Aufgaben: Die Gesetze der Dynamik

Ein ICE fährt auf einem geraden Abschnitt mit der konstanten Geschwindigkeit $300\ \text{km/h}$.

1. a) Wie groß ist die Beschleunigung des Zuges auf diesem Abschnitt?
2. b) Wie groß ist nach dem Trägheitsgesetz die resultierende Kraft, die auf den Zug wirkt?
3. c) Wenn die Schubkraft der Motoren $5 \cdot 10^{4}\ \text{N}$ beträgt, wie groß ist dann die gesamte Reibungskraft, die der Vorwärtsbewegung entgegenwirkt? Begründen Sie.

Im Labor wirkt eine resultierende Kraft von $24\ \text{N}$ auf einen Experimentierwagen von $3\ \text{kg}$, der sich auf einer waagerechten Schiene bewegt.

1. a) Schreiben Sie den Ausdruck für das Grundgesetz der Mechanik, $\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a}$, auf und lösen Sie nach der Beschleunigung auf.
2. b) Berechnen Sie den Wert der Beschleunigung des Wagens.

Ein Arbeiter stellt einen Container von $10\ \text{kg}$ auf eine Laderampe, die mit der Waagerechten den Winkel $30^\circ$ bildet (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 30^\circ = 0,5$ und $\cos 30^\circ \approx 0,87$). Die Abbildung zeigt den Container auf der Rampe.

1. a) Berechnen Sie die Gewichtskraft des Containers.
2. b) Berechnen Sie die zur Rampe parallele Komponente der Gewichtskraft, $P_x = P \cdot \sin 30^\circ$.
3. c) Berechnen Sie die senkrechte Komponente, $P_y = P \cdot \cos 30^\circ$, und geben Sie an, welche Kraft der Ebene sie ausgleicht.

Eine Kiste von $5\ \text{kg}$ steht auf dem waagerechten Boden einer Werkstatt. Der Reibungskoeffizient zwischen Kiste und Boden beträgt $\mu = 0,4$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Normalkraft, die der Boden auf die Kiste ausübt.
2. b) Berechnen Sie die Reibungskraft, wenn die Kiste gleitet, $F_r = \mu \cdot N$.
3. c) Wird die Kiste mit einer waagerechten Kraft von $20\ \text{N}$ geschoben, bewegt sie sich dann mit konstanter Geschwindigkeit? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Schläger trifft einen Baseball und übt dabei eine Kraft von $200\ \text{N}$ nach vorn auf ihn aus. Die Skizze zeigt den Moment des Schlags.

1. a) Formulieren Sie das Wechselwirkungsgesetz.
2. b) Welche Kraft übt der Ball auf den Schläger aus? Geben Sie Betrag, Richtung und Richtungssinn an.
3. c) Erklären Sie, warum der Ball davonfliegt und der Schläger seine Bewegung kaum ändert, obwohl beide Kräfte den gleichen Betrag haben.

Eine Lampe von $4\ \text{kg}$ hängt in Ruhe an einem an der Decke befestigten Kabel (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt die am Kabel hängende Lampe.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte, die auf die Lampe wirken, und geben Sie an, welcher Körper jede davon ausübt.
2. b) Berechnen Sie die Seilkraft des Kabels.
3. c) Wenn das Kabel nur eine maximale Zugkraft von $100\ \text{N}$ aushält, welche maximale Masse darf die aufgehängte Lampe dann haben?

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Der Motor eines E-Scooters übt eine resultierende Kraft von $40\ \text{N}$ aus. Die Skizze vergleicht die beiden Situationen.

1. a) Berechnen Sie die Beschleunigung, wenn der Scooter mit einer Masse von $20\ \text{kg}$ allein fährt.
2. b) Berechnen Sie die Beschleunigung, wenn er einen Rucksack transportiert und die Gesamtmasse $40\ \text{kg}$ beträgt.
3. c) Erklären Sie anhand von $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$, warum sich die Beschleunigung bei doppelter Masse halbiert.

Auf eine Kiste von $4\ \text{kg}$ an der Laderampe wirken zwei waagerechte Kräfte auf derselben Wirkungslinie: $30\ \text{N}$ nach rechts und $18\ \text{N}$ nach links. Die Abbildung zeigt die Kiste mit beiden Kräften.

