordere, dass sie durch $P(0|-1)$ verläuft, um eine Gleichung in der Unbekannten $a$ zu erhalten.
2. b) Untersuche begründet, wie viele Tangenten sich von $P(0|-1)$ aus in Abhängigkeit vom Parameter $k$ legen lassen (unterscheide, wann es zwei, eine oder keine gibt).
3. c) Zeige für die Werte von $k$, für die es zwei verschiedene Tangenten gibt, dass diese Tangenten für genau einen Wert von $k$ senkrecht aufeinander stehen. Berechne diesen Wert und die expliziten Gleichungen beider senkrechten Tangenten.