Ejercicios: Aplicaciones de la trigonometría

Para un trabajo escolar de Geografía y Matemáticas, Sergio quiere calcular la distancia que recorre un barco de investigación oceanográfica que navega por el paralelo $60^\circ\text{ N}$ entre dos boyas meteorológicas situadas a una longitud de $10^\circ\text{ O}$ y $40^\circ\text{ O}$. Sergio realiza el siguiente procedimiento en su cuaderno:

$$\Delta = 40^\circ - 10^\circ = 30^\circ = 30\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$$ $$\text{Distancia} = 6371\cdot\frac{\pi}{6} \approx 3335,82\text{ km}$$

1. a) Explica razonadamente cuál es el error conceptual que ha cometido Sergio y sobre qué circunferencia de la Tierra sería válido su resultado numérico.
2. b) Corrige su resolución indicando la fórmula completa que debió emplear y calcula la distancia real recorrida por el barco (toma $R = 6371\text{ km}$ y utiliza el valor exacto $\cos 60^\circ = 0,5$).

El ecuador terrestre tiene un perímetro aproximado de $40\,030\text{ km}$ ($2\pi R$, con $R \approx 6371\text{ km}$). Un equipo de cartografía necesita identificar en qué paralelo del hemisferio norte el radio de la circunferencia del paralelo mide exactamente la mitad del radio de la Tierra ($r = \frac{R}{2}$).

1. a) Plantea una ecuación trigonométrica que relacione la latitud $\alpha$ con esta condición geométrica a partir de la fórmula $r = R\cdot\cos\alpha$, simplificando el radio $R$.
2. b) Sin recurrir a la calculadora, deduce razonadamente a qué latitud exacta $\alpha$ ocurre esto, recordando los valores de las razones trigonométricas de los ángulos notables ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$).
3. c) ¿Qué relación existe entre la longitud total de este paralelo y el perímetro del ecuador? Justifica tu respuesta sin necesidad de calcular los kilómetros exactos.

Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:

1. a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utiliza la expresión $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$ y justifícala a partir del triángulo rectángulo de la figura).
2. b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.

La ciudad de Madrid se ubica aproximadamente a una latitud de $\alpha = 40^\circ\text{ N}$. Debido a la rotación terrestre, cualquier persona que se encuentre en Madrid describe una circunferencia completa correspondiente a su paralelo cada $24\text{ horas}$. Se considera el radio medio de la Tierra como $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Antes de operar con la calculadora: sabiendo que en el ecuador (donde el perímetro terrestre ronda los $40\,000\text{ km}$) la velocidad lineal es de unos $1670\text{ km/h}$, y recordando que $\cos 45^\circ \approx 0,71$, estima de forma cualitativa si la velocidad lineal de rotación en Madrid será superior o inferior a $1150\text{ km/h}$. Explica el razonamiento de tu estimación.
2. b) Calcula con precisión el radio $r$ del paralelo de Madrid, la longitud de dicho paralelo y la velocidad lineal real en $\text{km/h}$ con la que se desplaza la ciudad por el espacio (utiliza $\cos 40^\circ \approx 0,766$).
3. c) Comprueba si el valor obtenido confirma tu estimación inicial e interpreta qué ocurriría con dicha velocidad lineal si nos desplazáramos hacia el Polo Norte ($90^\circ\text{ N}$).

Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.

Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:

1. Calcula el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerda que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \cdot \cos \alpha$; para $45^\circ$ utiliza el valor exacto $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

