Aufgaben: Kinetische und potenzielle Energie

Die kinetische Energie berechnet sich als $E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$. Ein Handball-Torwart wirft den Ball der Masse $0,4\ \text{kg}$ mit $25\ \text{m/s}$. Berechne seine kinetische Energie.

Die potenzielle Energie im Gravitationsfeld berechnet sich als $E_p = m \cdot g \cdot h$. Ein Blumentopf der Masse $6\ \text{kg}$ steht auf dem Fensterbrett in $4\ \text{m}$ Höhe über dem Boden (verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$). Berechne seine potenzielle Energie bezogen auf den Boden.

Die Spannenergie einer Feder berechnet sich als $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, wobei $k$ die Federkonstante und $x$ die Auslenkung ist. Eine Feder mit $k = 300\ \text{N/m}$ wird um $0,1\ \text{m}$ gedehnt. Das Schema zeigt die Abbildung.

1. a) Berechne die Spannenergie, die sie speichert.
2. b) Wenn sie statt gedehnt um $0,1\ \text{m}$ zusammengedrückt wird, ist die gespeicherte Energie größer, kleiner oder gleich? Begründe, indem du darauf achtest, wie $x$ in der Formel vorkommt.

Gib an, welche mechanischen Energien jeder Körper hat (kinetische, potenzielle Energie im Gravitationsfeld oder Spannenergie; es können mehrere sein):

1. a) Ein gespannter Bogen mit eingelegtem Pfeil, bevor er losgelassen wird.
2. b) Ein Flugzeug im Reiseflug.
3. c) Ein Auto, das oben auf einem Gebirgspass parkt.
4. d) Die Feder einer frisch aufgezogenen Uhr.

Eine Lieferdrohne der Masse $2\ \text{kg}$ fliegt mit $3\ \text{m/s}$ in $30\ \text{m}$ Höhe (verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechne ihre kinetische Energie.
2. b) Berechne ihre potenzielle Energie.
3. c) Wie groß ist ihre mechanische Energie $E_m = E_c + E_p$?

Eine an der Decke hängende Glühbirne in $2,5\ \text{m}$ Höhe über dem Boden hat eine potenzielle Energie von $98\ \text{J}$ (verwende $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Stelle die Formel $E_p = m \cdot g \cdot h$ nach der Masse um und berechne sie.

Zwei identische Federn werden im Labor gedehnt: die erste um $5\ \text{cm}$ und die zweite um $10\ \text{cm}$. Begründe ohne numerische Rechnung mit der Formel $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, welche mehr Spannenergie speichert und wie viel mal so viel.

Ein Motorrad mit Fahrer hat zusammen eine Masse von $250\ \text{kg}$ und fährt mit $72\ \text{km/h}$.

1. a) Gib die Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Berechne seine kinetische Energie.

Ein Golfball der Masse $0,045\ \text{kg}$ verlässt das Tee mit einer kinetischen Energie von $81\ \text{J}$. Stelle die Formel $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ nach der Geschwindigkeit um und berechne, mit welcher Geschwindigkeit er abfliegt.

Eine Person auf einem E-Scooter fährt mit $10\ \text{m/s}$, und ihre kinetische Energie beträgt $3600\ \text{J}$. Stelle die Formel der kinetischen Energie nach der Masse um und berechne die Gesamtmasse von Person und Scooter.

Ein Bewässerungstank enthält $200\ \text{kg}$ Wasser, und seine potenzielle Energie bezogen auf den Boden beträgt $5880\ \text{J}$ (verwende $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Stelle die Formel $E_p = m \cdot g \cdot h$ nach der Höhe um und berechne, in welcher Höhe sich das Wasser befindet.
2. b) Wenn der Tank zur Hälfte geleert wird, wie groß ist dann die potenzielle Energie des restlichen Wassers?

Die Feder eines Spielzeug-Stoßdämpfers wird um $0,15\ \text{m}$ zusammengedrückt und speichert eine Spannenergie von $2,25\ \text{J}$.

1. a) Stelle die Formel $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ nach der Federkonstante um und berechne sie.
2. b) Welche Energie würde sie speichern, wenn sie um $0,3\ \text{m}$ zusammengedrückt würde?

