Aufgaben: Energieerhaltung in konservativen und nicht konservativen Systemen

Eine Schaukel schwingt nach einem anfänglichen Anstoß frei, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) An welchen Punkten der Bahn ist die potenzielle Energie maximal? Und an welchen die kinetische Energie?
2. b) Beschreibe die Energieumwandlung, die beim Herabschwingen von einem Umkehrpunkt zum tiefsten Punkt stattfindet.
3. c) Wenn niemand wieder anschiebt, nimmt die Amplitude allmählich ab: Welche Kräfte sind dafür verantwortlich und was geschieht mit der mechanischen Energie?

Ein Stein mit $2\ \text{kg}$ fällt von einer Klippe mit $20\ \text{m}$ Höhe (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Luftreibung). Die Situation zeigt die Abbildung.

1. a) Welche potenzielle Energie hat er zu Beginn des Falls?
2. b) Wenn die mechanische Energie erhalten bleibt, welche kinetische Energie hat er unten?
3. c) Mit welcher Geschwindigkeit kommt er unten an?

Gib an, in welchen dieser Situationen die mechanische Energie erhalten bleibt und in welchen nicht, und begründe jeweils in einem Satz:

1. a) Ein Satellit auf einer Kreisbahn um die Erde.
2. b) Ein Auto, das bis zum Stillstand abrupt bremst.
3. c) Ein Apfel, der sich vom Ast löst und fällt (vernachlässige die Reibung).
4. d) Ein Aufzug, der mit konstanter Geschwindigkeit nach oben fährt.

Du wirfst eine Kugel mit $0,5\ \text{kg}$ senkrecht nach oben mit einer Geschwindigkeit von $10\ \text{m/s}$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung), wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Welche kinetische Energie hat sie beim Verlassen deiner Hand?
2. b) Stelle die Erhaltung der mechanischen Energie zwischen dem Abwurfpunkt und dem höchsten Punkt (an dem die Geschwindigkeit null ist) auf und berechne die maximale Höhe, die sie erreicht.

Bei allen Achterbahnen ist der erste Hügel der Strecke der höchste der gesamten Anlage. Betrachte die Skizze:

Erkläre mithilfe der Erhaltung der mechanischen Energie, warum kein späterer Hügel die Höhe des ersten übersteigen kann, wenn der Wagen dort nahezu aus der Ruhe startet, und welche Rolle die Reibung bei diesem Schluss spielt.

Ein Springstock (Pogostick) hat eine Feder, die bei der Landung zusammengedrückt und beim Absprung entspannt wird.

1. a) Beschreibe die Kette der Energieumwandlungen bei einem vollständigen Sprung, vom maximal zusammengedrückten Zustand der Feder bis zum Erreichen der maximalen Höhe.
2. b) Bleibt die mechanische Energie erhalten, solange die Feder drückt? Und während des Flugs? Begründe beide Antworten.

Ein Skifahrer fährt ohne Anschieben von einem Gipfel zur Talstation eine Piste hinab (vernachlässige die Reibung), wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) An welchem Punkt der Abfahrt ist seine Geschwindigkeit maximal? Wo ist seine potenzielle Energie maximal?
2. b) Ändert sich seine mechanische Energie während der Abfahrt?
3. c) Wenn eine andere Piste mit völlig anderem Profil denselben Gipfel mit derselben Talstation verbinden würde, käme er unten mit größerer, kleinerer oder gleicher Geschwindigkeit an? Begründe mit der Energieerhaltung.

Erkläre mit eigenen Worten, was eine konservative Kraft ist, und nenne als Beispiele die Gewichtskraft und die Federkraft einer Feder. Erkläre auch, was mit der mechanischen Energie eines Systems geschieht, wenn nur Kräfte dieser Art wirken. Nenne anschließend ein Beispiel für eine nicht konservative Kraft, gib das Vorzeichen der Arbeit an, die sie an einem bewegten Körper verrichtet, und erkläre ihre Wirkung auf die mechanische Energie des Körpers.

Ein Achterbahnwagen passiert den höchsten Hügel der Strecke in $40\ \text{m}$ Höhe mit einer Geschwindigkeit von $5\ \text{m/s}$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung). Die Situation zeigt die Abbildung.

1. a) Berechne seine mechanische Energie pro Kilogramm Masse.
2. b) Mit welcher Geschwindigkeit passiert er einen Punkt in $10\ \text{m}$ Höhe?
3. c) Muss man die Masse des Wagens kennen, um zu antworten? Begründe anhand der Erhaltungsgleichung.

