Ejercicios: Sucesiones de números reales

Observa las siguientes listas ordenadas de números. Tu tarea es identificar la regla lógica que sigue cada una y escribir los tres términos que continúan la serie:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

En matemáticas, utilizamos fórmulas para definir el valor de cualquier posición en una sucesión sin tener que escribir toda la lista. Esto se llama término general ($a_n$).

Calcula los cuatro primeros términos ($a_1, a_2, a_3, a_4$) y el término que ocupa la posición 10 ($a_{10}$) para las siguientes sucesiones definidas por su término general:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

Las sucesiones muchas veces surgen de patrones geométricos. Observa la siguiente imagen que muestra cómo crece un triángulo formado por puntos.

Cuenta el número de puntos de cada figura para formar una sucesión numérica.

1. Escribe los primeros 4 términos de esta sucesión.

2. ¿Cuántos puntos tendrá la figura 5?

3. Sin dibujar, ¿podrías decir cuántos puntos se añaden para pasar de la figura 4 a la figura 5?

Imagina que estás entrenando para una carrera de fondo. Tu entrenador anota los kilómetros que corres cada semana para llevar un control de tu progreso. La lista de las últimas 6 semanas es la siguiente:

Considerando esta lista como una sucesión numérica ($a_n$):

1. ¿Cuál es el valor del término $a_1$? ¿Qué representa en el contexto del entrenamiento?

2. ¿Cuál es el valor del término $a_4$?

3. Si sigues el mismo ritmo de incremento, ¿cuántos kilómetros correrás en la semana 7 ($a_7$)?

Relaciona en tu cuaderno cada una de las siguientes sucesiones con su término general correcto. Ten en cuenta que $n$ representa la posición (1, 2, 3...).

Sucesiones:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Términos Generales:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

A veces, para saber el valor de un término, necesitamos conocer el anterior. Esto se llama ley de recurrencia.

Dada una sucesión donde el primer término es $a_1 = 5$ y la regla para obtener los siguientes es:

(Esto significa: "el término actual es igual al término anterior más 3").

Calcula los términos $a_2, a_3, a_4$ y $a_5$.

Un "streamer" de videojuegos decide empezar a ahorrar para comprar un nuevo equipo.

El primer mes ahorra 50 dólares, el segundo mes ahorra 100 dólares, el tercer mes ahorra 200 dólares y el cuarto mes ahorra 400 dólares.

1. Escribe la sucesión formada por el dinero ahorrado cada mes.

2. ¿Observas alguna regularidad? ¿Qué operación haces para pasar de un mes al siguiente?

3. Calcula cuánto ahorrará en el mes 5 y en el mes 6 si mantiene esta tendencia.

No todas las sucesiones están formadas por números enteros (como 1, 2, 3...). También pueden tener fracciones o números decimales. Observa la siguiente sucesión de números reales:

1. Escribe los tres términos siguientes.

2. ¿Cuál crees que es el término general $a_n$? Elige la opción correcta:

   • Opción A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opción B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opción C: $a_n = n + 1$

Marta quiere averiguar si el número 39 forma parte de la sucesión cuyo término general es $a_n = 5n - 6$. En su examen escribe lo siguiente:

«Para comprobarlo, calculo $a_{39} = 5 \cdot 39 - 6 = 195 - 6 = 189$. Como la operación da un resultado exacto, concluyo que el número 39 sí pertenece a la sucesión y ocupa la posición 189».

1) Identifica y explica detalladamente el error conceptual que ha cometido Marta al confundir el índice de posición $n$ con el valor del término $a_n$.

2) Plantea y resuelve la ecuación adecuada para determinar si el número 39 pertenece realmente a la sucesión, indicando qué posición ocupa si la respuesta es afirmativa.

3) Razona si el número 50 pertenece o no a esta misma sucesión teniendo en cuenta qué tipo de números deben ser obligatoriamente los índices de posición $n$.

