Aufgaben: Geradlinige Bewegungen und Kreisbewegungen

Eine S-Bahn fährt geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Zur Zeit $t = 0$ passiert sie die Position $x_0 = 100\ \text{m}$.

1. a) Schreiben Sie die Gleichung für ihren Ort $x(t)$ auf.
2. b) Berechnen Sie ihren Ort für $t = 8\ \text{s}$.

Ein Flugzeug startet aus dem Stand auf der Startbahn und beschleunigt gleichmäßig mit $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$.

1. a) Schreiben Sie die Gleichung für seine Geschwindigkeit $v(t)$ auf.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit nach $10\ \text{s}$.
3. c) Erklären Sie mit eigenen Worten, was eine Beschleunigung von $3\ \text{m/s}^2$ bedeutet.

Ein Radfahrer bewegt sich geradlinig gleichmäßig beschleunigt mit $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ und $a = 1\ \text{m/s}^2$.

1. a) Schreiben Sie seine Orts-Zeit-Gleichung $x(t)$ auf.
2. b) Berechnen Sie seinen Ort für $t = 6\ \text{s}$ mithilfe von $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

Eine Münze wird von der Spitze eines $20\ \text{m}$ hohen Turms fallen gelassen. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die sie bis zum Boden braucht.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der sie aufkommt.

Die Flügel eines Deckenventilators brauchen $0,5\ \text{s}$ für eine volle Umdrehung.

1. a) Wie groß sind die Periodendauer $T$ und die Frequenz $f$ der Drehung?
2. b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{2\pi}{T}$ in $\text{rad/s}$ und runden Sie auf eine Nachkommastelle.

Ein Riesenrad dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ und sein Radius beträgt $r = 10\ \text{m}$. Die Skizze zeigt eine Gondel am Rand und eine weitere näher an der Achse.

1. a) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit $v = \omega \cdot r$ einer Gondel am Rand.
2. b) Erklären Sie, warum sich eine Gondel näher an der Achse langsamer bewegen würde, obwohl die Winkelgeschwindigkeit gleich ist.

Ein Inlineskater fährt eine Kurve mit $8\ \text{m}$ Radius bei $4\ \text{m/s}$. Die Abbildung zeigt die Kurve und den Geschwindigkeitsvektor.

1. a) Berechnen Sie seine Radialbeschleunigung $a_n = \frac{v^2}{r}$.
2. b) Geben Sie ihre Richtung und ihren Richtungssinn an.

Ein Satellit beschreibt mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit eine näherungsweise kreisförmige Umlaufbahn um die Erde.

1. a) Wird der Satellit beschleunigt?
2. b) Wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert, was ändert sich dann am Geschwindigkeitsvektor? Erklären Sie, warum daraus folgt, dass es eine Beschleunigung gibt, und wie diese Beschleunigung heißt.

Ein Bus, der mit $72\ \text{km/h}$ fährt, bremst gleichmäßig mit $a = -2\ \text{m/s}^2$ bis zum Stillstand.

1. a) Geben Sie seine Anfangsgeschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Berechnen Sie die Zeit, die er bis zum Stillstand braucht.
3. c) Berechnen Sie die Strecke, die er beim Bremsen zurücklegt.

Von einer $15\ \text{m}$ hohen Brücke wird ein Stein mit $v_0 = 10\ \text{m/s}$ senkrecht nach unten geworfen. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Stellen Sie die Orts-Zeit-Gleichung auf, wobei Sie die Wasseroberfläche als Ursprung wählen, und berechnen Sie die Zeit, die der Stein bis zum Wasser braucht.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der er auftrifft.

Ein Jongleur wirft einen Ball mit $v_0 = 30\ \text{m/s}$ senkrecht nach oben. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Betrachten Sie die Skizze des Wurfs:

1. a) Berechnen Sie die Zeit, die er bis zur maximalen Höhe braucht.
2. b) Berechnen Sie diese maximale Höhe.
3. c) Wie viel Zeit vergeht, bis der Ball wieder in seiner Hand ist, und mit welcher Geschwindigkeit kommt er an? Begründen Sie es mit der Symmetrie der Bewegung.