Im Labor wird die Kugel eines Pendels mit $0,1\ \text{kg}$ aus der Ruhe in einer Position losgelassen, die $45\ \text{cm}$ höher liegt als der tiefste Punkt der Schwingung (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung), wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne ihre anfängliche potenzielle Energie bezogen auf den tiefsten Punkt.
2. b) Stelle die Energieerhaltung auf und berechne, mit welcher Geschwindigkeit sie den tiefsten Punkt passiert.
3. c) Welche Höhe erreicht sie auf der anderen Seite der Schwingung? Begründe, ohne erneut zu rechnen.

Ein Paket mit $2\ \text{kg}$ rutscht eine Metallrampe aus $5\ \text{m}$ Höhe hinunter und kommt unten mit einer Geschwindigkeit von $8\ \text{m/s}$ an (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Skizze zeigt die Abbildung.

1. a) Welche potenzielle Energie hatte es oben?
2. b) Welche kinetische Energie hat es unten?
3. c) Ist die mechanische Energie erhalten geblieben? Berechne die dissipierte Energie, die betragsmäßig mit der Arbeit der Reibungskraft übereinstimmt, $W_{R} = \Delta E_m$.
4. d) Wenn die Rampe $10\ \text{m}$ lang ist, berechne die mittlere Reibungskraft, die auf das Paket gewirkt hat.

Eine Feder mit $k = 200\ \text{N/m}$, die um $0,1\ \text{m}$ zusammengedrückt ist, stößt auf einem waagerechten, reibungsfreien Tisch einen ruhenden Block mit $0,5\ \text{kg}$ an. Die Skizze zeigt die Abbildung.

1. a) Welche Spannenergie hat die zusammengedrückte Feder?
2. b) Stelle die Energieerhaltung zwischen der zusammengedrückten Feder und dem bereits von der Feder gelösten Block auf und berechne die Geschwindigkeit, mit der er davongeschleudert wird.
3. c) Erkläre, welche Kräfte in jedem Moment auf den Block wirken und warum die mechanische Energie erhalten bleibt.

Ein Laborwagen fährt am Fuß einer gekrümmten Bahn mit einer Geschwindigkeit von $4\ \text{m/s}$ ein und rollt ohne Antrieb hinauf (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung).

1. a) Welche maximale Höhe erreicht er?
2. b) Würde er bei doppelter Einfahrgeschwindigkeit $8\ \text{m/s}$ doppelt so hoch kommen? Berechne es und kommentiere das Ergebnis.
3. c) Gib die Proportionalität zwischen der erreichten Höhe und der Einfahrgeschwindigkeit an.

Eine Kiste mit $4\ \text{kg}$ gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $6\ \text{m/s}$ über einen waagerechten Boden und kommt durch die Reibung zum Stillstand. Die Reibungszahl beträgt $\mu = 0,3$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Welche kinetische Energie hatte sie zu Beginn des Gleitens?
2. b) Berechne die Reibungskraft $F_{R} = \mu \cdot m \cdot g$.
3. c) Die Reibungsarbeit zehrt die gesamte kinetische Energie auf: Berechne die Strecke, die sie bis zum Stillstand zurücklegt.

Ein Ball mit $0,1\ \text{kg}$ wird aus $2\ \text{m}$ Höhe fallen gelassen und springt nach dem Aufprall auf dem Boden nur bis $1,5\ \text{m}$ hoch (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne seine potenzielle Energie vor dem Fall und im höchsten Punkt nach dem Aufprall.
2. b) Wie viel Energie ist beim Aufprall verloren gegangen? Welchen Prozentsatz der Anfangsenergie macht das aus?
3. c) In was hat sich diese Energie umgewandelt?
4. d) Wenn der Ball weiter auf dieselbe Weise springen würde, was geschähe auf lange Sicht mit seiner mechanischen Energie?

Die Kugel eines Pendels mit $0,2\ \text{kg}$ passiert den tiefsten Punkt mit einer Geschwindigkeit von $4\ \text{m/s}$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Welche kinetische Energie hat sie an diesem Punkt?
2. b) Welche maximale Höhe würde sie auf der anderen Seite erreichen, wenn es keine Reibung gäbe?
3. c) In Wirklichkeit steigt sie nur um $0,6\ \text{m}$: Berechne die in dieser halben Schwingung dissipierte Energie, $W_{R} = \Delta E_m$.
4. d) Erkläre anhand dieser Zahlen, warum das Pendel schließlich zum Stillstand kommt und in was sich seine Energie umgewandelt hat.

