Aufgaben: Krümmung: Links- und Rechtskrümmung, Wendepunkt

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Führen Sie die folgenden Schritte zur Untersuchung ihrer Krümmung durch (konkav ($\cap$) heißt der Bereich, in dem $f''(x)<0$, und konvex ($\cup$) der Bereich, in dem $f''(x)>0$):

1. a) Berechnen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$.

1. b) Bestimmen Sie die Intervalle der Konkavität ($\cap$) und der Konvexität ($\cup$).

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts.

Betrachten Sie den folgenden Graphen einer Funktion $f(x)$ und erkennen Sie anhand der Zeichnung, in welchen Intervallen die Funktion konvex (Linkskrümmung, $\cup$) und in welchen konkav (Rechtskrümmung, $\cap$) ist. Geben Sie näherungsweise die Stelle $x$ an, an der Ihrer Meinung nach der Wendepunkt liegt.

Ein Designer von Skateparks modelliert das Profil einer Rampe mit der Funktion $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, wobei $x$ den horizontalen Abstand in Metern angibt. Der Designer muss wissen, wo die Rampe von „bergförmig“ (konkav) zu „talförmig“ (konvex) wechselt, um den Übergang sicherzustellen. Berechnen Sie den Wendepunkt dieses Verlaufs.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^4 - 2x^3$. Untersuchen Sie ihre Krümmung. Gibt es bei dieser Funktion eine Stelle, an der die zweite Ableitung null ist, aber kein Wendepunkt vorliegt? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie das Vorzeichen von $f''(x)$ auf beiden Seiten der Nullstellen der zweiten Ableitung analysieren.

Ordnen Sie jede der folgenden Bedingungen an die zweite Ableitung der Form des Graphen der Funktion $f(x)$ in einem gegebenen Intervall zu:

1. $f''(x) > 0$ für alle $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ für alle $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ und $f''(x)$ wechselt an der Stelle $x = c$ das Vorzeichen.

Verwenden Sie die Begriffe: konkav (Rechtskrümmung, $\cap$), konvex (Linkskrümmung, $\cup$) und Wendepunkt.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die Funktion $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ an der Stelle $x = 2$ einen Wendepunkt hat. Geben Sie, nachdem Sie $k$ bestimmt haben, an, ob die Funktion an der Stelle $x = 0$ konkav oder konvex ist.

Bestimmen Sie die Krümmungsintervalle der Exponentialfunktion $f(x) = e^{2x} - 4x$. Besitzt diese Funktion einen Wendepunkt? Begründen Sie Ihre Antwort anhand des Wertes der zweiten Ableitung.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Obwohl sie eine gebrochenrationale Funktion ist, ist die Untersuchung ihrer Krümmung in der Definitionsmenge einfach. In der Abbildung sind ihr Graph und ihre Asymptoten dargestellt.

1. Bestimmen Sie $f''(x)$.

2. Untersuchen Sie das Vorzeichen in den entsprechenden Intervallen (beachten Sie, dass $x=1$ nicht zur Definitionsmenge gehört) und bringen Sie es mit der Krümmung in Verbindung, die Sie in jedem Ast des Graphen erkennen.

3. Hat die Funktion Wendepunkte? Begründen Sie, ob der Krümmungswechsel an der senkrechten Asymptote als Wendepunkt gilt.

Markus soll die Krümmung der ganzrationalen Funktion $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$ untersuchen. In seiner Klausur schreibt er folgende Überlegung auf:

„Erste Ableitung: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Zweite Ableitung: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Ich setze gleich null: $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Also ändert der Graph der Funktion bei $x = 1$ seine Krümmung und hat bei $(1|5)$ einen Wendepunkt.“

1. a) Erkennen Sie den begrifflichen Fehler, den Markus gemacht hat, und erklären Sie ihn ausführlich. Reicht die Bedingung $f''(x_0) = 0$ allein aus, um die Existenz eines Wendepunkts zu garantieren?
2. b) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie die tatsächlichen Intervalle der Konkavität ($\cap$) und der Konvexität ($\cup$) von $f(x)$ bestimmen, und schließen Sie begründet, ob der Graph Wendepunkte hat oder nicht.

Entwerfen Sie den Funktionsterm einer kubischen Funktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, die gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

1. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt $(0|-5)$.

