Aufgaben: Satelliten und Himmelskörper

Die Internationale Raumstation (ISS) umkreist die Erde in einer Höhe von $400\ \text{km}$ über der Erdoberfläche. Die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten auf einer Kreisbahn ist $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, Masse der Erde $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und Erdradius $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Die Skizze zeigt die Bahn der Station (nicht maßstäblich):

1. a) Geben Sie den Bahnradius $r = R_T + h$ in Metern an.
2. b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit der ISS in $\text{m/s}$ und geben Sie sie in $\text{km/s}$ an.

Der Mond, der natürliche Satellit der Erde, umkreist die Erde in einem mittleren Abstand der Mittelpunkte von $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ und $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie seine Bahngeschwindigkeit mit $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ in $\text{m/s}$.
2. b) Vergleichen Sie sie mit der Bahngeschwindigkeit der ISS, etwa $7,7\ \text{km/s}$: Welcher der beiden Körper bewegt sich schneller um die Erde und warum?

Die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten auf einer Kreisbahn ist $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Begründen Sie anhand des Ausdrucks, ob sich ein Satellit, der weiter vom Erdmittelpunkt entfernt ist, schneller oder langsamer bewegt als ein näherer.
2. b) Wenn der Bahnradius mit $4$ multipliziert wird, was geschieht dann mit der Bahngeschwindigkeit? Begründen Sie dies mit dem Ausdruck.

Ein Beobachtungssatellit beschreibt eine Kreisbahn mit dem Radius $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ und der Bahngeschwindigkeit $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Schreiben Sie den Ausdruck für die Periodendauer in Abhängigkeit vom Radius und von der Geschwindigkeit an, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer in Sekunden und geben Sie sie in Minuten an.

Die Kommunikationssatelliten von Hispasat sind geostationär.

1. a) Erklären Sie, was es bedeutet, dass ein Satellit geostationär ist.
2. b) Geben Sie die drei Bedingungen an, die seine Bahn erfüllen muss: Form, Ebene, in der sie liegt, und Periodendauer.
3. c) Begründen Sie, warum ein geostationärer Satellit nicht „still“ senkrecht über Spanien (Breite $40^\circ$) stehen kann, sondern nur über dem Äquator.

Auf einer erdnahen Bahn (sehr niedrig) entspricht der Bahnradius näherungsweise dem Erdradius, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit auf der erdnahen Bahn mit $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$ in $\text{km/s}$.
2. b) Zeigen Sie, dass sich mit $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ praktisch derselbe Wert ergibt, und erklären Sie mithilfe von $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, warum beide Ausdrücke übereinstimmen.

Der Mond umkreist die Erde in einem mittleren Abstand $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ mit einer Bahngeschwindigkeit von $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Berechnen Sie seine Umlaufdauer mit $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ in Sekunden.
2. b) Geben Sie sie in Tagen an und vergleichen Sie sie mit der Dauer eines Mondzyklus (etwa vier Wochen).

Satellitenschüsseln für das Fernsehen werden fest installiert und zeigen immer auf denselben Punkt am Himmel.

1. a) Erklären Sie anhand der Eigenschaften der geostationären Bahn, warum die Antenne dem Satelliten nicht nachgeführt werden muss.
2. b) Nennen Sie zwei Anwendungen geostationärer Satelliten und begründen Sie, welchen Vorteil es dabei hat, dass der Satellit unbeweglich erscheint.

Das Weltraumteleskop Hubble beschreibt eine Kreisbahn in $540\ \text{km}$ Höhe. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie seine Bahngeschwindigkeit, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Berechnen Sie seine Umlaufdauer, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, und geben Sie sie in Minuten an.

Die Internationale Raumstation benötigt für einen Umlauf $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Berechnen Sie, wie viele vollständige Umläufe sie an einem Tag um die Erde ausführt ($24\ \text{h}$).
2. b) Begründen Sie, wie viele Sonnenaufgänge und Sonnenuntergänge die Astronauten jeden Tag erleben.
3. c) Wenn die Station in größerer Höhe kreisen würde, würde sie dann mehr oder weniger Umläufe pro Tag ausführen? Begründen Sie Ihre Antwort mit dem dritten keplerschen Gesetz.

Ein geostationärer Satellit muss eine Periodendauer $T = 24\ \text{h}$ haben. Kombiniert man $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ mit $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, erhält man $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Betrachten Sie die Skizze (nicht maßstäblich):

1. a) Geben Sie die Periodendauer in Sekunden an.
2. b) Berechnen Sie $r^3$ und daraus durch Ziehen der dritten Wurzel den Radius der geostationären Bahn.
3. c) Berechnen Sie die Höhe über der Oberfläche, $h = r - R_T$, und geben Sie sie in $\text{km}$ an.