Berechne die kinetische Energie jedes Fahrzeugs:

1. a) Ein Pkw mit $1200\ \text{kg}$, der mit $30\ \text{m/s}$ fährt.
2. b) Ein Lkw mit $9000\ \text{kg}$, der mit $12\ \text{m/s}$ fährt.

Welches hat mehr kinetische Energie? Erläutere, was im Ergebnis stärker ins Gewicht fällt: die Masse oder die Geschwindigkeit.

Eine Lieferdrohne der Masse $3\ \text{kg}$ sinkt von $50\ \text{m}$ auf $20\ \text{m}$ Höhe und behält dabei eine konstante Geschwindigkeit von $8\ \text{m/s}$ bei (verwende $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Situation zeigt die Abbildung.

1. a) Berechne ihre kinetische Energie: Ändert sie sich beim Sinkflug?
2. b) Berechne die potenzielle Energie, die sie verliert.
3. c) Wie ändert sich ihre mechanische Energie? Erkläre, was mit dieser Energie geschehen ist.

Eine Feder mit der Federkonstante $k = 300\ \text{N/m}$ wird im Labor schrittweise gedehnt.

1. a) Berechne die Spannenergie für $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Berechne die Energie für $x = 0,2\ \text{m}$.
3. c) Wie viel mal so groß ist die zweite wie die erste? Erkläre das Ergebnis anhand der Formel und sage ohne Taschenrechner die Energie für $x = 0,4\ \text{m}$ voraus.

Ein Hochgeschwindigkeitszug der Masse $400\ \text{t}$ fährt mit $180\ \text{km/h}$.

1. a) Gib seine Masse in Kilogramm in wissenschaftlicher Schreibweise und seine Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Berechne seine kinetische Energie und gib sie in wissenschaftlicher Schreibweise an.
3. c) Berechne die kinetische Energie, die er bei $90\ \text{km/h}$ hätte, und bestimme, in welchem Verhältnis sie zur vorherigen steht.

Ein Auto der Masse $900\ \text{kg}$ fährt zuerst mit $10\ \text{m/s}$ und danach mit $30\ \text{m/s}$.

1. a) Berechne seine kinetische Energie in jedem Fall.
2. b) Wie viel mal so groß ist die zweite wie die erste? Bringe diesen Faktor mit dem Faktor in Zusammenhang, um den die Geschwindigkeit vervielfacht wurde.
3. c) Sage mithilfe der Proportionalität die kinetische Energie bei $40\ \text{m/s}$ voraus und überprüfe sie mit der Formel.
4. d) Ziehe aus der Tatsache, dass die kinetische Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst, eine Folgerung für die Verkehrssicherheit.

Ein Radfahrer und sein Fahrrad haben zusammen eine Masse von $80\ \text{kg}$ und fahren einen Pass mit $15\ \text{m/s}$ hinunter.

1. a) Berechne seine kinetische Energie.
2. b) Eine Skaterin der Masse $45\ \text{kg}$ hat genau dieselbe kinetische Energie: Stelle nach der Geschwindigkeit um und berechne, wie schnell sie fährt.
3. c) Das Massenverhältnis ist $80/45 = 16/9$. Erkläre mithilfe der Formel der kinetischen Energie, warum das Geschwindigkeitsverhältnis die Wurzel aus dem umgekehrten Massenverhältnis ist, also $4/3$.

Du möchtest im Labor überprüfen, dass die Spannenergie einer Feder proportional zum Quadrat der Verformung ist. Dafür stehen dir eine Feder mit $k = 200\ \text{N/m}$, ein Lineal und ein Satz Wägestücke zur Verfügung.

1. a) Erkläre, was du messen würdest und wie du in jeder Messung die gespeicherte Energie erhältst.
2. b) Sage die Ergebnisse voraus: Berechne die potenzielle Energie für Verformungen von $0,05\ \text{m}$, $0,10\ \text{m}$ und $0,15\ \text{m}$.
3. c) Welche Form hätte der Graph, wenn du die Energie gegen die Verformung $x$ auftragen würdest? Und wenn du sie gegen $x^2$ auftragen würdest? Begründe.