Ein Achterbahnwagen startet aus der Ruhe auf einem Hügel von $45\ \text{m}$ Höhe, fährt in ein Tal in $25\ \text{m}$ Höhe und nimmt dann einen zweiten Hügel von $40\ \text{m}$ Höhe (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung). Das Streckenprofil zeigt die Abbildung.

1. a) Mit welcher Geschwindigkeit passiert er das Tal?
2. b) Mit welcher Geschwindigkeit passiert er den zweiten Hügel?
3. c) Wenn es einen dritten Hügel von $50\ \text{m}$ Höhe gäbe, würde er ihn überwinden? Begründe mit Energien und gib an, aus welcher Mindesthöhe er starten müsste, um es zu schaffen (im Grenzfall mit der Geschwindigkeit null ankommend).
4. d) Berücksichtige, dass es in der Realität immer Reibung gibt, und begründe, ob die Starthöhe größer oder kleiner sein müsste als die im vorigen Aufgabenteil berechnete.

Eine Feder mit $k = 500\ \text{N/m}$, die um $0,2\ \text{m}$ zusammengedrückt ist, schleudert einen Block mit $1\ \text{kg}$ über einen waagerechten Boden mit der Reibungszahl $\mu = 0,25$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$). Der Block legt eine gewisse Strecke zurück und bleibt stehen.

1. a) Berechne die anfängliche Spannenergie der Feder.
2. b) Berechne die Reibungskraft, die auf den Block wirkt, sobald er sich bewegt.
3. c) Begründe, warum die gesamte Spannenergie am Ende dissipiert wird, und berechne die Strecke, die der Block bis zum Stillstand zurücklegt.
4. d) Wenn die Feder um $0,4\ \text{m}$ (doppelt so viel) zusammengedrückt würde, welche Strecke würde er zurücklegen? Kommentiere den Zusammenhang, den du findest.

Ein Paket mit $2\ \text{kg}$ löst sich von einer Lieferdrohne, die in $45\ \text{m}$ Höhe still in der Luft steht (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Luftreibung).

1. a) Wie groß ist seine mechanische Energie zu Beginn des Falls?
2. b) Wenn es $25\ \text{m}$ Höhe passiert, wie viel potenzielle und wie viel kinetische Energie hat es? Mit welcher Geschwindigkeit passiert es diese Stelle?
3. c) Mit welcher Geschwindigkeit trifft es auf dem Boden auf?
4. d) Hängen die berechneten Geschwindigkeiten von der Masse des Pakets ab? Begründe anhand der Erhaltungsgleichung.

Ein Auto mit $1200\ \text{kg}$ bremst auf trockenem Asphalt bis zum Stillstand, mit der Reibungszahl $\mu = 0,6$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechne die Reibungskraft während des Bremsvorgangs.
2. b) Wenn es mit $30\ \text{m/s}$ fuhr, berechne seine kinetische Energie und den Bremsweg (die Reibungsarbeit zehrt die gesamte kinetische Energie auf).
3. c) Wiederhole die Rechnung für eine Anfangsgeschwindigkeit von $15\ \text{m/s}$.
4. d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Bremswegen? Erkläre, welche Folgen dieses Ergebnis für die Geschwindigkeitsbegrenzungen in Städten hat.

Ein Block mit $2\ \text{kg}$ rutscht aus der Ruhe eine schiefe Ebene von $3\ \text{m}$ Höhe hinunter. Der Neigungswinkel der Ebene erfüllt $\sin \theta = 0,6$ und $\cos \theta = 0,8$, und die Reibungszahl beträgt $\mu = 0,3$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Skizze zeigt die Abbildung.

1. a) Berechne die Länge der Ebene, die der Block zurücklegt, und die Normalkraft auf ihn, $N = m \cdot g \cdot \cos \theta$.
2. b) Berechne die Reibungskraft und ihre Arbeit, $W_{R} = -F_{R} \cdot L$.
3. c) Wende $W_{R} = \Delta E_m$ an, um die kinetische Energie des Blocks unten und seine Geschwindigkeit zu berechnen.
4. d) Welcher Prozentsatz der anfänglichen potenziellen Energie wurde durch Reibung dissipiert?

Ein Achterbahnwagen startet aus der Ruhe auf einem Hügel von $45\ \text{m}$ und fährt in einen Looping mit $12,5\ \text{m}$ Radius, dessen höchster Punkt somit $25\ \text{m}$ über dem Boden liegt (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung). Die Skizze zeigt die Abbildung.

