Aufgaben: Die Arbeit

Die Arbeit, die eine konstante Kraft an einem sich verschiebenden Körper verrichtet, beträgt $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen Kraft und Verschiebung ist. Geben Sie ohne Rechnung an, ob die Arbeit in jedem Fall positiv, negativ oder null ist, und begründen Sie dies mit dem Wert von $\alpha$:

1. a) Die Zugkraft eines Traktors, der einen Anhänger auf einem waagerechten Weg zieht.
2. b) Die Reibungskraft, die der Fortbewegung des Anhängers entgegenwirkt.
3. c) Die Normalkraft, die der Boden auf den Anhänger ausübt.
4. d) Die Kraft, mit der ein Arbeiter eine ruhende Kiste auf seiner Schulter hält.

Ein Lagerarbeiter schiebt eine Palette mit einer konstanten waagerechten Kraft von $250\ \text{N}$ und verschiebt sie um $12\ \text{m}$ geradlinig über den Boden.

1. a) Welchen Winkel bilden Kraft und Verschiebung?
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die der Arbeiter verrichtet.

Eine Person geht mit ihrem Hund spazieren und zieht mit einer konstanten Kraft von $80\ \text{N}$ an der Leine, die mit der Waagerechten $60^\circ$ bildet, auf einem geraden Abschnitt von $25\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), wie in der Abbildung dargestellt.

Berechnen Sie die Arbeit, die sie verrichtet.

Du stellst eine Werkzeugkiste von $10\ \text{kg}$ auf ein Regal, das sich in $2,5\ \text{m}$ Höhe über dem Boden befindet (verwende $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechne die Gewichtskraft der Kiste.
2. b) Berechne die Arbeit, die die Gewichtskraft beim Anheben verrichtet. Beachte, dass die Gewichtskraft nach unten und die Verschiebung nach oben zeigt.
3. c) Welche Arbeit verrichtest du mindestens gegen die Gewichtskraft?

Ein Reisender schiebt seinen Kofferwagen geradlinig über den waagerechten Boden eines Flughafenterminals.

1. a) Begründen Sie mithilfe des Ausdrucks $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, warum die Arbeit der Normalkraft und die Arbeit der Gewichtskraft auf dem Weg null sind.
2. b) Wenn der Reisende über $100\ \text{m}$ eine waagerechte Kraft von $18\ \text{N}$ ausübt, welche Arbeit verrichtet er?

Im Labor wird ein Wagen auf einer Luftkissenbahn um $\vec{d} = (5, 0)\ \text{m}$ verschoben, während auf ihn eine konstante Kraft $\vec{F} = (6, 8)\ \text{N}$ wirkt, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Arbeit mithilfe des Skalarprodukts $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Erklären Sie, warum die vertikale Komponente der Kraft nicht zur Arbeit beiträgt.

Beim Ziehen eines Sofas $8\ \text{m}$ über den Boden eines Wohnzimmers beträgt die Gleitreibungskraft $35\ \text{N}$.

1. a) Welchen Winkel bildet die Reibungskraft mit der Verschiebung?
2. b) Berechnen Sie die Arbeit der Reibung und deuten Sie ihr Vorzeichen.

Der Arbeits-Energie-Satz besagt, dass die an einem Körper verrichtete Nettoarbeit gleich der Änderung seiner kinetischen Energie ist: $W_{netto} = \Delta E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2$. Eine Demonstrationskugel von $2\ \text{kg}$ erhöht auf einer Luftkissenbahn ihre Geschwindigkeit von $3\ \text{m/s}$ auf $5\ \text{m/s}$.

1. a) Berechnen Sie ihre anfängliche und ihre endgültige kinetische Energie.
2. b) Wie groß ist die an der Kugel verrichtete Nettoarbeit?

Bei einer Gymkhana schiebt ein Schüler eine Bücherkiste $15\ \text{m}$ über den waagerechten Hallenboden, indem er eine waagerechte Kraft von $120\ \text{N}$ aufbringt, während die Gleitreibung mit $40\ \text{N}$ entgegenwirkt, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die der Schüler verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit der Reibung (beachten Sie, dass sie negativ ist: $\alpha = 180^\circ$).
3. c) Berechnen Sie die Arbeit der Gewichtskraft und der Normalkraft und begründen Sie ihre Werte.
4. d) Bestimmen Sie die Nettoarbeit an der Kiste.

Um einen Kühlschrank von $60\ \text{kg}$ in einen Transporter zu laden, wird er eine Rampe von $3\ \text{m}$ hinaufgeschoben, die mit der Waagerechten $20^\circ$ bildet ($\sin 20^\circ \approx 0,34$; verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die zur Rampe parallele Komponente der Gewichtskraft.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die die Gewichtskraft beim Hinaufschieben verrichtet.
3. c) Welche Arbeit muss die schiebende Person mindestens gegen diese Komponente der Gewichtskraft verrichten?