2. Sie hat einen Wendepunkt im Punkt mit den Koordinaten $(2|3)$.

3. Die Tangente an den Graphen in diesem Wendepunkt hat die Steigung $-4$.

4. Die Funktion ist konkav ($\cap$) in $(-\infty; 2)$ und konvex ($\cup$) in $(2; +\infty)$.

Berechnen Sie die Koeffizienten $a, b, c$ und $d$ mit Begründung und überprüfen Sie ausdrücklich anhand des Vorzeichens von $f''(x)$, dass die Krümmungsbedingung 4 mit den gefundenen Werten streng erfüllt ist.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$. Führen Sie eine genaue Untersuchung ihrer Krümmung durch (betrachten Sie $\cup$ als linksgekrümmt, wo $f''(x)>0$, und $\cap$ als rechtsgekrümmt, wo $f''(x)<0$). Gehen Sie dazu wie folgt vor:

1. a) Bestimmen Sie die Intervalle der Links- und Rechtskrümmung.

1. b) Bestimmen Sie die genauen Koordinaten der Wendepunkte, falls vorhanden.

Bekannt ist, dass die Polynomfunktion $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ im Punkt $P(1|2)$ einen Wendepunkt hat und dass die Steigung der Tangente in diesem Punkt $m = -3$ beträgt. Berechnen Sie die Werte der Parameter $a, b$ und $c$.

Ein Team von Ingenieuren entwirft eine Sprungrampe für einen Extremsportpark. Das Profil des mittleren Abschnitts der Rampe wird für $x \in [-1, 3]$ durch die Funktion $f(x) = (x-2)e^x$ beschrieben.

Berechnen Sie die Stelle $x$, an der die Rampe von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt wechselt (Wendepunkt). Begründen Sie, warum die Rampe an dieser Stelle in diesem Abschnitt ihr stärkstes Gefälle erreicht.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \ln(x^2 + 9)$. Bestimmen Sie:

1. Die Intervalle, in denen die Funktion rechtsgekrümmt ($\cap$) bzw. linksgekrümmt ($\cup$) ist.

2. Die Koordinaten der Wendepunkte.

3. Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ im Wendepunkt mit positiver x-Koordinate.

Die Anzahl aktiver Nutzer in einem neuen sozialen Netzwerk während der ersten 6 Monate wird näherungsweise durch die Funktion $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Monaten und $N(t)$ die Anzahl der Nutzer in Tausend ist.

1. Berechnen Sie den genauen Zeitpunkt (Wert von $t$), ab dem das Nutzerwachstum langsamer wird (Wendepunkt).

2. Erklären Sie die Bedeutung der Krümmung der Funktion vor und nach diesem Zeitpunkt im Hinblick auf die „Wachstumsgeschwindigkeit“.

Gegeben sei die abschnittsweise definierte Funktion:

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$ so, dass die Funktion an der Stelle $x = 0$ differenzierbar ist und ihr Graph durch den Punkt $(\pi|\pi)$ verläuft. Prüfen Sie anschließend, ob im Ursprung ein Wendepunkt vorliegt.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$. Lösen Sie die folgenden Aufgaben:

1. a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph konkav bzw. konvex ist, indem Sie das Vorzeichen von $f''(x)$ untersuchen (die Funktion gilt als konvex, $\cup$, wo $f''(x) > 0$, und als konkav, $\cap$, wo $f''(x) < 0$).

1. b) Bestimmen Sie die Wendepunkte der Kurve.

1. c) Was geschieht mit der Krümmung der Funktion für $x \to +\infty$ und für $x \to -\infty$? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Grenzwerts der zweiten Ableitung.

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$ so, dass die Funktion $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ an der Stelle $x = 0$ einen Wendepunkt hat und durch den Punkt $P(1|-1)$ verläuft. Untersuchen Sie anschließend, ob die Funktion in ihrer Definitionsmenge weitere Wendepunkte besitzt.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$:

1. a) Schätzen Sie, bevor Sie rechnen: Beachten Sie, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse (gerade) ist, auf ganz $\mathbb{R}$ streng positiv ist, im Punkt $H(0|4)$ einen Hochpunkt besitzt und für $x \to \pm\infty$ eine waagerechte Asymptote bei $y = 0$ hat. Leiten Sie allein aus diesen qualitativen Angaben begründet ab, ob der Graph Wendepunkte haben muss, wie viele Sie mindestens erwarten würden, in welchen Quadranten sie liegen und welche Krümmung der Graph nahe dem Ursprung im Vergleich zu sehr weit entfernten Bereichen ($|x| \to \infty$) aufweisen sollte.
2. b) Überprüfen Sie rechnerisch: Berechnen Sie $f''(x)$, bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph konkav ($\cap$) bzw. konvex ($\cup$) ist, und ermitteln Sie die genauen Koordinaten der Wendepunkte. Prüfen Sie, ob die rechnerischen Ergebnisse Ihre vorherigen Überlegungen genau bestätigen.

