Aufgaben: Monotonie und Extremstellen mit der Ableitung

Von der Ableitung einer Funktion $f$ ist bekannt, dass $f'(3) = -2$ gilt. Entscheide, ohne den Term von $f$ zu kennen, begründet, ob die Funktion an der Stelle $x = 3$ steigt oder fällt, und erkläre, was dieser Wert für die Tangente in diesem Punkt bedeutet.

Bestimme die Monotonieintervalle der Funktion $f(x) = x^3 - 3x$, indem du das Vorzeichen ihrer Ableitung untersuchst.

Bestimme die lokale Extremstelle der Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 5$ mithilfe der Ableitung und begründe, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.

Berechne die stationären Stellen der Funktion $f(x) = x^3 - 12x + 1$, also die Stellen, an denen ihre Ableitung null wird.

Die Ableitung einer Funktion ist $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. Bestimme durch Untersuchung des Vorzeichens jedes Faktors auf der Zahlengeraden die Monotonieintervalle von $f$ und gib ihre lokalen Extremstellen an.

Bestimme die Monotonieintervalle der Funktion $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$, der die x-Achse bei $x = -1$ und bei $x = 3$ schneidet. Gib anhand des Vorzeichens von $f'$ in der Abbildung die Monotonieintervalle von $f$ an und die Stellen, an denen sie lokale Extrema hat.

Entscheide begründet, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Wenn $f'(a) = 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x = a$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.“ Die Abbildung, die die Funktion $f(x) = x^3$ und ihre Tangente im Ursprung zeigt, kann dir bei der Entscheidung helfen.

Lea untersucht die Extremstellen der Funktion $f(x) = (x - 2)^3 + 5$. Dazu berechnet sie die Ableitung $f'(x) = 3(x - 2)^2$, setzt sie gleich null und erhält die Lösung $x = 2$. Sofort schließt sie in ihrem Heft: „Da die Ableitung bei $x = 2$ null wird, hat die Funktion dort eine Extremstelle (Tiefpunkt oder Hochpunkt).“

1. a) Erkläre genau, welchen inhaltlichen Fehler Lea macht, wenn sie die Existenz einer Extremstelle allein daraus folgert, dass $f'(2) = 0$ gilt.
2. b) Korrigiere ihre Lösung: Untersuche das Vorzeichen von $f'(x)$ links und rechts von $x = 2$ und bestimme, was in dieser Umgebung tatsächlich mit der Monotonie der Funktion geschieht.
3. c) Nenne ein Beispiel in Worten oder aus dem Alltag, das ihr hilft, den Unterschied zwischen kurzem Anhalten mit Geschwindigkeit null (waagerechte Tangente) und Umkehren (Richtungswechsel) zu verstehen.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$, eingeschränkt auf das abgeschlossene Intervall $[0;3]$:

1. a) Bestimme, bevor du eine Ableitung berechnest, im Kopf oder schnell die Funktionswerte an den Intervallrändern $f(0)$ und $f(3)$ sowie den Wert bei $f(1)$. Schätze anhand dieser drei Werte begründet ab, ob das absolute Maximum im Inneren des Intervalls oder am rechten Rand $x = 3$ angenommen wird.
2. b) Berechne die Ableitungsfunktion $f'(x)$, bestimme die stationären Stellen, die im Intervall $[0;3]$ liegen, und klassifiziere sie, indem du das Vorzeichen von $f'$ untersuchst.
3. c) Bestimme das absolute Maximum und Minimum auf $[0;3]$ exakt, indem du die infrage kommenden Kandidaten (innere stationäre Stellen und Intervallränder) auswertest, und überprüfe, ob deine anfängliche Abschätzung richtig war.

Auf einem Jahrmarkt erreicht eine Wasserrakete $t$ Sekunden nach dem Start die Höhe $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ Meter. Berechne mithilfe der Ableitung, zu welchem Zeitpunkt sie die maximale Höhe erreicht und wie groß diese Höhe ist.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Berechne ihre Ableitung und bestimme ihre stationären Stellen.

1. b) Bestimme die Monotonieintervalle.

1. c) Klassifiziere jede stationäre Stelle als Hochpunkt oder Tiefpunkt und gib den Funktionswert dort an.

Eine kleine Werkstatt stellt $x$ Fahrräder pro Monat her, und die durchschnittlichen Kosten pro Fahrrad in Euro sind gegeben durch $C(x) = x + \frac{1600}{x}$ mit $x > 0$. Bestimme die Anzahl der Fahrräder, bei der die Durchschnittskosten minimal sind, und den Wert dieser minimalen Kosten. Überprüfe mit dem Vorzeichen der Ableitung, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

Nach der Gabe eines Medikaments folgt seine Konzentration im Blut, in $\text{mg/l}$, dem Modell $C(t) = 10t \cdot e^{-0,5t}$ mit $t \geq 0$ in Stunden, dargestellt in der Abbildung.