Ein Musher zieht den Schlitten seines Gespanns mit einem Seil, das mit der Waagerechten $37^\circ$ bildet, und übt über $50\ \text{m}$ eine konstante Kraft von $100\ \text{N}$ aus ($\sin 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$). Die Reibung mit dem Schnee wirkt mit $30\ \text{N}$ entgegen.

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die der Musher verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit der Reibung.
3. c) Bestimmen Sie die Nettoarbeit am Schlitten.

Auf ein Werkstück einer Werkzeugmaschine wirkt eine konstante Kraft $\vec{F} = (15, -8)\ \text{N}$, während sich das Werkstück um $\vec{d} = (4, 2)\ \text{m}$ verschiebt, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Arbeit mithilfe des Skalarprodukts $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Zeigen Sie, dass die Komponente $F_y$ negative Arbeit verrichtet, und deuten Sie, was dieses Vorzeichen physikalisch bedeutet.

Ein Baukran senkt einen Träger von $500\ \text{kg}$ aus $8\ \text{m}$ Höhe mit konstanter Geschwindigkeit bis zum Boden ab (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die die Gewichtskraft beim Absenken verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die die Seilkraft verrichtet.
3. c) Wie groß ist die Nettoarbeit? Stellen Sie mithilfe des Arbeits-Energie-Satzes einen Zusammenhang zur konstanten Geschwindigkeit her.

Ein Pkw von $1200\ \text{kg}$ beschleunigt beim Auffahren auf die Autobahn aus der Ruhe auf $108\ \text{km/h}$.

1. a) Geben Sie die Endgeschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Berechnen Sie die Änderung der kinetischen Energie des Pkw.
3. c) Welche Nettoarbeit haben die auf das Auto wirkenden Kräfte verrichtet? Geben Sie sie in $\text{kJ}$ an.

Ein Auto von $1000\ \text{kg}$, das mit $20\ \text{m/s}$ fährt, bremst auf einem waagerechten Abschnitt auf einer Strecke von $50\ \text{m}$ bis zum Stillstand ab.

1. a) Berechnen Sie die Änderung der kinetischen Energie beim Bremsen.
2. b) Bestimmen Sie mit dem Arbeits-Energie-Satz die Arbeit der resultierenden Bremskraft.
3. c) Wie groß ist diese resultierende Bremskraft im Mittel? Geben Sie ihre Richtung an.

Ein Feuerwehrmann von $80\ \text{kg}$ steigt mit seiner Ausrüstung eine Feuerleiter vom Boden bis zu einer Terrasse hinauf, die $18\ \text{m}$ höher liegt (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die die Gewichtskraft beim Aufstieg verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die der Feuerwehrmann gegen die Gewichtskraft verrichtet.
3. c) Wie würde sich diese Arbeit ändern, wenn er statt der Leiter eine längere Rampe zur selben Terrasse hinaufgestiegen wäre? Begründen Sie.

Eine Kiste von $25\ \text{kg}$ startet aus der Ruhe auf dem waagerechten Boden einer Halle, auf dem die Gleitreibungszahl $\mu = 0,2$ beträgt. Sie wird über $12\ \text{m}$ mit einer konstanten waagerechten Kraft von $100\ \text{N}$ geschoben (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Gleitreibungskraft $F_{R} = \mu \cdot N$ und beachten Sie, dass auf waagerechtem Boden die Normalkraft $N = m \cdot g$ beträgt.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit jeder einzelnen Kraft (Schubkraft, Reibung, Gewichtskraft und Normalkraft) sowie die Nettoarbeit.
3. c) Wenden Sie den Arbeits-Energie-Satz an, um die Geschwindigkeit der Kiste am Ende der $12\ \text{m}$ zu bestimmen.

Ein Block von $10\ \text{kg}$ wird eine reibungsfreie schiefe Ebene $30^\circ$ hinaufgezogen, und zwar mit einer zur Ebene parallelen Kraft $\vec{F}$, sodass der Block mit konstanter Geschwindigkeit über $5\ \text{m}$ aufwärts gleitet ($\sin 30^\circ = 0,5$; verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $F$, damit die Geschwindigkeit konstant bleibt.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit jeder Kraft: der aufgebrachten Kraft, der Gewichtskraft und der Normalkraft.
3. c) Bestimmen Sie die Nettoarbeit und erklären Sie mit dem Arbeits-Energie-Satz, warum dieses Ergebnis zu erwarten war.

