Aufgaben: Feldstärke eines Systems von Massen: vektorielle Berechnung

Der Wert der Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche lässt sich aus dem Gravitationsgesetz herleiten, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Leiten Sie ausgehend vom Gravitationsgesetz und der Definition des Gravitationsfeldes (Kraft pro Masseneinheit) den Ausdruck für den Betrag der Gravitationsfeldstärke $g$ her, die ein kugelförmiger Planet der Masse $M$ und des Radius $R$ an seiner Oberfläche erzeugt.
2. b) Berechnen Sie ihren Wert für die Erde. Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem üblichen Wert $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Bevor man eine bemannte Mission zum Mars schickt, sollte man die Fallbeschleunigung auf seiner Oberfläche kennen.

1. a) Berechnen Sie den Betrag der Gravitationsfeldstärke an der Marsoberfläche. Gegeben: Masse des Mars $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, Radius des Mars $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Der Marsradius beträgt etwa die Hälfte des Erdradius, und trotzdem ist die Fallbeschleunigung deutlich kleiner als die Hälfte der irdischen: Erklären Sie den Grund und betrachten Sie dabei die Masse.

Das Gravitationsfeld einer Punktmasse nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab. Das Diagramm zeigt diese Abhängigkeit:

1. a) Wenn das Feld im Abstand $r$ vom Mittelpunkt eines Planeten den Wert $g$ hat, welchen Wert hat es im Abstand $2\cdot r$? Begründen Sie die Antwort mithilfe von $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) In welchem Abstand vom Erdmittelpunkt, angegeben in Erdradien $R_T$, beträgt das Feld ein Viertel des Wertes an der Oberfläche?
3. c) Welcher Höhe über der Oberfläche entspricht dieser Abstand?

In einem Messlabor soll das Gravitationsfeld gemessen werden, das eine massive Bleikugel von $100\ \text{kg}$ erzeugt.

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Feldes im Abstand $0,50\ \text{m}$ von ihrem Mittelpunkt, wobei Sie die Kugel als Punktmasse behandeln ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Geben Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an und vergleichen Sie seine Größenordnung mit der des Erdfeldes ($9,8\ \text{m/s}^2$): Welche Schlussfolgerung ziehen Sie über die Schwierigkeit der Messung?

Die Gravitationsfeldstärke $\vec{g}$ in einem Punkt ist definiert als die Kraft pro Masseneinheit, die auf eine dort platzierte Probemasse wirken würde: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) Zeigen Sie ausgehend von dieser Definition, dass $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$ gilt.
2. b) Erklären Sie mit eigenen Worten, was es bedeutet, dass das Feld in einem Punkt des Raumes den Wert $g = 3,7\ \text{N/kg}$ hat: Welche Kraft würde eine Masse von $1\ \text{kg}$ erfahren? Und eine von $10\ \text{kg}$?

Auf einem Labortisch werden zwei Punktmassen von je $10\ \text{kg}$ im Abstand $2,0\ \text{m}$ aufgestellt. Sei $P$ ein Punkt auf der Verbindungsgeraden außerhalb der Strecke, im Abstand $1,0\ \text{m}$ von der einen Masse und $3,0\ \text{m}$ von der anderen. Die Anordnung zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Feldes, das jede Masse in $P$ erzeugt, und geben Sie seine Richtung an ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Da beide Felder dieselbe Richtung und denselben Richtungssinn haben, berechnen Sie das Gesamtfeld in $P$.

Das Gravitationsfeld ist eine vektorielle Größe.

1. a) Geben Sie Richtung und Richtungssinn des von der Erde erzeugten Vektors $\vec{g}$ in einem beliebigen Punkt ihrer Umgebung an.
2. b) Zeichnen Sie in Ihr Heft den Gravitationsfeldvektor in acht um den Planeten verteilten Punkten (eine Feldkarte): Was haben die Richtungen aller Vektoren gemeinsam und wie ändert sich der Betrag mit zunehmendem Abstand vom Planeten?
3. c) Erklären Sie, warum man sagt, das Gravitationsfeld sei ein Zentralfeld und anziehend.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Die Astronauten des Apollo-Programms stellten fest, dass Gegenstände auf dem Mond viel weniger wiegen als auf der Erde.