Ein U-Bahn-Zug fährt aus dem Stand an und beschleunigt gleichmäßig mit $0,5\ \text{m/s}^2$ auf einer Strecke von $400\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die erreichte Geschwindigkeit mithilfe von $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x$.
2. b) Berechnen Sie die Zeit, die er für diese $400\ \text{m}$ braucht.

Ein Karussell mit $4\ \text{m}$ Radius macht alle $8\ \text{s}$ eine Umdrehung.

1. a) Berechnen Sie seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in $\text{rad/s}$ in Abhängigkeit von $\pi$.
2. b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit eines Kindes, das am Rand sitzt.
3. c) Berechnen Sie seine Radialbeschleunigung. Geben Sie die Endergebnisse auch mit einer Nachkommastelle an.

Ein Fahrrad fährt mit $7\ \text{m/s}$ und seine Räder haben $0,35\ \text{m}$ Radius.

1. a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Räder, wobei am Rand $v = \omega \cdot r$ gilt.
2. b) Berechnen Sie die Periodendauer der Raddrehung.
3. c) Berechnen Sie die Strecke, die das Fahrrad bei jeder vollen Radumdrehung zurücklegt, und erklären Sie, warum sie mit dem Umfang des Kreises übereinstimmt.

Eine Laborzentrifuge dreht sich mit der Frequenz $f = 50\ \text{Hz}$ und die Proben beschreiben Kreise mit $0,1\ \text{m}$ Radius.

1. a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit $\omega = 2\pi \cdot f$.
2. b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit der Proben.
3. c) Berechnen Sie ihre Radialbeschleunigung und geben Sie sie in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Ein Autofahrer fährt mit $90\ \text{km/h}$, braucht $0,8\ \text{s}$, um auf ein Hindernis zu reagieren, und bremst dann mit $a = -5\ \text{m/s}^2$. Die Skizze zeigt die beiden Phasen des Anhaltens.

1. a) Geben Sie die Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an und berechnen Sie die Strecke, die während der Reaktionszeit zurückgelegt wird.
2. b) Berechnen Sie die Bremszeit und den Bremsweg.
3. c) Berechnen Sie den gesamten Anhalteweg als Summe der beiden vorherigen.

Ein Auto startet aus der Ruhe mit der konstanten Beschleunigung $a = 2\ \text{m/s}^2$ genau in dem Moment, in dem ein Motorrad mit der konstanten Geschwindigkeit $12\ \text{m/s}$ in gleicher Richtung an ihm vorbeifährt. Die $x$-$t$-Diagramme beider Fahrzeuge sind in der Abbildung dargestellt.

1. a) Stellen Sie die Orts-Zeit-Gleichungen beider Fahrzeuge auf. Wählen Sie dabei den Punkt des Überholens als Ursprung.
2. b) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Auto das Motorrad einholt.
3. c) An welchem Ort geschieht dies, und welche Geschwindigkeit hat das Auto in diesem Moment?
4. d) Erklären Sie anhand der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit des Autos, warum es das Motorrad schließlich einholt, obwohl es zu Beginn zurückbleibt.

Von einem Balkon in $15\ \text{m}$ Höhe über dem Boden wird ein Ball mit $v_0 = 10\ \text{m/s}$ senkrecht nach oben geworfen. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die maximale Höhe, die der Ball erreicht, gemessen vom Boden aus.
2. b) Stellen Sie die Orts-Zeit-Gleichung mit dem Boden als Ursprung auf und berechnen Sie die gesamte Flugdauer, bis der Ball den Boden erreicht.
3. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Ball auf dem Boden auftrifft.
4. d) Vergleichen Sie diese Flugdauer mit der, die der Ball benötigen würde, wenn man ihn einfach vom Balkon fallen ließe, und erklären Sie den Unterschied.