1. a) Berechne $C'(t)$.

1. b) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration maximal ist.

1. c) Untersuche, in welchen Intervallen die Konzentration zunimmt und in welchen sie abnimmt.

Bestimme den Wert des Parameters $b$ so, dass die Funktion $f(x) = x^2 + bx + 3$ im Punkt $x = 2$ einen Tiefpunkt hat. Berechne mit diesem Wert von $b$ den minimalen Funktionswert.

Ein Schüler untersucht die Monotonie von $f(x) = x^3 - 3x^2$ und schreibt: „$f'(x) = 3x^2 - 6x$, das bei $x = 0$ und bei $x = 2$ null wird; also ist $f$ in $(0; 2)$ monoton steigend und im Rest monoton fallend.“ Finden Sie den Fehler in seiner Schlussfolgerung, korrigieren Sie ihn, indem Sie das Vorzeichen von $f'$ richtig untersuchen, und geben Sie die richtigen Monotonieintervalle an.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f$, definiert auf $[-3; 4]$, mit ihren beiden markierten lokalen Extrema. Lies am Graphen ab:

1. a) Gib die Monotonieintervalle von $f$ an.

1. b) Schätze die Koordinaten des lokalen Hochpunkts und des lokalen Tiefpunkts ab.

1. c) Gib außerdem das absolute Maximum und das absolute Minimum von $f$ auf $[-3; 4]$ an.

Die Veranstalter eines Festivals schätzen, dass bei einem Eintrittspreis von $x$ Euro $400 - 8x$ Personen kommen, sodass die Einnahmen $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ Euro betragen, mit $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Bestimme die Intervalle, in denen die Einnahmen bei steigendem Preis zunehmen, und diejenigen, in denen sie abnehmen.

1. b) Bestimme den Preis, der die Einnahmen maximiert, und den Wert dieser maximalen Einnahmen.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) zeichnet den Temperaturverlauf an einem Sommertag an einer Station im Binnenland auf. Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) im Verlauf der $24$ Stunden des Tages wird durch die Funktion

modelliert, wobei $t$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden darstellt ($t = 0$).

1. a) Berechne die Ableitung $T'(t)$ und bestimme die Zeitintervalle des Tages, in denen die Temperatur gestiegen und in denen sie gefallen ist.
2. b) Bestimme, zu welcher genauen Uhrzeit das lokale Temperaturminimum der Nacht und zu welcher Uhrzeit das absolute Maximum gemessen wurde, und berechne den Temperaturwert zu beiden Zeitpunkten.
3. c) Deute das Vorzeichen der Ableitung $T'(t)$ im Zeitraum von $14:00$ bis $16:00$ Stunden, um zu begründen, warum die Tageshöchsttemperatur nicht mit dem Sonnenhöchststand (Zeitpunkt der stärksten Einstrahlung) zusammenfällt, sondern verzögert auftritt.

Um die stationären Stellen einer differenzierbaren Funktion zu klassifizieren, kann man den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung untersuchen oder das Vorzeichen der zweiten Ableitung heranziehen.

1. a) Betrachte die Funktion $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Bestimme ihre beiden stationären Stellen und versuche, beide mithilfe der zweiten Ableitung $f''(x)$ zu klassifizieren. Welches unüberwindliche Problem tritt bei $x = 0$ auf? Begründe, welches Verfahren an dieser Stelle zwingend anzuwenden ist, und folgere, um welche Art von Punkt es sich handelt.
2. b) Betrachte nun die gebrochenrationale Funktion $g(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$. Bestimme ihre stationären Stellen. Vergleiche den algebraischen Aufwand für die Berechnung von $g''(x)$ mit der Untersuchung des Vorzeichens von $g'(x)$, wobei du ausnutzt, dass der Nenner von $g'$ stets streng positiv ist. Begründe, welcher der beiden Wege günstiger ist, und klassifiziere die lokalen Extremstellen von $g$.

Untersuche das vollständige Monotonieverhalten der Funktion $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$: Monotonieintervalle, lokale Extrema mit ihren Werten und das Verhalten für $x \to \pm \infty$.

Die Funktion $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ hat im Punkt $(1|-2)$ ein lokales Extremum.

1. a) Stelle die beiden Bedingungen auf, die $a$ und $b$ erfüllen müssen, und berechne ihre Werte.

1. b) Bestimme mit diesen Werten das andere lokale Extremum der Funktion und klassifiziere beide.

Betrachte die Funktion $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Zeige durch Untersuchung des Vorzeichens von $f'(x)$, dass $f$ auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend ist.

1. b) Begründe anhand der vorigen Teilaufgabe und der Werte $f(0)$ und $f(1)$, wie viele reelle Lösungen die Gleichung $x^3 + x - 1 = 0$ hat.

Sei $f(x) = x^3 - 3x + 1$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[-2;3]$ definiert.

1. a) Bestimme ihre stationären Stellen innerhalb des Intervalls.

