Aufgaben: Definition der Ableitung einer Funktion an einer Stelle

Berechnen Sie mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ den Wert von $f'(2)$ für die Funktion $f(x) = x^2 + 3$.

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate (Ableitung) der Funktion $f(x) = 3x - 5$ an der Stelle $x = 1$ mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten.

Der zurückgelegte Weg eines frei fallenden Objekts auf einem fiktiven Planeten ist gegeben durch $s(t) = 4t^2$, wobei $s$ in Metern und $t$ in Sekunden gemessen wird. Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit bei $t = 3$ s mithilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x^2 - x$. Verwenden Sie die alternative Form der Definition $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, um die Ableitung an der Stelle $a = -1$ zu bestimmen.

Zeigen Sie durch explizite Berechnung der einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten, dass die Betragsfunktion $f(x) = |x - 3|$ an der Stelle $x = 3$ nicht differenzierbar ist.

Ein Radfahrer legt in einem Velodrom eine Strecke zurück, die durch die Funktion $d(t) = t^2 + 5t$ gegeben ist (in Metern, mit $t$ in Sekunden). Berechnen Sie seine Momentangeschwindigkeit nach $t = 2$ Sekunden ausschließlich mithilfe der Definition der Ableitung über Grenzwerte.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = x^2$ an der Stelle $x = 2$. Berechnen Sie dazu zunächst die Steigung $m = f'(2)$ mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert.

Berechnen Sie die Ableitung der konstanten Funktion $f(x) = 7$ an der Stelle $x = 5$ mithilfe der formalen Definition über den Grenzwert. Erklären Sie kurz die geometrische Bedeutung des Ergebnisses.

Paul möchte die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x) = 2x^2 - 3x$ an der Stelle $a = 1$ mithilfe der formalen Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen. In sein Heft schreibt er die folgende Rechnung:

Er folgert, dass die Steigung der Tangente $-3$ beträgt, und somit ihre Gleichung $y - (-1) = -3(x - 1)$ lautet.

1. a) Finden Sie den algebraischen Fehler, den Paul beim Aufstellen und Umformen des Ausdrucks $f(1+h)$ gemacht hat, und erklären Sie ihn ausführlich.
2. b) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie den Grenzwert richtig berechnen, um den wahren Wert von $f'(1)$ zu bestimmen.
3. c) Geben Sie mit dem korrigierten Wert die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(1|f(1))$ an.

Um die Ableitung der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{1}{x+2}$ an der Stelle $a = 1$ zu berechnen, stehen Ihnen zwei gleichwertige Formeln zur Verfügung, die auf dem Grenzwert des Differenzenquotienten beruhen:

• Methode A (Zuwachs $h$): $f'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

• Methode B (Annäherung an die Stelle): $f'(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

1. a) Stellen Sie bei beiden Methoden den algebraischen Ausdruck des Bruchs auf, der im Zähler entsteht, bevor der Grenzwert berechnet wird.
2. b) Vergleichen Sie beide Wege: Beschreiben Sie, welche unbestimmte Form jeweils auftritt und welche algebraischen Umformungen (Brüche zusammenfassen, Faktoren kürzen) jede Methode erfordert. Begründen Sie, welche der beiden Ihnen direkter oder weniger anfällig für Vorzeichenfehler erscheint.
3. c) Berechnen Sie den Grenzwert mit der von Ihnen gewählten Methode und begründen Sie, ob das Vorzeichen der erhaltenen Steigung dazu passt, dass die Funktion um $x = 1$ streng monoton fallend ist.

Berechnen Sie mithilfe der Definition der Ableitung über Grenzwerte $f'(3)$ für die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Bestimmen Sie die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x + 5}$ an der Stelle $x = 4$ mithilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert und erweitern Sie mit dem konjugierten Term, um die unbestimmte Form aufzulösen.

In einer Fabrik für Technikbauteile ist die Gesamtkostenfunktion für die Produktion von $q$ Stück durch $C(q) = 100 + 2q + 0,1q^2$ in Euro gegeben. Bestimmen Sie die Grenzkosten (die Ableitung der Kostenfunktion) bei genau $q = 20$ produzierten Stück, indem Sie den Grenzwert der formalen Definition der Ableitung berechnen.

Untersuchen Sie, ob die folgende abschnittsweise definierte Funktion an der Stelle $x = 2$ differenzierbar ist. Prüfen Sie zuvor ihre Stetigkeit und wenden Sie anschließend die Definition der einseitigen Ableitungen an:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{für } x > 2 \end{cases}$

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ im Koordinatenursprung. Berechnen Sie die Steigung, indem Sie den Grenzwert der Definition der Ableitung an der Stelle $x = 0$ auswerten.