2. Determina la distancia en kilómetros que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.

En la costa de la Comunidad Valenciana, Castellón de la Plana se sitúa sobre el meridiano de Greenwich ($0^\circ$) y a una latitud de $40^\circ\text{ N}$. En las Islas Baleares, el extremo oeste de Menorca se encuentra prácticamente sobre ese mismo paralelo ($40^\circ\text{ N}$) y a una longitud de $3,8^\circ\text{ E}$. Paralelamente, una patrulla marítima en el archipiélago canario realiza una vigilancia entre dos puntos que también difieren en $3,8^\circ$ de longitud, pero situados sobre el paralelo $28^\circ\text{ N}$. Considera el radio de la Tierra $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Modela la fórmula general que permite calcular la distancia sobre un paralelo en kilómetros a partir del radio terrestre $R$, la latitud $\alpha$ y la diferencia de longitud en grados $\Delta^\circ$.
2. b) Calcula la distancia en kilómetros del trayecto Castellón–Menorca navegando sobre el paralelo $40^\circ\text{ N}$ (usa $\cos 40^\circ \approx 0,7660$).
3. c) Calcula la distancia recorrida por la patrullera en Canarias navegando sobre el paralelo $28^\circ\text{ N}$ (usa $\cos 28^\circ \approx 0,8829$).
4. d) A pesar de que ambas rutas abarcan el mismo ángulo de longitud ($3,8^\circ$), las distancias sobre el mar no son iguales. Justifica matemáticamente esta discrepancia a partir del comportamiento de la función $\cos\alpha$ entre $0^\circ$ y $90^\circ$ y analiza qué implicación tiene esto en la navegación marítima y aérea.

Dos bases de investigación polar están emplazadas sobre el paralelo $75^\circ\text{ N}$ en puntos diametralmente opuestos: la base Alfa a longitud $0^\circ$ (meridiano de Greenwich) y la base Beta a longitud $180^\circ$. Para trasladar suministros entre ambas, un equipo de aviación debe elegir entre dos rutas de vuelo posibles sobre la superficie terrestre (toma $R = 6371\text{ km}$):

• Ruta 1 (Ruta por el paralelo): Volar siguiendo la circunferencia del paralelo $75^\circ\text{ N}$ desde Alfa hasta Beta (medio paralelo).

• Ruta 2 (Ruta polar): Volar hacia el norte por el meridiano de Greenwich hasta el Polo Norte ($90^\circ\text{ N}$) y continuar descendiendo por el meridiano $180^\circ$ hasta llegar a Beta.

1. a) Modela matemáticamente la longitud de la Ruta 1 usando el radio del paralelo $r = R\cdot\cos(75^\circ)$ y calcula su distancia en kilómetros (utiliza $\cos 75^\circ \approx 0,2588$).
2. b) Modela matemáticamente la longitud de la Ruta 2 teniendo en cuenta que los meridianos forman circunferencias máximas de radio $R$. Deduce cuántos grados de arco de meridiano se recorren en total y calcula la distancia en kilómetros.
3. c) Compara ambos resultados: ¿cuál es la ruta más corta y cuántos kilómetros se ahorran? Justifica a partir de este cálculo por qué muchas rutas comerciales intercontinentales del hemisferio norte vuelan cerca del polo en lugar de mantener una latitud fija.

Reto del tema. ¿Cómo afecta el viento al vuelo de un dron de salvamento? Analizarás las condiciones de tu entorno mediante datos oficiales de AEMET.

Fase 1. Entra en la web de AEMET y recopila el rumbo $r$ (medido desde el norte en sentido horario) y la velocidad del viento ($v$ en km/h) de tu estación más cercana en tres momentos del día. Convierte cada rumbo en el ángulo orientado $\alpha = 90^\circ - r$ (suma $360^\circ$ si sale negativo), de modo que $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ se mida desde el este en sentido antihorario.

Fase 2. En GeoGebra o en tu cuaderno, sitúa cada ángulo en la circunferencia goniométrica. Reduce cada ángulo al primer cuadrante, deduce los signos de $\sin\alpha$ y $\cos\alpha$ según el cuadrante y comprueba numéricamente la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ con dos decimales (ej. $0,99 \approx 1$).

Fase 3. Descompón trigonométricamente la velocidad del viento en sus ejes este-oeste ($v_x = v \cdot \cos\alpha$) y norte-sur ($v_y = v \cdot \sin\alpha$).

Fase 4. Entrega un informe breve (una cara) con la tabla de datos, las representaciones goniométricas y una conclusión razonada sobre cuál de las tres horas ofrece menor deriva lateral para una trayectoria fija norte-sur.

Se valorará:

• Rigor en la reducción al primer cuadrante y justificación geométrica de los signos.

• Aplicación correcta de la identidad fundamental y de las razones trigonométricas con datos reales.

• Claridad del informe, precisión en los cálculos y pertinencia de la recomendación final.