Ejercicios: Ángulos orientados y circunferencia goniométrica

Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.

A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:

• $\sin 90º$ y $\cos 90º$

• $\sin 180º$ y $\cos 180º$

• $\sin 270º$ y $\cos 270º$

• $\sin 360º$ y $\cos 360º$

Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.

A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.

Marcos tiene que calcular las razones trigonométricas del ángulo $\alpha = 120^\circ$. En su cuaderno escribe la siguiente explicación: «Como al lado terminal de $120^\circ$ le faltan $30^\circ$ para llegar al semieje vertical positivo $Y$, su ángulo de referencia es $30^\circ$. Por tanto, $\sen 120^\circ = \sen 30^\circ = 0,5$ y $\cos 120^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$». Identifica el error conceptual que ha cometido Marcos al determinar el ángulo de referencia, explica por qué la definición exige tomar siempre como referencia el eje horizontal $X$ y escribe los valores correctos de $\sen 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ y $\tg 120^\circ$.

Considera el ángulo orientado $\alpha = 310^\circ$ en la circunferencia goniométrica.

1. a) Sin realizar cálculos con calculadora, estima de forma razonada en qué cuadrante se encuentra su lado terminal y qué signos tendrán su abscisa (coseno), su ordenada (seno) y su tangente.
2. b) El lado terminal de $310^\circ$ está a $50^\circ$ del semieje positivo $X$ ($360^\circ - 310^\circ$) y a $40^\circ$ del semieje negativo $Y$ ($310^\circ - 270^\circ$). A partir de esta posición relativa en la circunferencia, estima cuál de los dos valores absolutos debe ser mayor: $|\sen 310^\circ|$ o $|\cos 310^\circ|$.
3. c) Comprueba tu estimación calculando su ángulo de referencia agudo respecto al eje $X$ y deduciendo qué cateto del triángulo rectángulo asociado es de mayor longitud.

En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.

Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.

Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:

• $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$

Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.

Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.

• ¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?

• ¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?

• Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?

Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).

• Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.

• Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.

Considera el ángulo $\alpha = 215º$.

• Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.

• Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.

• Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.

Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:

• Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.

• Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.

• La tangente de $90º$ no existe.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

El radar meteorológico de AEMET situado en Murcia gira en sentido antihorario emitiendo un haz de barrido. La orientación se mide como un ángulo goniométrico donde el Este corresponde al semieje positivo $X$ ($0^\circ$) y el Norte al semieje positivo $Y$ ($90^\circ$). En un determinado momento de la monitorización, la antena registra un giro acumulado de $\alpha = -510^\circ$.

1. a) Reduce el ángulo $\alpha$ a la primera vuelta expresándolo como un número de vueltas completas más un ángulo positivo $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) ¿Hacia qué cuadrante geográfico (Noreste, Noroeste, Suroeste o Sureste) está apuntando el haz del radar en ese instante?
3. c) Si el radar localiza el núcleo de una nube a una distancia normalizada de radio $1$, determina las coordenadas cartesianas $(x, y)$ del punto sobre la circunferencia goniométrica, expresándolas de forma exacta mediante las razones trigonométricas de su ángulo agudo de referencia con el eje $X$.

En la circunferencia goniométrica (radio $1$, centro en el origen), el lado terminal de un ángulo $\alpha$ corta a la circunferencia en un punto $P(x, y)$ cuya abscisa es $x = -0,8$. Además, se sabe que $\tg \alpha > 0$.

1. a) Determina razonadamente en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\alpha$ a partir de los signos de su abscisa y de su tangente.
2. b) Utiliza la relación fundamental en la circunferencia goniométrica ($x^2 + y^2 = 1$) para deducir el valor exacto de la ordenada $y$ (es decir, $\sen \alpha$) y calcula el valor de $\tg \alpha$.
3. c) Sabiendo que el ángulo agudo del primer cuadrante cuyo coseno vale $0,8$ es aproximadamente $36,87^\circ$, calcula:

1. El valor del ángulo positivo $\alpha$ perteneciente a la primera vuelta ($[0^\circ, 360^\circ)$).

2. Un ángulo $\beta$ negativo que tenga exactamente el mismo lado terminal que $\alpha$ habiendo completado una vuelta entera en sentido horario (comprendido entre $-720^\circ$ y $-360^\circ$).

Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:

«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»

Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.

En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.

• ¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.

• Si $\sin \alpha = 0,42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.

• ¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.

El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$.

• ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?

• Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Calcula $\tan \alpha$.

• Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.

A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

• Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.

• Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.

• Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.

En clase se plantea encontrar todos los ángulos $\alpha$ de la primera vuelta ($0^\circ \le \alpha < 360^\circ$) que cumplen la condición $\sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Dos estudiantes proponen métodos diferentes para resolverlo:

• Sofía (Método goniométrico): Dice que, como $\cos \alpha = x$ y $\sen \alpha = y$ en la circunferencia goniométrica, la condición equivale a $y^2 = x^2$, es decir, $|y| = |x|$. Por tanto, los puntos buscados son las intersecciones de la circunferencia goniométrica con las bisectrices de los cuatro cuadrantes ($y = x$ e $y = -x$).

• Mateo (Método algebraico): Propone dividir ambos miembros entre $\cos^2 \alpha$ para obtener $\tg^2 \alpha = 1$, lo que da $\tg \alpha = 1$ o $\tg \alpha = -1$.

1. a) Aplica el método de Sofía e identifica los cuatro ángulos solución justificando geométricamente su simetría respecto a los ejes y su ángulo de referencia en el primer cuadrante.
2. b) Analiza el método de Mateo: ¿qué comprobación matemática previa es obligatoria antes de dividir toda la expresión entre $\cos^2 \alpha$, y por qué en este caso particular estamos seguros de no perder ninguna solución?
3. c) Compara ambos procedimientos y justifica cuál de los dos aporta mayor comprensión geométrica sobre el comportamiento de los signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.

El brazo de un robot industrial de montaje tiene una longitud normalizada de $1$ metro con base fija en el origen $(0,0)$. El extremo del brazo se orienta mediante un ángulo $\theta$ medido en sentido antihorario desde el semieje positivo $X$, situándose en un punto $P(x, y)$ de la circunferencia goniométrica. Para realizar una soldadura en el interior de una pieza, el extremo debe colocarse en el tercer cuadrante de forma que su distancia horizontal al eje vertical sea exactamente el doble que su distancia vertical al eje horizontal ($|x| = 2 \cdot |y|$).

1. a) Plantea la condición algebraica anterior junto con la ecuación de la circunferencia goniométrica ($x^2 + y^2 = 1$) y obtén los valores exactos de $\cos \theta$, $\sen \theta$ y $\tg \theta$.
2. b) Sabiendo que el ángulo agudo de referencia con el eje horizontal cumple $\tg \theta_{\text{ref}} = 0,5$ (cuyo valor aproximado es $26,57^\circ$), determina la medida del ángulo positivo $\theta \in [0^\circ, 360^\circ)$ que se debe programar en el robot.
3. c) Debido a un error de transmisión en los servomotores, la computadora de control registra un giro total acumulado de $-1413,43^\circ$. Demuestra mediante la reducción a la primera vuelta si el brazo robótico ha quedado orientado exactamente en la posición de trabajo requerida o en una distinta.