1. b) Berechne den Wert von $f$ an den stationären Stellen und an den Intervallrändern.

1. c) Bestimme das absolute Maximum und Minimum von $f$ auf $[-2;3]$ und begründe, warum es nicht genügt, nur die stationären Stellen zu betrachten.

Der Luftqualitätsindex einer Stadt an einem Tag mit Luftverschmutzung wird im Zeitraum $0 \leq t \leq 24$ Stunden durch $I(t) = t^3 - 27t^2 + 216t + 50$ modelliert.

1. a) Bestimme die Zeitpunkte, zu denen sich die Tendenz des Index ändert.

1. b) Bestimme die Zeitabschnitte, in denen sich der Index verschlechtert (zunimmt), und diejenigen, in denen er sich verbessert (abnimmt).

1. c) Bestimme den Maximalwert des Index zwischen $0$ und $14$ Uhr und den Zeitpunkt, zu dem er erreicht wird.

1. d) Begründe, ob das Modell auch noch gültig wäre, um den Index mehrere Tage später vorherzusagen.

Untersuche die Monotonie und die Extrema der Funktion $f(x) = x \cdot e^{-x}$ auf ganz $\mathbb{R}$ und gib den Wert des lokalen Extremums und den Grenzwert der Funktion für $x \to +\infty$ an.

Mithilfe der Monotonie soll gezeigt werden, dass $e^x \geq 1 + x$ für alle $x \geq 0$ gilt.

1. a) Definiere $f(x) = e^x - 1 - x$ und untersuche das Vorzeichen von $f'(x)$ für $x \geq 0$.

1. b) Berechne $f(0)$ und folgere aus der Monotonie von $f$, dass $f(x) \geq 0$ für alle $x \geq 0$ gilt.

1. c) Folgere die geforderte Ungleichung und begründe, ob sie auch für $x < 0$ gilt.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung $f'$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbaren Funktion $f$; die Kurve schneidet die x-Achse genau bei $x = -2$, $x = 1$ und $x = 4$.

1. a) Gib an, an welchen Stellen $f$ lokale Extrema hat, und klassifiziere sie, indem du das Vorzeichen von $f'$ untersuchst.

1. b) Ist es möglich, anhand des Graphen von $f'$ den Wert zu bestimmen, den $f$ an diesen Extremstellen annimmt? Begründe deine Antwort.

Auf einer Skateanlage soll eine Rampe gebaut werden, die zwei auf unterschiedlicher Höhe liegende horizontale Abschnitte glatt miteinander verbindet. In einem Koordinatensystem, in dem Entfernungen in Metern gemessen werden, wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ gesucht, definiert auf dem Intervall $[0;4]$, die gleichzeitig Folgendes erfüllt:

1. Bei $x = 0$ beginnt die Rampe in der Höhe $3\text{ m}$ mit waagerechter Tangente.

2. Bei $x = 4$ erreicht die Rampe Bodenniveau ($0\text{ m}$), ebenfalls mit waagerechter Tangente.

3. Die Rampe muss im gesamten Inneren $]0;4[$ streng monoton fallend sein, damit kein Skater Gegensteigungen oder Zwischenanstiege vorfindet.

1. a) Stellen Sie die vier notwendigen Bedingungen an $f$ und $f'$ auf, um die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ zu berechnen, und bestimmen Sie den Funktionsterm von $f(x)$.
2. b) Zeigen Sie analytisch, dass die berechnete Funktion in $]0;4[$ streng monoton fallend ist, indem Sie das Vorzeichen ihrer Ableitung untersuchen.
3. c) Begründen Sie ausführlich, warum es mathematisch unmöglich gewesen wäre, dieses Problem mit einem Polynom zweiten statt dritten Grades zu lösen.

Betrachten Sie die Funktionenschar $f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 9x - 1$, wobei $k \in \mathbb{R}$ ein Parameter ist.

1. a) Berechnen Sie $f'_k(x)$ und bestimmen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend ist. Erklären Sie, was im Sonderfall $k = \sqrt{3}$ mit dem Graphen und der Tangente geschieht.
2. b) Bestimmen Sie die Werte von $k$, für die die Funktion genau zwei verschiedene Punkte mit waagerechter Tangente besitzt. Klassifizieren Sie diese als Hoch- oder Tiefpunkt und begründen Sie Ihre Antwort anhand der Vorzeichen der Ableitung auf der Zahlengeraden.
3. c) Schränken Sie im konkreten Fall $k = 2$ die Funktion auf das abgeschlossene Intervall $[0;5]$ ein. Bestimmen Sie begründet alle Kandidaten für absolute Extrema, werten Sie die Funktion dort aus und geben Sie das absolute Maximum und Minimum in diesem Intervall an. Begründen Sie angesichts des Ergebnisses, warum in einem abgeschlossenen Intervall das absolute Maximum nicht mit dem lokalen Maximum übereinstimmen muss.