Um die Krümmung zu untersuchen und die möglichen Wendepunkte der Funktion $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$ zu klassifizieren, berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen und erhalten $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ und $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. Die Kandidaten für Wendepunkte sind $x = 0$ und $x = 3$.

Zwei Mitschüler schlagen unterschiedliche Lösungswege vor:

• Methode 1 (höhere Ableitungen): $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$ usw. berechnen und an jedem Kandidaten auswerten, bis eine Ableitung höherer Ordnung auftritt, die nicht null ist.

• Methode 2 (Vorzeichen von $f''$): Direkt das Vorzeichen von $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ in den Intervallen untersuchen, die durch die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt sind.

1. a) Wenden Sie Methode 1 an, um $x = 0$ und $x = 3$ zu klassifizieren.
2. b) Wenden Sie Methode 2 an, um die Intervalle der Konkavität und Konvexität zu bestimmen und beide Punkte zu klassifizieren.
3. c) Vergleichen Sie beide Methoden für diesen Fall kritisch: Welche ist effizienter, und warum ist Methode 2 durch den Faktor $x^2$ gegenüber Methode 1 besonders im Vorteil? Welche grundsätzliche Einschränkung hätte Methode 1, wenn die Funktion an der untersuchten Stelle keine Ableitungen höherer Ordnung besäße?

Gegeben ist die Funktionenschar der Form $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, wobei $a$ und $b$ reelle Parameter sind. Bekannt ist, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $(0|1)$ verläuft und an der Stelle $x = 1$ einen Wendepunkt hat.

1. a) Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$.
2. b) Untersuchen Sie für die ermittelten Werte die Krümmungsintervalle der Funktion und überprüfen Sie, ob es weitere Wendepunkte gibt.

Ein Team von Ingenieuren entwirft eine Übergangsrampe für ein neues Skateboard-Modell. Die Höhe der Rampe wird im Intervall $x \in [-2, 2]$ durch die Funktion $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ beschrieben.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $k$ so, dass die Rampe ihre Krümmung genau bei $x = 0$ ändert (einen Wendepunkt hat).
2. b) Gibt es einen Wert von $k$, für den die Funktion in ihrer gesamten Definitionsmenge stets linksgekrümmt ($\cup$) ist? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, wobei $a$ eine reelle Konstante ungleich null ist:

1. a) Zeigen Sie, dass die Funktion für $a > 0$ stets genau drei Wendepunkte hat, die auf einer Geraden liegen.
2. b) Untersuchen Sie für $a = -3$ das Krümmungsverhalten der Funktion unter Angabe der Intervalle und Wendepunkte und berücksichtigen Sie dabei die Unstetigkeitsstellen der Funktion.

Der folgende Graph zeigt die erste Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten stetigen Funktion $f(x)$. Beschränken Sie sich anhand der gegebenen Informationen auf den dargestellten Abschnitt, $-2 < x < 2$:

1. a) Bestimmen Sie die Krümmungsintervalle der ursprünglichen Funktion $f(x)$.
2. b) Geben Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von $f(x)$ an.
3. c) Skizzieren Sie den Graphen der ursprünglichen Funktion $f(x)$ anhand ihrer Krümmung, wenn $f(0) = 0$ bekannt ist.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \arctan(x^2 - 1)$.

1. a) Bestimmen Sie den maximal vereinfachten Term von $f''(x)$.
2. b) Bestimmen Sie die Punkte der Kurve, in denen die Tangentensteigung ihre lokalen Maximal- oder Minimalwerte annimmt. Hinweis: Denken Sie daran, dass dies dort geschieht, wo sich die Krümmung ändert.
3. c) Untersuchen Sie die Krümmungsintervalle von $f(x)$.

Der Übergang zwischen zwei Straßenabschnitten soll geglättet werden. Der erste Abschnitt wird für $x \le 1$ durch die Funktion $g(x) = x^2$ beschrieben, der zweite Abschnitt für $x > 1$ durch eine Polynomfunktion dritten Grades $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Damit der Übergang „vollkommen glatt“ ist, fordern die Ingenieure, dass im Verbindungspunkt $x = 1$ Folgendes gilt:

1. Die Funktionswerte stimmen überein ($f$ ist stetig).

2. Die Steigungen stimmen überein ($f$ ist differenzierbar).

3. Die Krümmung ist gleich (die zweiten Ableitungen stimmen überein).

Bestimmen Sie die Werte von $a, b, c$ und $d$, wenn der zweite Abschnitt in $x = 2$ einen Wendepunkt haben soll.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Untersuchen Sie die Definitionsmenge und die Asymptoten der Funktion.
2. b) Bestimmen Sie die Monotonieintervalle und die lokalen Extrema.
3. c) Untersuchen Sie die Krümmung und zeigen Sie, dass es keinen Wendepunkt gibt.
4. d) Welchem Wert nähert sich die Steigung der Kurve für $x \to \infty$? Ändert dies etwas an der Krümmung im Unendlichen?