Diseña el término general $a_n$ de una sucesión de números reales que cumpla simultáneamente estas tres condiciones:

1. Su primer término es una fracción concreta: $a_1 = \frac{1}{2}$.

2. Todos los términos son estrictamente positivos y cada término es menor que el anterior (es decir, $a_1 > a_2 > a_3 > \dots > 0$).

3. A medida que la posición $n$ se hace muy grande, los términos se aproximan cada vez más a 0, pero sin llegar jamás a ser cero ni a tomar valores negativos.

Escribe la expresión algebraica de tu término general $a_n$, comprueba que cumple las condiciones calculando de forma explícita los términos $a_1, a_2, a_3$ y $a_4$, y justifica brevemente por qué ningún término de tu fórmula podrá ser nunca igual a 0.

Dada la sucesión cuyo término general viene dado por la expresión algebraica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcula los cuatro primeros términos y el término que ocupa la posición 15. ¿Observas alguna curiosidad al simplificar la expresión algebraica inicial?

A continuación se presentan varias secuencias numéricas que siguen un patrón lógico. Tu tarea consiste en identificar la regla de formación y escribir los tres términos siguientes para cada una:

• a) $4, \ 7, \ 10, \ 13, \ ...$

• b) $3, \ -6, \ 12, \ -24, \ ...$

• c) $1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \ ...$

• d) $\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, \ ...$

Observa la siguiente construcción geométrica formada por cerillas.

1. Dibuja en tu cuaderno la Figura 4 siguiendo la misma lógica de construcción.

2. Escribe la sucesión numérica que representa el número total de cerillas necesarias para construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Describe con tus propias palabras cómo aumenta el número de cerillas al pasar de una figura a la siguiente.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una sucesión se define por una ley de recurrencia cuando sus términos se obtienen operando con los anteriores. Considera la sucesión definida de la siguiente manera:

• El primer término es $a_1 = 2$.

• El segundo término es $a_2 = 3$.

• Cualquier término siguiente se calcula multiplicando los dos términos inmediatamente anteriores: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcula los términos $a_3, a_4, a_5$ y $a_6$. ¿Crees que esta sucesión crece rápido o lento?

En un supermercado, un empleado está apilando latas de conserva formando una estructura triangular para una promoción.

• En la fila superior (fila 1) coloca 1 lata.

• En la fila inmediatamente inferior (fila 2) coloca 3 latas.

• En la fila 3 coloca 5 latas.

• En la fila 4 coloca 7 latas.

Escribe la sucesión que representa el número de latas por fila y halla una fórmula general ($a_n$) que nos permita saber cuántas latas habrá en la fila $n$ sin tener que contarlas una a una.

Halla el término general ($a_n$) de las siguientes sucesiones. Ten en cuenta que algunas pueden ser aritméticas, geométricas o de cuadrados perfectos:

• a) $5, \ 10, \ 15, \ 20, \ ...$

• b) $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ ...$

• c) $\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{1}{16}, \ ...$

• d) $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ ...$

María está entrenando para una maratón. El primer día corre durante 15 minutos. Su entrenador le ha preparado un plan donde cada día debe correr 4 minutos más que el día anterior.

1. Escribe la sucesión que representa los minutos que corre María durante los primeros 5 días.

2. Si mantiene este plan de entrenamiento, ¿cuántos minutos tendrá que correr el día número 20? Utiliza el término general para calcularlo.

Tenemos una sucesión cuyo término general es $b_n = n^2 - 3n + 2$.

1. Calcula los 5 primeros términos.

2. ¿Existe algún término de la sucesión que valga 0? Si es así, ¿qué posición o posiciones ocupa? Justifica tu respuesta resolviendo la ecuación correspondiente.

En una ciudad española, el servicio municipal de alquiler de bicicletas eléctricas aplica la siguiente tarifa para usuarios no abonados: al desenganchar la bicicleta se cobra una tarifa base de $0,70$ dólares, que cubre los primeros 15 minutos de trayecto. A partir de ahí, por cada nuevo tramo de 15 minutos (o fracción) que comience, se añaden $0,40$ dólares al coste total.