1. a) Berechnen Sie das Gravitationsfeld an der Mondoberfläche. Gegeben: Masse des Mondes $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, Mondradius $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{g_T}{g_L}$ mit $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ und überprüfen Sie, dass er ungefähr $6$ beträgt.

Zwei Punktmassen, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ und $m_2 = 10\ \text{kg}$, sind auf einer Laborbank an den Positionen $x_1 = 0$ und $x_2 = 2,0\ \text{m}$ befestigt, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie das Feld, das jede Masse im Punkt $x = 0,50\ \text{m}$ erzeugt, und geben Sie Betrag und Richtung an ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Wenden Sie das Superpositionsprinzip an, um das Gesamtfeld in diesem Punkt zu erhalten.
3. c) Begründen Sie, in welche Richtung eine kleine Probemasse beschleunigt würde, die dort aus der Ruhe losgelassen wird.

Zwischen Erde und Mond gibt es einen Punkt, in dem sich ihre Gravitationsfelder aufheben. Die Skizze zeigt die Situation:

1. a) Stellen Sie mit dem Ursprung im Erdmittelpunkt die Bedingung für das Verschwinden auf: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, wobei $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ der Abstand Erde–Mond ist.
2. b) Vereinfachen Sie $G$, ziehen Sie die Quadratwurzel und lösen Sie nach $x$ auf, indem Sie $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ und $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ verwenden (beachten Sie, dass $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$ gilt, dessen Wurzel $9$ ist).
3. c) In welchem Abstand vom Mond liegt dieser Punkt? Begründen Sie, warum er viel näher am Mond als an der Erde liegt.

Zwei gleiche Punktmassen, $m = 2,0\ \text{kg}$, befinden sich in der Ebene an den Punkten $(0|0)$ und $(2|0)\ \text{m}$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie den Abstand jeder Masse zum Punkt $P(1|1)\ \text{m}$ und den Betrag des Feldes, das jede in $P$ erzeugt ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Zeichnen Sie in Ihr Heft die beiden Feldvektoren in $P$ und begründen Sie, welche Komponenten sich aus Symmetriegründen aufheben.
3. c) Jeder Vektor schließt mit der Vertikalen den Winkel $45^\circ$ ein ($\cos 45^\circ \approx 0,71$). Berechnen Sie das Gesamtfeld in $P$: Betrag, Richtung und Richtungssinn.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Geostationäre Satelliten umkreisen die Erde im Abstand $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ vom Erdmittelpunkt, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie das Gravitationsfeld der Erde in diesem Abstand ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Wievielmal kleiner ist es als das Feld an der Oberfläche ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) Das Feld in einem Punkt hängt nicht von der dort platzierten Masse ab: Erklären Sie anhand der Definition $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$, was das bedeutet.

Drei gleiche Punktmassen von je $6,0\ \text{kg}$ liegen auf einer Laborschiene an den Positionen $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ und $x = 3,0\ \text{m}$ in einer Linie, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie das Feld, das jede von ihnen im Punkt $x = 2,0\ \text{m}$ erzeugt, und geben Sie Betrag und Richtung an ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Wenden Sie die Superposition an und berechnen Sie das Gesamtfeld in diesem Punkt.
3. c) Begründen Sie, ohne die Gleichung zu lösen, ob es zwischen $x = 2,0\ \text{m}$ und $x = 3,0\ \text{m}$ einen Punkt geben muss, in dem das Gesamtfeld verschwindet: Betrachten Sie die Richtung des Gesamtfeldes in $x = 2,0\ \text{m}$ und das Verhalten bei Annäherung an die Masse in $x = 3,0\ \text{m}$.

Die Sonne erzeugt aufgrund ihrer enormen Masse auch in astronomischen Entfernungen ein merkliches Gravitationsfeld.

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Gravitationsfeldes der Sonne auf der Erdbahn ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, mittlere Entfernung $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Feld an der Erdoberfläche ($9,8\ \text{m/s}^2$): Wievielmal kleiner ist es?
3. c) Wenn die Sonne mit diesem Feld an uns zieht, warum reißt sie uns dann nicht von der Erdoberfläche weg? (Hinweis: Die Erde und alles auf ihr fallen gemeinsam zur Sonne.)