Dein Mitschüler berechnet die Spannenergie einer Feder mit $k = 500\ \text{N/m}$, die um $0,2\ \text{m}$ zusammengedrückt ist, und erhält $20\ \text{J}$, weil er den Ausdruck $E_p = k \cdot x^2$ verwendet hat. Die Abbildung zeigt, wie die erforderliche Kraft beim Zusammendrücken der Feder zunimmt.

1. a) Welchen Fehler hat er gemacht?
2. b) Berechne du die Spannenergie korrekt.
3. c) Der Faktor $\frac{1}{2}$ tritt auf, weil beim Dehnen oder Zusammendrücken der Feder die erforderliche Kraft von $0$ bis $k \cdot x$ zunimmt und die verrichtete Arbeit mit der mittleren Kraft berechnet wird. Berechne die mittlere Kraft in diesem Fall und überprüfe, dass mittlere Kraft mal Verformung das richtige Ergebnis liefert.

Ein Buch mit $0,5\ \text{kg}$ liegt auf einem Tisch von $80\ \text{cm}$ Höhe, in einem Klassenraum im zweiten Stock, der $8\ \text{m}$ über der Straße liegt (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt die drei Ebenen.

1. a) Berechne seine potenzielle Energie, wenn die Tischoberfläche als Nullniveau gewählt wird.
2. b) Berechne sie, wenn der Boden des Klassenraums als Nullniveau gewählt wird.
3. c) Berechne sie, wenn die Straße als Nullniveau gewählt wird.
4. d) Erkläre, was es bedeutet, ein Bezugsniveau zu wählen, und begründe, warum bei Aufgaben zur Energieerhaltung das Ergebnis nicht vom gewählten Nullniveau abhängt (überlege, welche Größe tatsächlich auftritt: die Höhe oder die Höhendifferenz).

Eine Feder mit $k = 800\ \text{N/m}$ speichert $16\ \text{J}$ Spannenergie.

1. a) Löse die Formel $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ nach der Verformung auf und berechne sie.
2. b) Welche Kraft übt die Feder in dieser Situation aus? Verwende das hookesche Gesetz $F = k \cdot x$.
3. c) Welche mittlere Kraft musste aufgebracht werden, um die Feder aus der Ruhelage bis zu dieser Verformung zu bringen? Überprüfe, dass die Arbeit dieser mittleren Kraft mit der gespeicherten Energie übereinstimmt.

Berechne die mechanischen Energien dieser beiden Fahrzeuge und vergleiche sie (nimm $g = 9,8\ \text{m/s}^2$):

1. a) Ein Verkehrsflugzeug mit $80000\ \text{kg}$ fliegt in $10000\ \text{m}$ Höhe mit $250\ \text{m/s}$: Berechne seine kinetische Energie, seine potenzielle Energie und seine mechanische Energie in wissenschaftlicher Schreibweise.
2. b) Ein Formel-1-Rennwagen mit $800\ \text{kg}$ fährt mit $80\ \text{m/s}$ auf einer Rennstrecke auf Meereshöhe: Berechne seine kinetische Energie und erkläre, warum seine potenzielle Energie als null angenommen werden kann.
3. c) Kommentiere, welcher Term der mechanischen Energie in jedem Fall überwiegt und woran das liegt.

Eine Forschungsrakete mit $500\ \text{kg}$ steigt beschleunigt auf. In $1000\ \text{m}$ Höhe hat sie eine Geschwindigkeit von $100\ \text{m/s}$, und einige Sekunden später passiert sie $3000\ \text{m}$ Höhe mit $200\ \text{m/s}$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt die beiden Punkte des Aufstiegs.

1. a) Berechne ihre mechanische Energie im ersten Punkt.
2. b) Berechne ihre mechanische Energie im zweiten Punkt.
3. c) Um wie viel hat ihre mechanische Energie zugenommen? Woher stammt diese Energie?
4. d) Bleibt die mechanische Energie während des Aufstiegs der Rakete erhalten? Begründe.