Definimos la sucesión $C_n$ como el importe total en dólares a pagar por un trayecto que dura $n$ tramos de 15 minutos (donde $n = 1$ corresponde a un viaje de hasta 15 minutos, $n = 2$ a un viaje de entre 16 y 30 minutos, etc.).

1) Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión: $C_1, C_2, C_3$ y $C_4$.

2) Deduce la expresión algebraica del término general $C_n$ en función del número de tramos $n$.

3) Un usuario revisa el extracto bancario de la aplicación y ve que le han cobrado exactamente $3,50$ dólares por un único viaje. Plantea la ecuación correspondiente con el término general, halla el valor de $n$ e interpreta el resultado indicando entre qué minutos estuvo comprendida la duración de su desplazamiento.

Se define una sucesión de números reales mediante la siguiente ley de recurrencia: su primer término es $a_1 = 3$ y cada término siguiente se obtiene multiplicando el anterior por 2 y restando 1, es decir, $a_n = 2 \cdot a_{n-1} - 1$ para todo $n \ge 2$.

1) Estima: Sin realizar cálculos largos sobre el papel, estima de forma intuitiva si el décimo término ($a_{10}$) superará el valor de $1\,000$. Justifica brevemente en qué te basas para tu predicción.

2) Calcula: Obtén de forma ordenada los cinco primeros términos de la sucesión ($a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$) aplicando paso a paso la ley de recurrencia.

3) Deduce y comprueba: Compara los valores obtenidos con las potencias de dos ($2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \dots$). Deduce una fórmula directa para el término general $a_n$ en función de $n$, calcula con ella el valor exacto de $a_{10}$ y valora si tu estimación inicial fue acertada.

Observa la siguiente construcción de figuras geométricas formada por pequeños cuadrados.

• La Figura 1 es un solo cuadrado central.

• La Figura 2 se forma añadiendo un cuadrado en cada lado libre de la figura anterior (arriba, abajo, izquierda, derecha).

• La Figura 3 sigue el mismo patrón, añadiendo cuadrados solo en los lados exteriores libres de la figura anterior.

Se pide:

1. Dibuja en tu cuaderno la Figura 4.

2. Escribe la sucesión formada por el número total de cuadrados de las 5 primeras figuras.

3. Razona y encuentra una expresión algebraica para el término general $a_n$ que permita calcular el número de cuadrados de la figura que ocupa la posición $n$.

4. Calcula cuántos cuadrados tendría la Figura 20 sin necesidad de dibujarla.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia las siguientes sucesiones de números reales. Debes identificar el patrón lógico de construcción y hallar el término general $a_n$ en función de $n$ para cada una de ellas.

• Sucesión A: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \dots$

• Sucesión B: $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$

• Sucesión C: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

En informática y diseño de algoritmos es común encontrarse con la sucesión de Collatz, también conocida como la conjetura $3n+1$. Aunque parece sencilla, es uno de los problemas abiertos más famosos de las matemáticas.

La regla de formación es recurrente. Dado un número natural inicial $a_1$, los siguientes términos se obtienen así:

• Si el término anterior $a_{n-1}$ es par, el siguiente es la mitad: $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$.

• Si el término anterior $a_{n-1}$ es impar, el siguiente se obtiene multiplicando por 3 y sumando 1: $a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 1$.

• Escribe la sucesión completa empezando por $a_1 = 13$ hasta que llegues al número 1.

• ¿Cuántos términos tiene la sucesión generada (longitud de la órbita) hasta alcanzar el 1 por primera vez?

• Comprueba qué ocurre si continúas aplicando la regla una vez has llegado al 1. Describe el ciclo que se forma.

Tenemos un polígono regular de $n$ lados. Queremos estudiar la sucesión formada por el número total de diagonales que tiene dicho polígono según aumenta su número de lados.

• $a_3$ (triángulo, 3 lados): 0 diagonales.

• $a_4$ (cuadrado, 4 lados): 2 diagonales.

• $a_5$ (pentágono, 5 lados): 5 diagonales.