1. a) Berechnen Sie die resultierende Kraft auf die Kiste und geben Sie ihre Richtung an.
2. b) Berechnen Sie die Beschleunigung der Kiste.
3. c) Welche zusätzliche Kraft müsste aufgebracht werden, damit sich die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit bewegt? Begründen Sie mit dem Trägheitsgesetz.

Ein Arbeiter schiebt einen Werkstattwagen von $8\ \text{kg}$ mit einer waagerechten Kraft von $52\ \text{N}$. Der Reibungskoeffizient mit dem Boden beträgt $\mu = 0,5$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt die Kräfte, die auf den Wagen wirken.

1. a) Berechnen Sie die Normalkraft und die Reibungskraft.
2. b) Berechnen Sie die resultierende waagerechte Kraft auf den Wagen.
3. c) Berechnen Sie seine Beschleunigung.

Bei einem Laborexperiment wird ein Wagen von $2\ \text{kg}$ eine um $30^\circ$ geneigte Ebene hinabgelassen, wobei die Reibung vernachlässigbar ist (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 30^\circ = 0,5$ und $\cos 30^\circ \approx 0,87$).

1. a) Berechnen Sie die Komponenten der Gewichtskraft parallel und senkrecht zur Ebene.
2. b) Berechnen Sie die Beschleunigung des Wagens.
3. c) Wenn er aus der Ruhe startet, berechnen Sie die Zeit, die er für $10\ \text{m}$ auf der Ebene benötigt, und seine Geschwindigkeit am Ende (verwenden Sie $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ und $v = a \cdot t$).

Ein Rettungsschlitten von $40\ \text{kg}$ gleitet einen verschneiten Hang von $37^\circ$ mit einem Reibungskoeffizienten $\mu = 0,5$ hinab (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$). Die Abbildung zeigt den Schlitten am Hang mit den Kräften, die auf ihn wirken.

1. a) Berechnen Sie die zum Hang parallele Komponente der Gewichtskraft.
2. b) Berechnen Sie die Normalkraft und die Reibungskraft.
3. c) Berechnen Sie die Beschleunigung des Schlittens und überprüfen Sie, dass sie nicht von seiner Masse abhängt: Würde ein beladener Schlitten mit derselben Beschleunigung hinabgleiten wie ein leerer? Begründen Sie.

Um einen Gartenwagen von $10\ \text{kg}$ zu ziehen, wird mit einer Kraft von $100\ \text{N}$ an einem Seil gezogen, das mit der Waagerechten den Winkel $37^\circ$ bildet. Der Reibungskoeffizient mit dem Boden beträgt $\mu = 0,25$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$). Die Abbildung zeigt den Wagen und das Seil.

1. a) Zerlegen Sie die Seilkraft in ihre waagerechte und senkrechte Komponente.
2. b) Berücksichtigen Sie, dass das Seil den Wagen ein wenig „anhebt“, und berechnen Sie die Normalkraft und die Reibungskraft.
3. c) Berechnen Sie die resultierende waagerechte Kraft und die Beschleunigung des Wagens.

An einer idealen Rolle im Labor hängen zwei Massen, $m_1 = 3\ \text{kg}$ und $m_2 = 5\ \text{kg}$, die durch ein undehnbares Seil verbunden sind (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Da das Seil undehnbar ist, bewegen sich beide Massen mit derselben Beschleunigung $a$, und die Seilkraft $T$ ist im ganzen Seil gleich. Die Abbildung zeigt den Aufbau mit der Rolle.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte, die auf jede Masse wirken.
2. b) Schreiben Sie das Grundgesetz der Mechanik für jede Masse auf: $T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot a$ für die aufsteigende und $m_2 \cdot g - T = m_2 \cdot a$ für die absinkende Masse.
3. c) Addieren Sie die beiden Gleichungen, um $T$ zu eliminieren, und berechnen Sie die Beschleunigung des Systems.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Eine Spielzeuglokomotive von $2\ \text{kg}$ zieht zwei durch Kupplungen verbundene Wagen von $2\ \text{kg}$ und $4\ \text{kg}$ mit einer Zugkraft von $24\ \text{N}$ (die Reibung ist vernachlässigbar). Die Zusammensetzung des Zuges ist von vorn nach hinten: Lokomotive, Wagen von $2\ \text{kg}$ und Wagen von $4\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die Beschleunigung des Gesamtsystems.
2. b) Wenden Sie das Grundgesetz der Mechanik nur auf den letzten Wagen von $4\ \text{kg}$ an und berechnen Sie die Kraft in der Kupplung zwischen den beiden Wagen.
3. c) Berechnen Sie die Kraft in der Kupplung zwischen der Lokomotive und dem ersten Wagen und erklären Sie, warum sie größer ist als die aus Teilaufgabe b.