Die Satelliten des europäischen Navigationssystems Galileo haben eine Umlaufdauer von $14\ \text{h}$. Verwenden Sie $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ mit $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Geben Sie die Periodendauer in Sekunden an und berechnen Sie den Bahnradius.
2. b) Berechnen Sie die Höhe der Satelliten über der Erdoberfläche.
3. c) Berechnen Sie ihre Bahngeschwindigkeit, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

An der Erdoberfläche gilt $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, aber die Gravitationsfeldstärke nimmt mit der Höhe gemäß $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$ ab. Die ISS kreist mit $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ und $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $g$ auf der Bahn der ISS.
2. b) Geben Sie ihn als Prozentsatz des Wertes an der Oberfläche an.
3. c) Erklären Sie mit diesem Ergebnis, warum die Aussage, auf der ISS gebe es „keine Schwerkraft“, nicht korrekt ist, und was es bedeutet, dass sich die Station und ihre Besatzung im ständigen freien Fall befinden.

Phobos, der größte Mond des Mars, kreist in nur $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ Entfernung vom Mittelpunkt des Planeten. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ und Masse des Mars $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie seine Bahngeschwindigkeit, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Berechnen Sie seine Umlaufdauer, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, und geben Sie sie in Stunden an.
3. c) Der Mars rotiert in $24,6\ \text{h}$ um sich selbst, und zwar in demselben Drehsinn, in dem Phobos kreist. Begründen Sie, ob Phobos von der Marsoberfläche aus gesehen im Osten oder im Westen aufgeht.

Der spanische Erdbeobachtungssatellit PAZ beschreibt eine Kreisbahn in $514\ \text{km}$ Höhe. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie seine Bahngeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie seine Umlaufdauer und geben Sie sie in Minuten an.
3. c) Berechnen Sie, wie viele vollständige Erdumläufe er pro Tag ausführt.

Vergleichen Sie die Bahngeschwindigkeit der ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) mit der des Mondes ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) um die Erde.

1. a) Zeigen Sie ausgehend von $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, dass das Verhältnis der Geschwindigkeiten $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$ beträgt.
2. b) Berechnen Sie dieses Verhältnis mit den Daten der Aufgabe.
3. c) Erklären Sie mithilfe des Gravitationsgesetzes, warum weiter entfernte Körper langsamer kreisen.

Ein künstlicher Satellit beschreibt eine Kreisbahn mit dem Radius $r$ um die Erde mit der Masse $M_T$.

1. a) Begründen Sie, dass die einzige auf den Satelliten wirkende Kraft die Gravitationskraft ist und dass sie die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt; schreiben Sie die Gleichung $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ auf.
2. b) Leiten Sie daraus die Bahngeschwindigkeit, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, und die Umlaufdauer, $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$, her. Erläutern Sie, warum die Masse $m$ des Satelliten in den Ergebnissen nicht vorkommt.
3. c) Wenden Sie die Ausdrücke auf einen Wettersatelliten auf einer polaren Bahn in $850\ \text{km}$ Höhe an und berechnen Sie seine Geschwindigkeit und seine Umlaufdauer. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

Ein Telekommunikationsunternehmen will einen geostationären Satelliten über dem Äquator platzieren. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ und Rotationsdauer der Erde $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Leiten Sie ausgehend von $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ und $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ den Ausdruck $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ her.
2. b) Berechnen Sie den Bahnradius und die Höhe über der Oberfläche.
3. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Satelliten auf seiner Bahn und erklären Sie, warum er sich bei dieser Geschwindigkeit vom Boden aus gesehen unbewegt zeigt.

Bei den Apollo-Missionen blieb das Kommandomodul in einer kreisförmigen Mondumlaufbahn in $110\ \text{km}$ Höhe, während die Mondfähre zur Oberfläche abstieg. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, Masse des Mondes $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ und Mondradius $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Betrachten Sie die Skizze (nicht maßstäblich):

1. a) Berechnen Sie den Bahnradius des Kommandomoduls.
2. b) Berechnen Sie seine Bahngeschwindigkeit, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, und geben Sie sie in $\text{km/s}$ an.
3. c) Berechnen Sie seine Umlaufdauer in Stunden und schätzen Sie ab, wie viele vollständige Mondumläufe der an Bord gebliebene Astronaut pro Tag zurücklegte.

Für künftige bemannte Marsmissionen wird erwogen, „areostationäre“ Kommunikationssatelliten zu platzieren, also Satelliten, die relativ zur Marsoberfläche ruhen. Gegeben: Der Mars rotiert in $T = 24,6\ \text{h}$; Masse des Mars $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; Radius des Mars $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Begründen Sie, welche Umlaufdauer diese Satelliten haben müssen.
2. b) Berechnen Sie den Radius der areostationären Bahn mit $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Berechnen Sie ihre Höhe über der Marsoberfläche und vergleichen Sie sie mit den $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ der geostationären Erdbahn; erklären Sie, worauf der Unterschied beruht.