Die Flughöhe einer Drohne zur Beobachtung landwirtschaftlicher Flächen folgt der Gleichung $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, wobei die Höhe $h$ in Metern und die Zeit $t$ in Sekunden angegeben ist. Bestimmen Sie mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert für eine beliebige Stelle $t$ die Geschwindigkeitsfunktion $v(t) = h'(t)$ und ermitteln Sie, zu welchem genauen Zeitpunkt die Drohne ihre maximale Höhe erreicht (wenn ihre Geschwindigkeit null ist).

Der abgebildete Graph zeigt eine stetige Funktion mit einem Knick. Geben Sie analytisch eine Funktion mit Betrag an, die zu diesem Graphen passt, und zeigen Sie rigoros durch Berechnung der einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten, warum die Funktion an der Stelle $x = 2$ nicht differenzierbar ist.

Berechnen Sie mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert für eine beliebige Stelle $x$ die Ableitungsfunktion $f'(x)$ von $f(x) = x^3 - 3x$. Verwenden Sie das Ergebnis anschließend, um die Punkte der Kurve zu bestimmen, in denen die Tangente waagerecht ist.

Betrachten Sie die Funktion $f(x) = x^3 - 4x$ und die Stelle $a = 2$.

1. a) Schätzen Sie $f'(2)$ numerisch ab, bevor Sie die exakte Ableitung berechnen. Berechnen Sie dazu die mittlere Änderungsrate (Steigung der Sekante) in zwei Intervallen nahe der Stelle: eines rechts davon, $[2; 2,05]$, und eines links davon, $[1,95; 2]$. Geben Sie aus beiden Ergebnissen einen geschätzten ganzzahligen Wert für $f'(2)$ an.
2. b) Berechnen Sie den exakten Wert von $f'(2)$ streng mit der Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten:

1. c) Vergleichen Sie Ihre anfängliche Schätzung mit dem exakten Ergebnis. Erklären Sie den geometrischen Zusammenhang zwischen den Steigungen der beiden in Teilaufgabe a) berechneten Sekanten und der in Teilaufgabe b) erhaltenen Steigung der Tangente.

Nach den Aufzeichnungen einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes an einem Frühlingstag entwickelt sich die Lufttemperatur $T$ (in Grad Celsius, $^{\circ}\text{C}$) zwischen $7:00$ ($t = 0$) und $13:00$ ($t = 6$) nach dem Modell:

wobei $t$ die seit $7:00$ vergangene Zeit in Stunden ist.

1. a) Geben Sie den Differenzenquotienten an, der die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen $9:00$ ($t = 2$) und einem beliebigen späteren Zeitpunkt $2+h$ Stunden misst.
2. b) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Temperatur um $9:00$ ($t = 2$), indem Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten für $h \to 0$ bestimmen. Geben Sie das Ergebnis mit physikalischen Einheiten an und deuten Sie es.
3. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $T(t)$ an der Stelle $t = 2$.
4. d) Schätzen Sie mithilfe der Tangente die Temperatur um $9:15$ ($t = 2,25$) ab und beurteilen Sie die Genauigkeit dieser Näherung, indem Sie sie mit dem tatsächlichen Wert vergleichen, den das quadratische Modell $T(2,25)$ liefert.

Bestimmen Sie die exakten Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass die abschnittsweise definierte Funktion

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{für } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{für } x \ge 1 \end{cases}$

an der Stelle $x = 1$ differenzierbar ist. Begründen Sie Ihre Antwort mit der Definition der Stetigkeit und werten Sie die Grenzwerte der einseitigen Ableitungen über den Differenzenquotienten aus.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ an der Stelle $x = 1$ ausschließlich mit der Definition der Ableitung als Grenzwert. Zeigen Sie alle algebraischen Schritte, die zur Auflösung der unbestimmten Form nötig sind.

Angenommen, $f(x)$ ist eine gerade Funktion (d. h., es gilt $f(-x) = f(x)$ für alle reellen Zahlen $x$) und sie ist an der Stelle $x = 0$ differenzierbar. Zeigen Sie analytisch mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$, dass notwendigerweise $f'(0) = 0$ gelten muss.

Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines Computerprozessors in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) nach dem Start eines rechenintensiven Prozesses ist durch den Term $T(t) = \frac{4t}{t^2 + 1} + 30$ gegeben. Berechnen Sie die momentane Erwärmungsrate (die Ableitung) genau nach $t = 2$ Minuten, indem Sie den Grenzwert der Definition der Ableitung Schritt für Schritt auswerten.

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an die Kurve $f(x) = x^3 - x$, die streng parallel zur Geraden mit der Gleichung $y = 2x + 1$ verlaufen. Ermitteln Sie dazu zunächst den allgemeinen Ausdruck der Steigung $f'(x)$ mithilfe der Definition der Ableitung über Grenzwerte.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x|x|$. Zeigen Sie mithilfe der Definition der Ableitung durch Berechnung der einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten, dass die Funktion an der Stelle $x = 0$ glatt (differenzierbar) ist, und bestimmen Sie den exakten Wert von $f'(0)$.

Zeigen Sie Schritt für Schritt mithilfe der allgemeinen Definition der Ableitung $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, dass die Ableitungsfunktion von $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ für jeden Wert von $x > 0$ genau $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ ist.

Der Quartalsgewinn eines Unternehmens für erneuerbare Energien in Abhängigkeit von seiner Investition $x$ (in Millionen Euro) folgt einem quadratischen Modell der Form $B(x) = -ax^2 + bx$. Der maximale Gewinn wird bei einer Investition von genau $10$ Millionen Euro erreicht und beträgt $500$ Millionen. Bestimmen Sie die Werte der Konstanten $a$ und $b$. Zeigen Sie anschließend mithilfe der Definition der Ableitung über Grenzwerte, dass die momentane Änderungsrate an dieser Stelle $B'(10) = 0$ erfüllt.

Betrachten Sie den folgenden Grenzwert, der die Ableitung einer unbekannten Funktion an einer Stelle darstellt:

1. a) Identifizieren Sie durch Vergleich dieses Ausdrucks mit der Definition $f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ begründet die Funktion $f(x)$ und die Stelle $a$. Lösen Sie anschließend die unbestimmte Form auf, um den exakten Wert des Grenzwerts $L$ zu bestimmen.
2. b) Konstruieren Sie eine gebrochenrationale Funktion der Form $g(x) = \frac{k}{x - c}$ (wobei $k$ und $c$ reelle Konstanten sind, die Sie bestimmen müssen), die an der Stelle $x = 4$ zwei Bedingungen erfüllt:

1. $g(4) = f(4)$.

2. Die Tangente an den Graphen von $g$ an der Stelle $x = 4$ ist parallel zur Tangente an den Graphen von $f$ an derselben Stelle.

Berechnen Sie die exakten Werte von $k$ und $c$, indem Sie die Ableitung $g'(4)$ über den Grenzwert ihres Differenzenquotienten bestimmen.

1. c) Geben Sie die Gleichung der gemeinsamen Tangente beider Kurven an der Stelle $x = 4$ an.

Sarah soll die Differenzierbarkeit der abschnittsweise definierten Funktion an der Stelle $x = 1$ untersuchen:

In ihrer Klausur schreibt sie die folgende Begründung:

„Ich berechne die Ableitung jedes Abschnitts getrennt: Die linksseitige Ableitung ($x < 1$) ist $2x + 2$, was an der Stelle $x = 1$ den Wert $2\cdot 1 + 2 = 4$ ergibt. Die rechtsseitige Ableitung ($x > 1$) ist die Konstante $4$. Da beide einseitigen Ableitungen übereinstimmen ($4 = 4$), behaupte ich, dass die Funktion an der Stelle $x = 1$ differenzierbar ist und ihre Ableitung $f'(1) = 4$ beträgt.“

1. a) Benennen Sie den grundlegenden begrifflichen Fehler von Sarah, die eine unverzichtbare Eigenschaft vor der Untersuchung der Differenzierbarkeit einfach voraussetzt. Zeigen Sie, ob diese Eigenschaft an der Stelle $x = 1$ erfüllt ist oder nicht.
2. b) Wenden Sie die formale Definition der Ableitung über die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an:

Berechnen Sie beide Grenzwerte ausführlich und geben Sie an, welches algebraische Ergebnis jeder liefert.

1. c) Folgern Sie begründet, ob $f$ an der Stelle $x = 1$ differenzierbar ist, und erklären Sie, warum die Faustregel „Abschnitte ableiten und einsetzen“ zu einem falschen Schluss führt, wenn man die zugrunde liegenden Definitionen nicht beachtet.