Eine Person von $60\ \text{kg}$ wiegt sich auf einer Waage in einem Aufzug (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt die Person auf der Waage.

1. a) Was zeigt die Waage bei ruhendem Aufzug an?
2. b) Der Aufzug fährt mit einer Beschleunigung von $1,5\ \text{m/s}^2$ nach oben an. Wenden Sie das Grundgesetz der Mechanik in vertikaler Richtung an, $F_N - F_G = m \cdot a$, und berechnen Sie, was die Waage anzeigt.
3. c) Hat sich die tatsächliche Gewichtskraft der Person verändert? Erklären Sie, welche Größe sich verändert hat.

Um einen Umzugskarton von $20\ \text{kg}$ über den Boden zu bewegen, beträgt der Haftreibungskoeffizient $\mu_e = 0,5$ und der Gleitreibungskoeffizient $\mu_d = 0,4$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die minimale waagerechte Kraft, die nötig ist, um den Karton in Bewegung zu setzen.
2. b) Berechnen Sie die waagerechte Kraft, die nötig ist, um ihn mit konstanter Geschwindigkeit in Bewegung zu halten.
3. c) Erklären Sie anhand der Ergebnisse, warum es schwerer ist, den Karton „in Gang zu bringen“, als ihn in Bewegung zu halten.

Ein Paket von $4\ \text{kg}$ rutscht von der Oberkante einer Rampe in einem Lager, die mit der Waagerechten den Winkel $37^\circ$ bildet. Der Reibungskoeffizient beträgt $\mu = 0,25$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte, die auf das Paket wirken, und berechnen Sie den Wert jeder einzelnen.
2. b) Berechnen Sie die Beschleunigung, mit der es hinabgleitet.
3. c) Wenn die Rampe $8\ \text{m}$ lang ist und das Paket aus der Ruhe startet, berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der es unten ankommt, und die benötigte Zeit (verwenden Sie $v^2 = 2 \cdot a \cdot x$ und $v = a \cdot t$).

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Ein Block von $6\ \text{kg}$ liegt auf einem waagerechten Tisch und ist über ein Seil, das über eine ideale Rolle läuft, mit einem hängenden Block von $4\ \text{kg}$ verbunden. Der Reibungskoeffizient zwischen dem ersten Block und dem Tisch beträgt $\mu = 0,25$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$). Die Abbildung zeigt den Aufbau.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte, die auf jeden Block wirken.
2. b) Berechnen Sie die Reibungskraft auf den Block auf dem Tisch.
3. c) Stellen Sie das Grundgesetz der Mechanik für jeden Block auf, wobei beide dieselbe Beschleunigung $a$ haben und die Seilkraft $T$ im ganzen Seil gleich ist, und berechnen Sie den Wert von $a$.
4. d) Berechnen Sie die Seilkraft.

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Ein ferngesteuertes Auto von $2\ \text{kg}$ bewegt sich geradlinig. Seine Geschwindigkeit entwickelt sich wie folgt: Von $t = 0$ bis $t = 4\ \text{s}$ steigt sie gleichmäßig von $0$ auf $8\ \text{m/s}$; von $t = 4\ \text{s}$ bis $t = 10\ \text{s}$ bleibt die Geschwindigkeit von $8\ \text{m/s}$ erhalten; von $t = 10\ \text{s}$ bis $t = 14\ \text{s}$ bremst es gleichmäßig bis zum Stillstand.

1. a) Zeichnen Sie das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm in Ihr Heft.
2. b) Berechnen Sie die Beschleunigung in jedem der drei Abschnitte.
3. c) Berechnen Sie mit dem Grundgesetz der Mechanik die resultierende Kraft auf das Auto in jedem Abschnitt und geben Sie ihre Richtung an.
4. d) Im zweiten Abschnitt ist die resultierende Kraft null: Erklären Sie, ob das bedeutet, dass der Motor keine Kraft ausübt.