• Dibuja un hexágono regular ($n=6$) y traza todas sus diagonales. ¿Cuál es el valor de $a_6$?

• Observa que para pasar de $a_3$ a $a_4$ sumamos 2; de $a_4$ a $a_5$ sumamos 3; de $a_5$ a $a_6$ sumamos 4. Siguiendo este patrón de crecimiento, calcula cuántas diagonales tendrá un decágono ($n=10$).

• El término general de esta sucesión viene dado por la fórmula cuadrática $a_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Utiliza esta fórmula para comprobar tu resultado del apartado anterior.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la sucesión definida por la siguiente ley de recurrencia:

Esta es la famosa Sucesión de Fibonacci.

1. Calcula los 10 primeros términos de la sucesión.

2. Vamos a estudiar el comportamiento del cociente (división) entre dos términos consecutivos. Calcula los siguientes valores con 4 cifras decimales:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. ¿Observas que los resultados se van acercando a un número concreto? Investiga qué número irracional famoso se aproxima al dividir términos consecutivos de esta sucesión cuando $n$ es muy grande.

Imagina un videojuego de plataformas en 2D. El personaje se encuentra al pie de una escalera de $n$ escalones.

El personaje tiene dos formas de subir:

• Subir 1 escalón de un salto.

• Subir 2 escalones de un super-salto.

Queremos saber de cuántas formas distintas ($F_n$) puede llegar a la cima de la escalera.

• Si hay 1 escalón ($n=1$): Solo hay 1 forma (salto de 1). $F_1 = 1$.

• Si hay 2 escalones ($n=2$): Puede hacer (1+1) o (2). Hay 2 formas. $F_2 = 2$.

• Si hay 3 escalones ($n=3$): Puede hacer (1+1+1), (1+2) o (2+1). Hay 3 formas. $F_3 = 3$.

• Calcula de cuántas formas distintas puede subir una escalera de 4 escalones ($F_4$) y de 5 escalones ($F_5$). Descríbelas (por ejemplo: 1+2+1+1).

• Encuentra la relación que existe entre $F_n$, $F_{n-1}$ y $F_{n-2}$.

• Si la escalera tuviera 10 escalones, ¿de cuántas formas distintas podría subirla?

Se define el Triángulo de Sierpinski mediante un proceso iterativo (que se repite) de eliminación de áreas.

Partimos de un triángulo equilátero negro de área $A = 64 \text{ cm}^2$ (Iteración 0).

• Iteración 1: Unimos los puntos medios de los lados y recortamos el triángulo central invertido (ese triángulo blanco se elimina). Nos quedan 3 triángulos negros más pequeños.

• Iteración 2: Repetimos el proceso con cada uno de los 3 triángulos negros restantes.

Se pide:

1. Escribe la sucesión $T_n$ que representa el número de triángulos negros en cada paso (paso 0, paso 1, paso 2, paso 3). ¿Qué tipo de sucesión es?

2. Escribe la sucesión $S_n$ que representa el área negra total que queda en la figura en cada paso.

3. Calcula qué área negra quedará en la figura tras realizar la iteración número 5.

Observa la siguiente sucesión de números periódicos:

Aunque parece que simplemente "se añaden unos", vamos a analizar su valor fraccionario.

1. Escribe los tres primeros términos de la sucesión en forma de fracción irreducible.

2. Encuentra el término general $a_n$ expresado como fracción.

3. Calcula la suma de los dos primeros términos $a_1 + a_2$ y expresa el resultado como fracción.

4. Investiga y razona: ¿Varía el término $a_n$ cuando $n$ es un número muy grande (por ejemplo, con 100 unos) o se mantiene constante? Justifica tu respuesta.

Para calcular el término que ocupa la posición número 80 ($a_{80}$) en la sucesión que comienza por $5, 11, 17, 23, 29, \dots$, dos estudiantes de 3.º de ESO proponen caminos diferentes:

• Método A (Hugo): Define la sucesión mediante una ley de recurrencia: $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} + 6$, y propone usar una hoja de cálculo o calcular a mano sucesivamente cada término hasta llegar al puesto 80.