Ein Auto fährt mit $108\ \text{km/h}$.

1. a) Geben Sie diese Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Berechnen Sie den Bremsweg auf trockener Fahrbahn mit $a = -6\ \text{m/s}^2$.
3. c) Berechnen Sie den Bremsweg auf nasser Fahrbahn mit $a = -3\ \text{m/s}^2$.
4. d) Die Reaktionszeit des Fahrers beträgt $0,5\ \text{s}$. Berechnen Sie den gesamten Anhalteweg in beiden Fällen und erklären Sie, warum man bei Regen den Sicherheitsabstand vergrößern sollte.

Auf einer sich drehenden Plattform in einem Freizeitpark, die mit $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ rotiert, sitzt ein Kind im Abstand $2\ \text{m}$ von der Achse und ein Erwachsener im Abstand $8\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit der beiden.
2. b) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der beiden.
3. c) Begründen Sie anhand des Ausdrucks $a_n = \omega^2 \cdot r$, wer von beiden der größeren Beschleunigung ausgesetzt ist und was das für den Halt bedeutet, den er braucht, um nicht nach außen zu rutschen.

Die Trommel einer Waschmaschine hat den Radius $0,25\ \text{m}$ und dreht sich beim Schleudern mit $600$ Umdrehungen pro Minute, das heißt $10$ Umdrehungen pro Sekunde.

1. a) Geben Sie die Drehfrequenz in $\text{Hz}$ an und berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit.
2. b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit eines an der Trommel haftenden Knopfes.
3. c) Berechnen Sie seine Zentripetalbeschleunigung und vergleichen Sie sie mit $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: Wie viel größer ist sie ungefähr?
4. d) Erklären Sie, wie dieses Ergebnis hilft zu verstehen, warum das Schleudern das Wasser aus der Wäsche entfernt.

Der Minutenzeiger der Uhr in einem Bahnhof ist $1,5\ \text{m}$ lang und braucht eine Stunde für eine volle Umdrehung.

1. a) Berechnen Sie seine Winkelgeschwindigkeit in $\text{rad/s}$ in wissenschaftlicher Schreibweise.
2. b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze.
3. c) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der Spitze und geben Sie sie in wissenschaftlicher Schreibweise an.
4. d) Vergleichen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers mit der des Sekundenzeigers, der $60\ \text{s}$ pro Umdrehung braucht: Wie viel größer ist die des Sekundenzeigers?

Ein Heißluftballon steigt mit der konstanten Geschwindigkeit $8\ \text{m/s}$ auf. In $48\ \text{m}$ Höhe löst sich ein Ballastsack. Verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Betrachten Sie die Skizze der Situation:

1. a) Erklären Sie, warum der Sack nach dem Lösen noch kurze Zeit weiter steigt, statt sofort zu fallen.
2. b) Stellen Sie die Orts-Zeit-Gleichung des Sacks mit dem Boden als Ursprung auf und berechnen Sie die Zeit, die er bis zum Boden braucht.
3. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der er auf dem Boden auftrifft.
4. d) Berechnen Sie die Höhe des Ballons in dem Moment, in dem der Sack den Boden berührt.

Beim Fahrgeschäft „Rotor“ lehnen sich die Personen an die Innenwand eines Zylinders mit dem Radius $4\ \text{m}$, der sich dreht, bis der Boden weggefahren wird. Die Zentripetalbeschleunigung der Fahrgäste soll das $2,5$-Fache von $g$ betragen; verwenden Sie $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit, die die Wand haben muss.
2. b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit $\omega$.
3. c) Berechnen Sie die Periodendauer der Drehung.
4. d) Erklären Sie, warum die Personen nicht fallen, wenn der Boden verschwindet. Nennen Sie dabei, welche Kraft die Zentripetalbeschleunigung liefert und welche die Gewichtskraft ausgleicht.