Ejercicios: Operaciones con radicales

Vamos a simplificar expresiones agrupando radicales semejantes. Imagina que $\sqrt{3}$ es como una "x" o una "manzana". Realiza las siguientes sumas y restas:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Utiliza la propiedad del producto de raíces con el mismo índice ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$) para agrupar estas operaciones en una sola raíz y, si es posible, calcular el resultado final exacto:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Cuando tenemos una raíz dentro de otra raíz, podemos simplificarla multiplicando sus índices ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Simplifica las siguientes expresiones a una única raíz:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

A veces los números dentro de la raíz tienen factores que "sobran" y pueden salir fuera. Extrae fuera de la raíz todos los factores que puedas de los siguientes radicales.

• $\sqrt{2^5}$

• $\sqrt{3^3}$

• $\sqrt{5^4}$

• $\sqrt[3]{2^4}$

Queremos vallar un terreno cuadrado cuya superficie total es de $225 \text{ m}^2$. Para saber cuántos metros de valla necesitamos, primero debemos calcular cuánto mide el lado del cuadrado.

1. Calcula la longitud del lado ($l$) sabiendo que el área es $l^2 = 225$.

2. Calcula el perímetro total del terreno.

Vas a comprar una televisión nueva y las medidas se dan en pulgadas de la diagonal. La pantalla tiene forma rectangular con una anchura de 40 cm y una altura de 30 cm. Utilizando el Teorema de Pitágoras ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), calcula cuánto mide la diagonal de la pantalla en centímetros.

Nota: El resultado es una raíz exacta.

En un examen de 3.º de ESO, Elena tiene que simplificar la operación $\sqrt{64 + 36}$. En su hoja escribe lo siguiente: «Como la raíz se reparte a cada sumando, tenemos $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$». Animada por la rapidez de su método, en el siguiente ejercicio intenta simplificar $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ escribiendo: «$\sqrt{50 - 18} = \sqrt{32}$».

1. a) Calcula el valor numérico real de $\sqrt{64 + 36}$ realizando primero la suma interior y explica por qué el procedimiento de Elena demuestra que la raíz cuadrada no es distributiva respecto de la suma.
2. b) Señala el error conceptual que cometió en la segunda operación ($\sqrt{50} - \sqrt{18}$).
3. c) Resuelve de forma correcta la operación $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ extrayendo factores de cada radical hasta obtener un único radical semejante irreducible.

Se quiere calcular el valor exacto de la expresión $E = \sqrt{75} - \sqrt{27}$.

1. a) Estima: Sin utilizar calculadora ni simplificar todavía los radicales, determina entre qué dos números enteros consecutivos se sitúa $\sqrt{75}$ y entre cuáles se encuentra $\sqrt{27}$. A partir de esas aproximaciones enteras, da un intervalo estimado para el resultado de la resta $E$.
2. b) Calcula: Descompón en factores primos los radicandos, extrae todos los factores posibles de ambas raíces y agrupa los radicales semejantes para obtener el valor exacto en la forma $k\sqrt{3}$.
3. c) Comprueba: Tomando la aproximación $\sqrt{3} \approx 1,73$, halla el valor decimal de tu resultado del apartado b) y razona si tu estimación inicial era coherente con el resultado obtenido.

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales. Recuerda que para operar deben tener el mismo índice. Si es posible, simplifica el resultado final extrayendo factores de la raíz.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales. Ten en cuenta el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos.

1. a) $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$
2. b) $\sqrt[3]{81}$
3. c) $\sqrt{12x^3 y^4}$
4. d) $\sqrt[4]{32}$

Calcula el perímetro y el área de un terreno rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por radicales. La base mide $\sqrt{27}$ metros y la altura $\sqrt{3}$ metros. Simplifica los resultados al máximo.

Para realizar sumas y restas con radicales, estos deben ser semejantes (mismo índice y mismo radicando). Simplifica los siguientes radicales descomponiendo los números en factores primos y opera:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Tenemos un depósito de agua con forma de cubo. Sabemos que su volumen total es de $128 \text{ m}^3$. Calcula cuánto mide la arista del depósito. Expresa el resultado como un radical simplificado (extrayendo factores) y no uses decimales.

(Ayuda: Recuerda que el volumen de un cubo es $V = \text{arista}^3$)

Las potencias de exponente fraccionario son otra forma de escribir radicales. Utiliza esta relación para simplificar las siguientes expresiones y da el resultado final en forma de raíz:

1. a) Escribe $5^{3/4}$ en forma de raíz.
2. b) Escribe $\sqrt[5]{2^3}$ en forma de potencia.
3. c) Calcula expresando como potencia primero: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Simplifica: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Aplica las propiedades de la raíz de una raíz y la potencia de una raíz para simplificar las siguientes expresiones a un único radical irreducible:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Pista: Introduce el primer 2 dentro de la segunda raíz)

Queremos colocar un cable tensor para sujetar un poste vertical de 4 metros de altura. El cable se anclará al suelo a una distancia de $\sqrt{20}$ metros de la base del poste. Calcula la longitud exacta del cable necesaria utilizando el Teorema de Pitágoras. Expresa el resultado como un radical simplificado.