Ein Pkw von $1000\ \text{kg}$ fährt mit $20\ \text{m/s}$ auf einer waagerechten Straße und blockiert bei einer Notbremsung die Räder. Die Reibungszahl zwischen Reifen und Asphalt beträgt $\mu = 0,5$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Reibungskraft während des Bremsvorgangs.
2. b) Wenden Sie den Arbeits-Energie-Satz an, um den Weg zu berechnen, den das Fahrzeug bis zum Stillstand zurücklegt.
3. c) Begründen Sie anhand des erhaltenen Ausdrucks, was mit dem Bremsweg geschieht, wenn sich die Anfangsgeschwindigkeit verdoppelt: Verdoppelt er sich ebenfalls?

Auf einer Luftkissenbahn im Labor bewegt sich ein Puck der Masse $4\ \text{kg}$, der anfangs im Punkt $A(1|2)$ ruht, zum Punkt $B(9|5)$, während eine konstante Kraft $\vec{F} = (6, 8)\ \text{N}$ auf ihn wirkt (die Koordinaten sind in Metern angegeben), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Bestimmen Sie den Verschiebungsvektor $\vec{d} = \vec{AB}$.
2. b) Berechnen Sie die von der Kraft verrichtete Arbeit mithilfe des Skalarprodukts $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
3. c) Da die Reibung vernachlässigbar ist, ist diese Arbeit die Nettoarbeit: Wenden Sie den Arbeits-Energie-Satz an und berechnen Sie die Geschwindigkeit des Pucks bei der Ankunft in $B$.

Eine Seilbahnkabine mit Fahrgästen hat eine Gesamtmasse von $800\ \text{kg}$. Auf der Bergfahrt steigt sie von der Talstation auf $1200\ \text{m}$ Höhe bis zur Bergstation auf $1750\ \text{m}$. Danach fährt sie teilweise ab bis zu einer Mittelstation auf $1550\ \text{m}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die die Gewichtskraft während der Bergfahrt verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die die Gewichtskraft während der teilweisen Talfahrt verrichtet.
3. c) Berechnen Sie die Gesamtarbeit der Gewichtskraft auf der gesamten Strecke und prüfen Sie, dass sie nur vom Nettohöhenunterschied zwischen Start- und Zielpunkt abhängt. Welche Eigenschaft der Gravitationskraft zeigt dieses Ergebnis?

Ein Arbeiter zieht eine Kiste der Masse $25\ \text{kg}$ eine Rampe der Länge $20\ \text{m}$ hinauf, die mit der Horizontalen den Winkel $37^\circ$ bildet, mit einem Seil parallel zur Rampe und mit konstanter Geschwindigkeit ($\sin 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$; Reibungszahl $\mu = 0,25$; verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Normalkraft der Rampe und die Reibungskraft.
2. b) Berechnen Sie die Kraft, mit der der Arbeiter zieht.
3. c) Berechnen Sie die Arbeit jeder Kraft (Zugkraft, Gewichtskraft, Reibungskraft und Normalkraft) und prüfen Sie, dass die Nettoarbeit null ist. Warum musste das so sein?

Auf einer Eisbahn wird ein Puck der Masse $m$ mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 10\ \text{m/s}$ angestoßen und gleitet geradlinig, bis er durch die Reibung zum Stillstand kommt ($\mu = 0,25$; verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Schreiben Sie den Ausdruck für die Reibungsarbeit auf und leiten Sie mit dem Arbeits-Energie-Satz den Anhalteweg $d$ in Abhängigkeit von $v_0$, $\mu$ und $g$ her.
2. b) Berechnen Sie diesen Weg numerisch.
3. c) Begründen Sie anhand des erhaltenen Ausdrucks, ob der Anhalteweg von der Masse des Pucks abhängt. Welche praktische Bedeutung hat dieses Ergebnis für die Verkehrssicherheit?

Die Kabine eines Aufzugs mit Insassen hat eine Masse von $600\ \text{kg}$. Sie fährt aus der Ruhe los und steigt $12\ \text{m}$ mit einer konstanten Beschleunigung von $1,2\ \text{m/s}^2$ auf (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Kraft, die das Seil ausübt, mit dem zweiten newtonschen Gesetz: $T - m \cdot g = m \cdot a$.
2. b) Berechnen Sie die Arbeit, die das Seil, und die Arbeit, die die Gewichtskraft während dieser $12\ \text{m}$ verrichtet.
3. c) Bestimmen Sie die Nettoarbeit und mit dem Arbeits-Energie-Satz die Geschwindigkeit der Kabine nach den $12\ \text{m}$. Überprüfen Sie das Ergebnis mit der Kinematik: $v^2 = 2 \cdot a \cdot h$.