Aufgaben: Kinematische Größen: Ortsvektor, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor

Eine Lieferdrohne befindet sich auf einer Karte im Punkt mit den Koordinaten $(4|3)$, die Entfernungen sind in Metern angegeben. Die Abbildung zeigt den Punkt und seinen Ortsvektor.

1. a) Schreiben Sie ihren Ortsvektor $\vec{r}$ mithilfe der Einheitsvektoren $\vec{i}$ und $\vec{j}$ auf.
2. b) Berechnen Sie den Betrag von $\vec{r}$ und erklären Sie, was er physikalisch darstellt.

Ein Roboter in einem automatisierten Lager fährt von der Position $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ zur Position $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, die Positionen sind in Metern angegeben. Die Abbildung zeigt beide Positionen und die Verschiebung zwischen ihnen.

1. a) Berechnen Sie den Verschiebungsvektor $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Berechnen Sie seinen Betrag.

Ein Athlet läuft genau eine Runde auf einer Bahn und kehrt nach einer Strecke von $400\ \text{m}$ zum Startpunkt zurück.

1. a) Wie groß ist seine Verschiebung?
2. b) Wie groß ist die zurückgelegte Strecke?
3. c) Erklären Sie mit eigenen Worten den Unterschied zwischen zurückgelegter Strecke und Verschiebung.

Eine Eisläuferin bewegt sich geradlinig und verschiebt sich um $20\ \text{m}$ in Richtung der $x$-Achse in $4\ \text{s}$.

1. a) Schreiben Sie ihren Verschiebungsvektor mithilfe des Einheitsvektors $\vec{i}$ auf.
2. b) Berechnen Sie ihre mittlere Geschwindigkeit $\vec{v}_m$ als Vektor, wobei $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ gilt.

Die Verschiebung eines Orientierungsläufers zwischen zwei Posten ist $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, in Metern, und er benötigt dafür $10\ \text{s}$.

1. a) Berechnen Sie seine mittlere Geschwindigkeit als Vektor.
2. b) Berechnen Sie den Betrag dieser mittleren Geschwindigkeit.

Ein Fahrradkurier fährt vom Geschäft zu einem Haus und auf demselben Weg zurück zum Geschäft.

1. a) Wie groß ist seine gesamte Verschiebung?
2. b) Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit auf der gesamten Strecke?
3. c) Ist auch seine mittlere Bahngeschwindigkeit null? Begründen Sie Ihre Antwort und erklären Sie den Unterschied zwischen mittlerer Geschwindigkeit und mittlerer Bahngeschwindigkeit.

Der Ort eines Laborwagens ist in SI-Einheiten durch $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$ gegeben.

1. a) Wie lautet sein Anfangsort?
2. b) Berechnen Sie seinen Ort für $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Begründen Sie, warum die Bahn eine waagerechte Gerade ist: Achten Sie darauf, was mit der Koordinate $y$ geschieht.

Ein Motorrad fährt geradlinig von $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ auf $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ in $5\ \text{s}$. Die Vektoren der Anfangs- und Endgeschwindigkeit zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsänderung $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Berechnen Sie seine mittlere Beschleunigung $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Erklären Sie, was das Ergebnis bedeutet: Um wie viel ändert sich seine Geschwindigkeit pro Sekunde?

Ein Reinigungsroboter in einem Einkaufszentrum befindet sich zur Zeit $t = 0$ an der Position $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ und zur Zeit $t = 2\ \text{s}$ an der Position $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, die Positionen sind in Metern angegeben.

1. a) Berechnen Sie den Verschiebungsvektor und seinen Betrag.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit als Vektor und ihren Betrag.

Eine Wetterstation misst die Windgeschwindigkeit als $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, wobei die $x$-Achse nach Osten und die $y$-Achse nach Norden zeigt. Die Abbildung zeigt den Geschwindigkeitsvektor des Windes und seine Komponenten.

1. a) Berechnen Sie den Betrag der Windgeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie den Winkel mit der positiven $x$-Halbachse und beschreiben Sie mit Worten, in welche Richtung der Wind weht.

Der Ort eines ferngesteuerten Boots auf einem Teich ist in SI-Einheiten $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. Die Bahn und beide Positionen zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie die Orte zu den Zeitpunkten $t_1 = 1\ \text{s}$ und $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Berechnen Sie die Verschiebung zwischen diesen Zeitpunkten und ihren Betrag.
3. c) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in diesem Intervall und ihren Betrag.

Eine Fähre legt im Hafen A im Punkt $(2|3)$ ab und erreicht Hafen B im Punkt $(14|15)$, die Koordinaten sind in Kilometern angegeben. Die Überfahrt dauert $2\ \text{h}$.

1. a) Berechnen Sie den Verschiebungsvektor.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit als Vektor in $\text{km/h}$ und ihren Betrag.
3. c) Geben Sie den Betrag der mittleren Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ mit einer Nachkommastelle an.

Ein Flugzeug im Manöver geht in $2\ \text{s}$ von $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ auf $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ über. Die Abbildung zeigt beide Geschwindigkeitsvektoren.

1. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsänderung $\Delta\vec{v}$.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung als Vektor und ihren Betrag.

Ein Leih-E-Scooter startet im Ursprung und sein Ort ist in SI-Einheiten $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Berechnen Sie seinen Ort für $t = 10\ \text{s}$.
2. b) Zu welchem Zeitpunkt passiert er einen Punkt mit der Koordinate $x = 90\ \text{m}$? Wie lautet sein vollständiger Ort in diesem Moment?
3. c) Bestimmen Sie die Bahngleichung $y(x)$ durch Eliminieren der Zeit und begründen Sie, um welche Art von Kurve es sich handelt.