Angenommen, die Erde hätte nur die Hälfte ihrer heutigen Masse, behielte aber ihren Radius und ihre Rotationsdauer von $24\ \text{h}$. Gegeben: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; der heutige geostationäre Radius beträgt $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Begründen Sie ausgehend von $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, ob der Radius der geostationären Bahn größer, kleiner oder gleich dem heutigen wäre.
2. b) Berechnen Sie den neuen geostationären Radius, indem Sie berücksichtigen, dass $r^3$ proportional zu $M_T$ ist und der neue Radius somit $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$ beträgt.
3. c) Wäre die Periodendauer weiterhin $24\ \text{h}$? Würde sich die Bahngeschwindigkeit des Satelliten ändern? Begründen Sie beide Antworten.

Ein Schüler schreibt in einer Klausur: „Ein geostationärer Satellit ist in Ruhe, weil er sich relativ zum Erdboden nicht bewegt; deshalb braucht er keine Bahngeschwindigkeit und hat keine Beschleunigung.“

1. a) Benennen Sie die beiden Fehler in der Argumentation.
2. b) Berechnen Sie die tatsächliche Bahngeschwindigkeit eines geostationären Satelliten ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$) in $\text{km/s}$.
3. c) Berechnen Sie seine Zentripetalbeschleunigung, $a_c = \frac{v^2}{r}$, und geben Sie an, welche Kraft sie hervorruft.

Das dritte keplersche Gesetz gilt auch für künstliche Satelliten. Gegeben: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) und Mond ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ Tage). Die Skizze vergleicht beide Bahnen (nicht maßstäblich):

1. a) Geben Sie beide Periodendauern in Sekunden an und berechnen Sie den Quotienten $\frac{T^2}{r^3}$ für die ISS und für den Mond in SI-Einheiten.
2. b) Zeigen Sie, dass beide Quotienten (bis auf Rundungen) übereinstimmen, und erklären Sie, warum das so sein muss.
3. c) Verwenden Sie diesen gemeinsamen Wert, um die Umlaufdauer eines Satelliten mit $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ vorherzusagen, und geben Sie sie in Stunden an.

Satelliten-Internet-Konstellationen wie Starlink setzen Tausende Satelliten in $550\ \text{km}$ Höhe ein, während drei geostationäre Satelliten ausreichen, um fast den ganzen Planeten abzudecken. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Die Skizze vergleicht die beiden Bahnen (nicht maßstäblich):

1. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Umlaufdauer eines Starlink-Satelliten.
2. b) Berechnen Sie das Verhältnis seiner Umlaufdauer zu der eines geostationären Satelliten ($24\ \text{h}$) und begründen Sie mit dem dritten keplerschen Gesetz, warum niedrige Satelliten so schnell über einen Beobachter „hinwegziehen“.
3. c) Erklären Sie, warum eine niedrige Bahn eine Konstellation aus Tausenden Satelliten für eine lückenlose Abdeckung erfordert, während auf der geostationären Bahn drei genügen.

Herausforderung des Themas. Können wir die Bahnmechanik von zu Hause aus anhand realer Satelliten überprüfen? Deine Aufgabe ist es, einen wissenschaftlichen Bericht zu erstellen, der das 3. keplersche Gesetz anhand deiner eigenen Abschätzung der Fallbeschleunigung bestätigt.

1. Messung zu Hause: Baue ein Fadenpendel aus einem Faden und einer Schraubenmutter. Miss die Periodendauer $T$ für 4 verschiedene Längen ($L \pm 0,002\text{ m}$), indem du 10 Schwingungen stoppst (Unsicherheit $\pm 0,2\text{ s}$). Erstelle eine Tabelle der Daten, trage $T^2$ gegen $L$ auf und bestimme $g$ mit ihrer Unsicherheit, um die Erdmasse abzuschätzen: $M_T = g R_T^2 / G$ (mit $R_T \approx 6,37 \cdot 10^6\text{ m}$).

2. Recherche zu Satelliten: Suche auf der Website der ESA oder der NASA die Flughöhe und die Umlaufdauer von drei Satelliten auf Kreisbahnen: ISS, ein Galileo-Satellit und Meteosat. Addiere $R_T$ zur Flughöhe, um ihre Bahnradien $r$ zu berechnen.

3. Datenauswertung und Diagramm: Erstelle eine Tabelle mit $r^3$ und $T^2$ für die Satelliten. Trage das Diagramm $T^2$ gegen $r^3$ auf und vergleiche die erhaltene Steigung mit dem theoretischen Wert $\frac{4\pi^2}{G M_T}$, berechnet mit deinem experimentellen $g$.

4. Abschlussbericht: Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du die gefundenen Abweichungen begründest und erklärst, warum sich ein geostationärer Satellit in einer bestimmten Höhe befinden muss.

Bewertet werden:

• Sorgfalt bei den Messungen zu Hause und bei der experimentellen Behandlung von Unsicherheiten.

• Genauigkeit der Satellitendaten und der grafischen Darstellung des keplerschen Gesetzes.

• Physikalische Stimmigkeit in der kritischen Diskussion der Ergebnisse und der Fehlerquellen.