Para simplificar la expresión numérica $M = \dfrac{\sqrt{72} \cdot \sqrt{54}}{\sqrt{3}}$, dos estudiantes del preuniversitario proponen caminos distintos:

• Método de Marcos: Agrupar los tres términos bajo un único radical de índice 2 aplicando las propiedades de multiplicación y división de raíces de igual índice ($\sqrt{\frac{72 \cdot 54}{3}}$), simplificar la fracción dividiendo antes de multiplicar números grandes y, al final, extraer factores.

• Método de Sara: Descomponer en factores primos $72$ y $54$ desde el principio, extraer todos los factores posibles fuera de cada raíz, multiplicar los coeficientes y las raíces resultantes, y simplificar el cociente final.

1. a) Resuelve la expresión paso a paso aplicando el método de Marcos.
2. b) Resuelve la misma expresión paso a paso aplicando el método de Sara.
3. c) Compara ambos procedimientos: ¿cuál de los dos caminos te ha parecido más directo y con menor riesgo de cometer errores de cálculo mental? Justifica tu respuesta.

En el parque de atracciones Isla de Coco de La Habana, los técnicos revisan la velocidad que alcanza una cabina de caída libre. Según los modelos físicos, la velocidad teórica $v$ (en metros por segundo, $\text{m/s}$) que alcanza un cuerpo al caer libremente desde una altura $h$ (en metros), despreciando el rozamiento del aire, viene dada por la fórmula:

$$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$$

donde $g$ es la aceleración de la gravedad, que para estas pruebas se redondea a $g = 10\text{ m/s}^2$.

Se efectúan dos pruebas de control: una desde una altura intermedia $h_1 = 20\text{ m}$ y otra desde la altura máxima $h_2 = 45\text{ m}$.

1. a) Sustituye los datos y calcula las velocidades teóricas exactas, $v_1$ y $v_2$, extrayendo factores de los radicales hasta obtener un número entero en cada caso.
2. b) Un operario afirma: «Como la diferencia de alturas es $45 - 20 = 25\text{ m}$, la diferencia entre ambas velocidades ($v_2 - v_1$) tiene que coincidir con la velocidad que alcanzaría la cabina cayendo desde $25\text{ m}$». Calcula la velocidad que corresponde a una caída desde $25\text{ m}$ y, apoyándote en las propiedades de los radicales, justifica razonadamente por qué la afirmación del operario es falsa.

En un estudio de arquitectura se ha diseñado una pieza decorativa triangular para una fachada. La pieza es un triángulo isósceles (dos lados iguales y uno desigual).

Sabemos que los dos lados iguales miden $\sqrt{45}$ metros cada uno, y la base (el lado desigual) mide $\sqrt{72}$ metros.

Utilizando el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los radicales (extracción de factores y simplificación), calcula la altura ($h$) exacta de dicho triángulo. Expresa el resultado como un número entero o un radical simplificado al máximo.

Simplifica al máximo la siguiente expresión numérica. Para ello, deberás descomponer los radicandos en factores primos, extraer factores fuera de la raíz y operar con fracciones. El resultado final debe expresarse utilizando un único radical irreductible.

$$ A = 2\sqrt{75} - \sqrt{\frac{147}{4}} + \frac{5}{2}\sqrt{12} - \sqrt{300} $$

Tenemos tres depósitos de agua con formas cúbicas diferentes.

• El depósito A tiene una capacidad de $2$ metros cúbicos.

• El depósito B tiene una arista que mide exactamente el doble que la arista del depósito A.

• El depósito C tiene una arista que mide la mitad que la arista del depósito A.

• Calcula la longitud exacta de la arista del depósito A expresándola como radical.

• Calcula el volumen exacto del depósito B y del depósito C utilizando las propiedades de las potencias y los radicales. No uses decimales.

Expresa el resultado de la siguiente operación como una única potencia de exponente fraccionario. Para lograrlo, deberás convertir todos los radicales a potencias, aplicar las propiedades de las potencias (producto y cociente de bases iguales) y simplificar el exponente final.

$$ \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot \sqrt{a}}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}} $$

Comprueba si el número irracional $\phi = 1 + \sqrt{5}$ es solución de la ecuación cuadrática:

$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Para ello, sustituye la $x$ por $(1 + \sqrt{5})$, desarrolla el cuadrado del binomio (identidad notable) y opera los términos semejantes hasta ver si el resultado final es cero.