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Um den Reibungskoeffizienten zwischen einem Brett und einem Block zu bestimmen, wird das Brett langsam geneigt, und man beobachtet, dass der Block mit konstanter Geschwindigkeit hinabgleitet, wenn das Brett mit der Waagerechten den Winkel $37^\circ$ bildet (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte auf den Block und erklären Sie, warum die resultierende Kraft null ist.
2. b) Schreiben Sie die Gleichgewichtsbedingungen in Richtung der Ebene und senkrecht dazu auf.
3. c) Leiten Sie her, dass unter diesen Bedingungen $\mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ gilt, und berechnen Sie den Wert von $\mu$.
4. d) Sagen Sie mit der entsprechenden Rechnung die Beschleunigung voraus, die der Block auf derselben Rampe hätte, wenn der Reibungskoeffizient $\mu = 0,5$ betrüge.

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Ein Wagen von $2\ \text{kg}$ wird eine um $37^\circ$ geneigte Ebene mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $8\ \text{m/s}$ hinaufgeschoben. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt $\mu_d = 0,25$ und der Haftreibungskoeffizient $\mu_e = 0,5$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$). Die Abbildung zeigt den Wagen im Moment des Abstoßens.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte auf den Wagen, während er aufwärts fährt (Achtung: Die Reibung wirkt der Bewegung entgegen), und berechnen Sie seine Beschleunigung.
2. b) Berechnen Sie den Weg, den er bis zum Stillstand zurücklegt, und die dafür benötigte Zeit (verwenden Sie $v^2 = v_0^2 - 2 \cdot a \cdot x$ und $v = v_0 - a \cdot t$).
3. c) Rollt der Wagen, nachdem er oben zum Stillstand gekommen ist, wieder hinunter? Vergleichen Sie die zur Ebene parallele Komponente der Gewichtskraft mit der maximalen Haftreibungskraft und begründen Sie Ihre Antwort.

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An der atwoodschen Fallmaschine im Labor werden die Massen $m_1 = 2\ \text{kg}$ und $m_2 = 6\ \text{kg}$ an ein undehnbares Seil gehängt, das über eine ideale Rolle läuft (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte, die auf jede Masse wirken.
2. b) Stellen Sie das System aus zwei Gleichungen mit den Unbekannten $a$ und $T$ auf und lösen Sie es: Berechnen Sie die Beschleunigung des Systems und die Seilkraft.
3. c) Überprüfen Sie, dass die Seilkraft größer ist als die Gewichtskraft von $m_1$ und kleiner als die Gewichtskraft von $m_2$, und erklären Sie, warum das so sein muss, solange das System beschleunigt.

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Ein Schüler berechnet die Beschleunigung eines Blocks von $3\ \text{kg}$, der reibungsfrei eine um $30^\circ$ geneigte Ebene hinabgleitet, und schreibt: „Da die einzige Kraft die Gewichtskraft ist, gilt $a = \frac{F}{m} = \frac{m \cdot g}{m} = g = 10\ \text{m/s}^2$“ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$ und $\sin 30^\circ = 0,5$).

1. a) Finden Sie die beiden Fehler in der Überlegung: Welche Kraft wurde vergessen, und welche Komponente der Gewichtskraft beschleunigt den Block tatsächlich?
2. b) Berechnen Sie die richtige Beschleunigung des Blocks.
3. c) Berechnen Sie die tatsächliche resultierende Kraft auf den Block und vergleichen Sie sie mit seiner Gewichtskraft.

Ein Container von $5\ \text{kg}$ liegt in einem Verladehafen auf einer Rampe von $37^\circ$ und ist über ein Kabel, das über eine ideale Rolle läuft, mit einem senkrecht hängenden Gegengewicht von $5\ \text{kg}$ verbunden. Der Reibungskoeffizient zwischen Container und Rampe beträgt $\mu = 0,2$ (nehmen Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$ und $\cos 37^\circ \approx 0,8$). Die Abbildung zeigt den Aufbau der Rampe mit dem Gegengewicht.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft die Kräfte, die auf den Container und auf das Gegengewicht wirken.
2. b) Berechnen Sie die zur Rampe parallele Komponente der Gewichtskraft des Containers und die Reibungskraft und begründen Sie, in welche Richtung sich das System bewegt.
3. c) Berechnen Sie die Beschleunigung des Systems.
4. d) Berechnen Sie die Seilkraft des Kabels.

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