Ein Gravimeter für die geophysikalische Erkundung kann Schwankungen des Gravitationsfeldes von bis zu $10^{-6}\ \text{m/s}^2$ nachweisen. Man vermutet unter einem Gelände ein großes Wasserreservoir, das wir durch eine Punktmasse von $10^{5}\ \text{kg}$ in $20\ \text{m}$ Tiefe nähern. Die Skizze zeigt die Anordnung:

1. a) Berechnen Sie das Gravitationsfeld, das das Reservoir an der Oberfläche unmittelbar darüber erzeugt ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Könnte das Gravimeter es nachweisen? Begründen Sie die Antwort mit den Zahlenwerten.
3. c) Nennen Sie eine praktische Anwendung dieser Art von Messungen.

Wenn Jupiter der Erde am nächsten ist, befindet er sich in etwa $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$ Entfernung.

1. a) Berechnen Sie das Gravitationsfeld, das Jupiter dann auf der Erde erzeugt ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Berechnen Sie die Kraft, mit der Jupiter eine Person von $70\ \text{kg}$ anzieht ($F = m\cdot g$), und vergleichen Sie sie mit ihrer Gewichtskraft auf der Erde ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Nehmen Sie angesichts des Ergebnisses kritisch Stellung zur astrologischen Behauptung, „die Stellung des Jupiter beeinflusse die Menschen“.

Ein Raumschiff von $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ fliegt von der Erde zum Mond entlang der Verbindungsgeraden ihrer Mittelpunkte.

1. a) Berechnen Sie, in welchem Abstand vom Erdmittelpunkt das gesamte Gravitationsfeld (Erde plus Mond) verschwindet. Gegeben: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; nehmen Sie $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) Welche resultierende Gravitationskraft üben Erde und Mond zusammen auf das Raumschiff aus, wenn es sich in diesem Punkt befindet?
3. c) Bei abgeschalteten Triebwerken verschiebt sich das Raumschiff von diesem Punkt aus um $10^{6}\ \text{m}$ in Richtung Mond: Berechnen Sie dort das Gesamtfeld (Betrag und Richtung) und begründen Sie, ob der Punkt, an dem das Feld verschwindet, eine stabile oder labile Gleichgewichtslage ist.

Drei gleiche Punktmassen, $m = 100\ \text{kg}$, besetzen drei Ecken eines Quadrats der Seitenlänge $L = 2,0\ \text{m}$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Feldes, das jede Masse in der vierten Ecke erzeugt (Achtung: Die Masse in der gegenüberliegenden Ecke ist $L\cdot\sqrt{2}$ entfernt). Gegeben: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Zerlegen Sie die drei Feldvektoren in die Richtungen der Quadratseiten und berechnen Sie die Komponenten des Gesamtfeldes ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Berechnen Sie den Betrag des Gesamtfeldes und begründen Sie aus Symmetriegründen, warum seine Richtung die der Diagonale ist.
4. d) Welche Kraft würde eine in dieser Ecke platzierte Probemasse von $50\ \text{kg}$ erfahren?

Drei gleiche Punktmassen, $m = 150\ \text{kg}$, befinden sich in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge $L = 3,0\ \text{m}$. Der Schwerpunkt ist von jeder Ecke $\frac{L}{\sqrt{3}}$ entfernt. Die Abbildung zeigt die Anordnung:

1. a) Begründen Sie mithilfe der Symmetrie und der Summe dreier gleicher Vektoren, die untereinander den Winkel $120^\circ$ einschließen, dass das Gesamtfeld im Schwerpunkt null ist.
2. b) Eine der Massen wird entfernt: Zeigen Sie mithilfe der Superposition, dass das Feld im Schwerpunkt gleich groß und entgegengesetzt zu dem der entfernten Masse ist, und berechnen Sie seinen Betrag ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Berechnen Sie die Kraft, die eine im Schwerpunkt platzierte Masse von $20\ \text{kg}$ erfahren würde, und geben Sie ihre Richtung und ihren Richtungssinn an.