Ein Wanderer verlässt die Hütte und bewegt sich $1,2\ \text{km}$ nach Osten und danach $1,6\ \text{km}$ nach Norden, in einer Gesamtzeit von $0,5\ \text{h}$. Die Skizze zeigt den Weg des Wanderers.

1. a) Berechnen Sie den Betrag seiner gesamten Verschiebung.
2. b) Schreiben Sie seine mittlere Geschwindigkeit als Vektor in $\text{km/h}$ auf und berechnen Sie ihren Betrag.
3. c) Berechnen Sie den Winkel, den seine Verschiebung mit der Richtung Osten bildet.

Ein Sensor in einem Labor registriert, dass sich ein Wagen zur Zeit $t_1 = 1\ \text{s}$ im Punkt $(2|5)$ und zur Zeit $t_2 = 5\ \text{s}$ im Punkt $(14|17)$ befindet, die Positionen sind in Metern angegeben.

1. a) Berechnen Sie die Verschiebung des Wagens und das verstrichene Zeitintervall.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit als Vektor und ihren Betrag.
3. c) Welchen Winkel bildet die mittlere Geschwindigkeit mit der $x$-Achse? Begründen Sie dies anhand der Komponenten.

Der Ort eines Teilchens ist in SI-Einheiten $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Berechnen Sie die Orte bei $t = 0$ und bei $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Berechnen Sie die Verschiebung in diesem Intervall und ihren Betrag.
3. c) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit als Vektor in diesem Intervall und ihren Betrag.
4. d) Die Bahn zwischen beiden Punkten ist gekrümmt: Begründen Sie, ob die mittlere Bahngeschwindigkeit in diesem Intervall mit dem Betrag der mittleren Geschwindigkeit übereinstimmen kann.

Ein Teilchen bewegt sich nach $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, in SI-Einheiten.

1. a) Schreiben Sie die Parametergleichungen $x(t)$ und $y(t)$ auf.
2. b) Eliminieren Sie die Zeit und bestimmen Sie die Bahngleichung $y(x)$. Um welche Art von Kurve handelt es sich?
3. c) Prüfen Sie, ob das Teilchen durch den Punkt $P(6|9)$, in Metern, verläuft, und geben Sie gegebenenfalls an, zu welchem Zeitpunkt.

Der Ort eines Schiffs ist in SI-Einheiten $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) Wie lautet sein Anfangsort?
2. b) Bestimmen Sie die Bahngleichung $y(x)$ und ordnen Sie sie ein.
3. c) Prüfen Sie, ob es durch den Punkt $(8|8)$, in Metern, verläuft, und geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt.
4. d) Berechnen Sie den Abstand des Schiffs vom Ursprung zu diesem Zeitpunkt.

Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ in einen Kreisverkehr und verlässt ihn nach $3\ \text{s}$ mit $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$. Die Abbildung zeigt die Bahn im Kreisverkehr und beide Geschwindigkeitsvektoren.

1. a) Zeigen Sie, dass sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht geändert hat.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsänderung $\Delta\vec{v}$ und ihren Betrag.
3. c) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung als Vektor und ihren Betrag.
4. d) Erklären Sie, warum es eine Beschleunigung gibt, obwohl der Betrag der Geschwindigkeit konstant geblieben ist.

Eine Person geht $30\ \text{m}$ nach Osten in $10\ \text{s}$ und danach $40\ \text{m}$ nach Norden in weiteren $10\ \text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die insgesamt zurückgelegte Strecke und die mittlere Bahngeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie die gesamte Verschiebung, ihren Betrag und den Betrag der mittleren Geschwindigkeit.
3. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse beider Teilaufgaben und formulieren Sie den allgemeinen Zusammenhang zwischen mittlerer Bahngeschwindigkeit und dem Betrag der mittleren Geschwindigkeit; geben Sie an, wann beide übereinstimmen.

Ein Mähroboter bewegt sich nach $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$ durch einen Garten, in SI-Einheiten.

1. a) Berechnen Sie seinen Anfangsort.
2. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem er die Winkelhalbierende des ersten Quadranten kreuzt, also wenn seine Koordinaten $x$ und $y$ übereinstimmen, und den Ort in diesem Moment.
3. c) Berechnen Sie seinen Abstand vom Ursprung zu diesem Zeitpunkt.
4. d) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit zwischen $t = 0$ und diesem Zeitpunkt.

Zwei Überwachungsdrohnen bewegen sich, in SI-Einheiten, nach $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ und $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Die Bahnen beider Drohnen zeigt die Abbildung.

1. a) Schreiben Sie die Gleichungen $x(t)$ und $y(t)$ jeder Drohne auf.
2. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt und den Ort, an dem sie sich treffen.
3. c) Berechnen Sie den Abstand des Treffpunkts vom Ursprung.
4. d) Begründen Sie, ob sich die Bahnen beider Drohnen in einem anderen Punkt kreuzen könnten.

Ein Wagen auf einer Schiene bewegt sich nach $\vec{r}(t) = t^2\,\vec{i}$, in SI-Einheiten. Der $x$-$t$-Graph des Wagens mit zwei dieser Sekanten und der Tangente bei $t = 1\ \text{s}$ ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie seine mittlere Geschwindigkeit zwischen $t = 1\ \text{s}$ und $t = 3\ \text{s}$.
2. b) Wiederholen Sie die Berechnung für die Intervalle $[1;\ 2]\ \text{s}$, $[1;\ 1,1]\ \text{s}$ und $[1;\ 1,01]\ \text{s}$.
3. c) Betrachten Sie die Folge der erhaltenen Werte, sagen Sie den Wert der Momentangeschwindigkeit bei $t = 1\ \text{s}$ voraus und begründen Sie Ihre Überlegung.