1. a) Mit welcher Geschwindigkeit passiert er den tiefsten Punkt der Strecke?
2. b) Mit welcher Geschwindigkeit passiert er den höchsten Punkt des Loopings?
3. c) Aus Sicherheitsgründen muss die Geschwindigkeit im höchsten Punkt des Loopings mindestens $15\ \text{m/s}$ betragen (gegeben). Wird sie vom Wagen überschritten? Berechne, aus welcher Mindesthöhe der Wagen starten könnte, um genau diese Anforderung zu erfüllen.
4. d) Begründe, warum der Starthügel beim realen Entwurf deutlich höher liegt als diese theoretische Mindesthöhe.

Eine Masse von $1\ \text{kg}$ hängt an einer senkrechten Feder mit $k = 100\ \text{N/m}$. Sie wird aus der Ruhe an dem Punkt losgelassen, an dem die Feder ungedehnt ist, und fällt, wobei sie die Feder dehnt (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$ und vernachlässige die Reibung). Die Skizze zeigt die Abbildung.

1. a) Erkläre, warum ihre kinetische Energie sowohl beim Loslassen als auch im tiefsten Punkt des Falls null ist, und stelle die Energieerhaltung zwischen diesen beiden Punkten auf: $m \cdot g \cdot x = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$, wobei $x$ die maximale Dehnung ist.
2. b) Berechne die maximale Dehnung $x$.
3. c) Die statische Gleichgewichtslage (in der die hängende Masse in Ruhe bliebe) erfüllt $k \cdot x_e = m \cdot g$: Berechne sie und vergleiche mit $x$. Erkläre den auftretenden Faktor $2$: Wo steckt die „überschüssige Energie“, wenn die Masse die Gleichgewichtslage passiert?

Eine Person samt Ausrüstung, insgesamt $80\ \text{kg}$, startet auf einer Seilrutsche mit $100\ \text{m}$ Seillänge, die einen Höhenunterschied von $45\ \text{m}$ überwindet. Die mittlere Reibung (Rolle, Luft) beträgt $200\ \text{N}$ (nimm $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Skizze zeigt die Abbildung.

1. a) Welche potenzielle Energie hat sie zu Beginn der Fahrt?
2. b) Berechne die Reibungsarbeit während der gesamten Abfahrt, $W_{R} = -F_{R} \cdot d$.
3. c) Berechne die kinetische Energie und die Geschwindigkeit, mit der sie am Ende des Seils ankommt.
4. d) Mit welcher Geschwindigkeit käme sie an, wenn es keine Reibung gäbe? Kommentiere das Ergebnis und erkläre, warum Seilrutschen am Ziel ein Bremssystem benötigen.

Themenchallenge. Wie viel mechanische Energie geht bei einem Aufprall verloren? Untersuche experimentell die Energieentwertung bei dir zu Hause.

1. Datenerfassung: Wiege einen Ball auf einer Küchenwaage ($\pm 1\text{ g}$) und lasse ihn senkrecht aus vier Höhen fallen ($h_1$: $0,40$; $0,60$; $0,80$; $1,00\text{ m}$). Miss mit einem Maßband ($\pm 0,005\text{ m}$) die maximale Rückprallhöhe ($h_2$). Filme vor einer Referenzwand und wiederhole jede Höhe $3$-mal, um den Mittelwert und seine Unsicherheit zu berechnen.

2. Datenauswertung: Erstelle eine Tabelle mit der anfänglichen potenziellen Energie ($E_{p1} = m \cdot g \cdot h_1$), der End-Energie ($E_{p2} = m \cdot g \cdot h_2$, mit $g = 9,8\text{ m/s}^2$) und der durch nicht konservative Kräfte dissipierten Arbeit ($W_{nc} = \Delta E_m$). Trage $E_{p2}$ gegen $E_{p1}$ grafisch auf und lege die Ausgleichsgerade an.

3. Ergebnisbericht: Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du die Umwandlung von potenzieller in kinetische Energie, die Wirkung der inelastischen Verformung beim Stoß und den mittleren Prozentsatz der in Schall und Wärme entwerteten Energie begründest.

Bewertet werden:

• Messtechnische Sorgfalt bei der Datenerfassung zu Hause und bei der Behandlung von Unsicherheiten.

• Rechnerische Richtigkeit in der Tabelle und im Streudiagramm mit seiner Trendlinie.

• Qualität der theoretischen Begründung zur Erhaltung der mechanischen Energie und die Berechnung von $W_{nc}$.