1. a) Berechnen Sie, in welchem Abstand von der Erde auf der Verbindungsgeraden Sonne–Erde sich das Gravitationsfeld der Sonne und das der Erde aufheben. Gegeben: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; nehmen Sie $\sqrt{\frac{M_S}{M_T}} \approx 577$. Geben Sie das Ergebnis in Kilometern an.
2. b) Der Lagrange-Punkt L1 des Systems Sonne–Erde, an dem Sonnenobservatorien positioniert werden, liegt etwa $1,5\cdot10^{9}\ \text{m}$ von der Erde entfernt, viel weiter, als Ihre Rechnung vorhersagt. Erklären Sie, welchen physikalischen Effekt Sie nicht berücksichtigt haben (Hinweis: Die Erde und das Observatorium stehen nicht still, sondern umkreisen die Sonne).

Ein Doppelstern besteht aus zwei Himmelskörpern gleicher Masse, $M = 2,0\cdot10^{30}\ \text{kg}$, im Abstand $d = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Begründen Sie, dass das gesamte Gravitationsfeld im Mittelpunkt der Strecke zwischen den Sternen null ist.
2. b) Berechnen Sie das Gesamtfeld in einem Punkt der Mittelsenkrechten dieser Strecke im Abstand $h = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$ vom Mittelpunkt: Zeichnen Sie die Vektoren in Ihr Heft, begründen Sie, welche Komponenten sich aufheben, und berechnen Sie das Ergebnis ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Wenn in diesem Punkt eine Sonde kleiner Masse aus der Ruhe losgelassen wird, beschreiben Sie qualitativ, wie sie sich zu bewegen beginnt.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Die Gezeiten entstehen dadurch, dass das Gravitationsfeld des Mondes über die ganze Erde nicht homogen ist. Die Skizze zeigt die Geometrie des Problems:

1. a) Berechnen Sie den Betrag des Mondfeldes im Punkt der Erdoberfläche, der dem Mond am nächsten liegt (sein Abstand zum Mond beträgt $d - R_T$).
2. b) Berechnen Sie den Betrag des Mondfeldes im Punkt der Oberfläche, der vom Mond am weitesten entfernt ist (Abstand $d + R_T$).
3. c) Berechnen Sie die Differenz beider Werte und erklären Sie, warum diese Differenz, obwohl klein, die Ozeane „streckt“ und zwei Flutberge erzeugt. Gegeben: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

In einer modernen Version des Cavendish-Experiments werden zwei Wolframkugeln von je $500\ \text{kg}$ verwendet, die an den Punkten $(0|0)$ und $(3|0)\ \text{m}$ platziert sind.

1. a) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(1,5|2)\ \text{m}$ von jeder Kugel den Abstand $2,5\ \text{m}$ hat, und berechnen Sie den Betrag des Feldes, das jede Kugel in $P$ erzeugt ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Der Winkel, den jeder Feldvektor mit der Senkrechten zur Verbindungsstrecke der Kugeln einschließt, erfüllt $\sin\theta = 0,6$ und $\cos\theta = 0,8$: Begründen Sie, welche Komponenten sich aufheben, und berechnen Sie das Gesamtfeld in $P$ (Betrag, Richtung und Richtungssinn).
3. c) Berechnen Sie die Kraft auf eine kleine Kugel von $20\ \text{g}$, die in $P$ platziert ist, und erläutern Sie, warum dieses Experiment eine außerordentliche Empfindlichkeit erfordert.

Ein Astronaut unternimmt einen Weltraumspaziergang im Abstand $10\ \text{m}$ vom Mittelpunkt der Internationalen Raumstation der Masse $M_{ISS} = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, die in $400\ \text{km}$ Höhe über der Erdoberfläche umläuft.

1. a) Berechnen Sie das Gravitationsfeld der Erde an der Position des Astronauten ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Berechnen Sie das Gravitationsfeld, das die Station selbst im Abstand $10\ \text{m}$ von ihrem Mittelpunkt erzeugt, wobei Sie sie als Punktmasse behandeln.
3. c) Vergleichen Sie die Größenordnungen beider Felder und erklären Sie, warum der Astronaut trotz der enormen Größe der Station nicht zu ihr „fällt“.
4. d) Welches Feld bestimmt die Bewegung des Astronauten?