El volumen de una esfera gigante utilizada en un planetario es de $500 \pi$ metros cúbicos.

Sabiendo que la fórmula del volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:

1. Despeja el radio $r$ en función del volumen.

2. Sustituye el volumen dado y calcula el valor exacto del radio simplificando el radical al máximo (extrayendo factores fuera de la raíz cúbica).

Realiza las siguientes operaciones agrupando los términos en una sola raíz. Recuerda que para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero debes reducirlos a índice común (mínimo común múltiplo de los índices).

1. a) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{8} $

1. b) $ \frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}} $

Una bacteria tiene forma cuadrada y su área es de $2,25 \cdot 10^{-10}$ metros cuadrados.

Calcula cuánto mide el lado de la bacteria. Expresa el resultado final en notación científica y en milímetros. (Recuerda que $\sqrt{a \cdot 10^n} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^n}$).

Una arquitecta diseña un parterre rectangular para una plaza peatonal en Camagüey. El proyecto exige que el área exacta sea de $\sqrt{216}\text{ m}^2$ y que la anchura mida $\sqrt{6}\text{ m}$.

1. a) Plantea la ecuación que relaciona el área con los lados, despeja la longitud del largo y calcula su medida simplificando al máximo el cociente de radicales.
2. b) Para delimitar otra zona ajardinada se encarga un bordillo de longitud exacta $L = 5\sqrt{2}\text{ metros}$. El bordillo se construirá ensamblando dos piezas contiguas cuyas medidas vienen dadas por raíces cuadradas no exactas de números naturales distintos, es decir, $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 5\sqrt{2}$, con $a$ y $b$ números naturales tales que $a < b$ y ninguno de ellos es un cuadrado perfecto. Encuentra todas las parejas posibles de números $(a, b)$ que cumplen estas condiciones y justifica con detalle por qué no existen más soluciones.

Considera la siguiente ecuación donde intervienen radicales anidados con distintos índices:

$$\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{x} = 8$$

1. a) Para simplificar el miembro izquierdo se pueden seguir dos estrategias teóricas:

• Estrategia A (propiedades de radicales): Introducir la $x$ exterior dentro de la raíz cúbica, aplicar la propiedad de la raíz de una raíz y finalmente multiplicar radicales de igual índice.

• Estrategia B (exponentes fraccionarios): Expresar cada radical y factor como una potencia de exponente fraccionario y aplicar las reglas de producto y potencia de potencias de la misma base.

Elige una de las dos estrategias, desarróllala paso a paso y demuestra que el miembro izquierdo se simplifica exactamente a $x$.

1. b) A partir del resultado obtenido, indica qué valor debe tomar $x$ para que se cumpla la igualdad.
2. c) Un compañero sostiene que $x = -8$ también podría ser solución válida en los números reales porque $(-8) \cdot \sqrt[3]{-8} = 16 > 0$ y su raíz cuadrada existe. Sustituye $x = -8$ en el miembro izquierdo de la ecuación original, calcula su valor numérico respetando la jerarquía y los signos, y razona por qué queda descartado como solución de la ecuación.

Reto del tema. ¿Cómo optimizarías los materiales de reforma de tu casa? Transforma dos estancias en espacios cuadrados equivalentes aplicando el cálculo con radicales.

1. Toma de datos reales: Mide con una cinta métrica el largo y ancho de dos habitaciones de tu casa. Calcula en una hoja de cálculo sus áreas reales $A_1$ y $A_2$ redondeadas a números enteros (por ejemplo, $18\text{ m}^2$ y $8\text{ m}^2$).

2. Extracción de factores: Imagina que redistribuyes cada estancia como una superficie cuadrada. Plantea sus lados exactos: $l_1 = \sqrt{A_1}$ y $l_2 = \sqrt{A_2}$. Descompón los radicandos en factores primos y extrae factores para obtener radicales simplificados.

3. Operaciones con radicales: Calcula la longitud total de rodapié necesaria sumando los perímetros de ambas estancias ($4l_1 + 4l_2$) operando con radicales semejantes en valor exacto. Halla también la diagonal exacta de la estancia mayor ($d = l_1 \cdot \sqrt{2}$).

4. Propuesta razonada: Redacta un informe breve con la tabla de medidas, el desarrollo algebraico exacto y la aproximación final a dos decimales para presupuestar el rodapié a $2,75\text{ \$/m}$.

Se valorará:

• Rigor en la medición real y modelización de áreas cuadradas.

• Destreza en la descomposición, extracción de factores y suma de radicales semejantes.

• Claridad del informe contrastando la precisión del cálculo exacto frente al redondeo comercial.