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$, definiert für $x > 0$.

1. a) Berechnen Sie $f'(x)$, $f''(x)$ und $f'''(x)$.
2. b) Bestimmen Sie die Krümmungsintervalle.
3. c) Gibt es einen Punkt des Graphen, in dem die Tangente waagerecht ist und der gleichzeitig ein Wendepunkt ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
4. d) Untersuchen Sie das Verhalten der Krümmung, wenn $x$ sich von rechts $0$ nähert. Kann man sagen, dass im Grenzfall ein Wendepunkt vorliegt?

Nach den Prognosen des spanischen Plan Nacional Integrado de Energía y Clima (PNIEC) wird die kumulierte Leistung der Photovoltaik-Eigenversorgung (in Gigawatt, $\text{GW}$) zwischen den Jahren 2018 ($t = 0$) und 2026 ($t = 8$) durch die logistische Funktion

$P(t) = \frac{12}{1 + 8\cdot e^{-0,5t}}$

modelliert, wobei $t$ die seit Ende 2018 vergangene Zeit in Jahren darstellt.

1. a) Bestimmen Sie schlüssig den Grenzwert von $P(t)$ für $t \to +\infty$ und deuten Sie den erhaltenen Wert im Kontext des Modells (Sättigungskapazität der installierbaren Leistung).
2. b) Berechnen Sie rechnerisch die zweite Ableitung $P''(t)$ und bestimmen Sie den genauen Zeitpunkt $t_0$, an dem die Funktion einen Wendepunkt hat. In welchem Jahr und ungefähr welchem Monat wurde dieser Meilenstein erreicht?
3. c) Untersuchen Sie das Vorzeichen von $P''(t)$ vor und nach $t_0$. Deuten Sie, was Links- und Rechtskrümmung für die jährliche Installationsrate ($P'(t)$) bedeuten: In welchem Zeitraum war die Installationsrate beschleunigt und wann begann sie sich zu verlangsamen, obwohl die Gesamtleistung weiter anstieg?
4. d) Zeigen Sie algebraisch, dass bei jedem allgemeinen logistischen Modell der Form $P(t) = \frac{K}{1 + b\cdot e^{-kt}}$ (mit $K, b, k > 0$) der Wendepunkt stets in dem Moment erreicht wird, in dem die Größe die Hälfte ihres Sättigungswerts erreicht ($P(t_0) = \frac{K}{2}$).

Beim Entwurf des Längsprofils einer Beschleunigungsrampe für eine Attraktion in einem Freizeitpark in Berlin soll die Starthöhe glatt an die obere Plattform angeschlossen werden. Die Rampe soll durch eine differenzierbare Funktion $f(x)$ beschrieben werden, die im Intervall $[0;4]$ definiert ist (wobei $x$ der horizontale Abstand in Metern und $f(x)$ die Höhe in Metern ist) und Folgendes erfüllt:

1. Sie beginnt im Punkt $(0|0)$ mit waagerechter Tangente ($f'(0) = 0$).

2. Sie endet im Punkt $(4|2)$ ebenfalls mit waagerechter Tangente ($f'(4) = 0$).

3. Um abrupte Stöße für die Fahrgäste zu vermeiden, soll sich die Krümmung stetig ändern und von linksgekrümmt ($\cup$) zu rechtsgekrümmt ($\cap$) übergehen, wobei es genau einen Wendepunkt im Inneren des Intervalls $]0;4[$ gibt.

1. a) Zeigen Sie formal, warum ein Polynom zweiten Grades diese Vorgaben nicht gleichzeitig erfüllen kann.
2. b) Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms möglichst niedrigen Grades, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, das die Bedingungen für Lage und Steigung an den Enden erfüllt.
3. c) Zeigen Sie für die erhaltene kubische Funktion, dass die Krümmungsbedingung erfüllt ist: Bestimmen Sie die Intervalle der Links- und Rechtskrümmung, ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunkts und begründen Sie, warum die Rampe an der Stelle dieses Wendepunkts ihre maximale Steigung erreicht; berechnen Sie deren genauen Wert.