• Método B (Lucía): Busca una expresión algebraica directa para el término general $a_n$ en función de la posición $n$, y calcula $a_{80}$ sustituyendo directamente $n = 80$.

1) Aplica el método de Lucía: deduce razonadamente la fórmula del término general $a_n$ a partir de la regularidad de los términos dados y calcula el valor exacto de $a_{80}$.

2) Compara críticamente ambos métodos: ¿en qué situación práctica sería preferible o más intuitivo utilizar el método de Hugo, y por qué para responder a la pregunta planteada el método de Lucía es significativamente más ventajoso?

3) Analiza la sucesión de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$). Explica por qué en 3.º de ESO no resulta viable utilizar el método de Lucía con esta sucesión y resulta indispensable recurrir a la ley de recurrencia.

Un laboratorio biomédico en La Habana analiza la proliferación de un cultivo celular dispuesto en una placa con una estructura geométrica concéntrica:

• En la etapa inicial ($n = 1$) hay una única célula central ($c_1 = 1$).

• En la etapa $n = 2$, alrededor de la célula central se forma un primer anillo con 8 células nuevas ($c_2 = 8$).

• En la etapa $n = 3$, el siguiente anillo exterior requiere 16 células nuevas ($c_3 = 16$).

• En la etapa $n = 4$, el siguiente anillo exterior necesita 24 células nuevas ($c_4 = 24$).

Sea $c_n$ la sucesión que indica el número de células nuevas añadidas exclusivamente en el anillo exterior de la etapa $n$ (para $n \ge 2$).

1) Escribe la ley de recurrencia que relaciona $c_n$ con $c_{n-1}$ para $n \ge 3$, y encuentra la expresión algebraica directa del término general $c_n$ en función de $n$ válida para todo $n \ge 2$.

2) Problema inverso: El microscopio del laboratorio solo permite observar con nitidez un anillo exterior si este tiene como máximo 200 células. Plantea la inecuación correspondiente y calcula cuál es la etapa $n$ más avanzada que puede observarse de forma completa y cuántas células exactas tendrá dicho anillo exterior.

3) Demostración algebraica: Un investigador conjetura que la suma de células nuevas de dos anillos exteriores consecutivos cualesquiera, $c_n + c_{n+1}$ (con $n \ge 2$), es siempre un múltiplo de 8 pero nunca puede ser un múltiplo de 16. Demuestra algebraicamente si la afirmación del investigador es verdadera o falsa analizando la expresión resultante de dicha suma.

Reto del tema. ¿Hasta dónde llega un rebote? Modela la física de tu pelota favorita aplicando sucesiones de números reales.

1. Toma de datos: Deja caer una pelota desde $100\text{ cm}$ de altura junto a una pared marcada con una cinta métrica. Grábalo a cámara lenta con tu celular y anota la altura máxima alcanzada en los primeros 4 rebotes ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

2. Modelación: En una hoja de cálculo o GeoGebra, registra tus datos y calcula los cocientes entre términos consecutivos ($a_{n}/a_{n-1}$) para obtener la razón media $r$ (usa decimales con coma, como $0,75$). Escribe el término general de tu progresión: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

3. Análisis y predicción: Predice la altura del octavo rebote y calcula la suma infinita de las alturas $S = \frac{a_1}{1-r}$ y, a partir de ella, la distancia vertical teórica total recorrida en los rebotes, $2S$ (cada rebote es una subida y una bajada).

4. Informe final: Elabora un documento breve con tu tabla, gráfico de la sucesión y una conclusión razonada: ¿por qué la pelota se detiene en la práctica antes de lo que predice el modelo matemático?

Se valorará:

• Rigor en la obtención de la razón $r$, la fórmula del término general y la suma.

• Uso correcto de la hoja de cálculo o GeoGebra para tabular y graficar la sucesión.

• Justificación crítica de las diferencias entre el modelo teórico y la realidad física.