Ejercicios: Repartos proporcionales

Tres amigos, Alex, Bea y Cris, han participado en un torneo de videojuegos por equipos y han ganado un cofre con $240$ monedas de oro virtuales. Han decidido repartir el botín de forma directamente proporcional al número de niveles que cada uno ha superado: Alex superó $2$ niveles, Bea $3$ niveles y Cris $5$ niveles. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada uno?

Una asociación juvenil ha recibido una subvención de $1200$ dólares para organizar talleres. El dinero se debe repartir entre tres grupos locales de forma directamente proporcional al número de voluntarios que tiene cada grupo: el Grupo A tiene $10$ voluntarios, el Grupo B tiene $15$ y el Grupo C tiene $25$. Calcula cuánto dinero recibirá cada grupo.

En un concurso de robótica, se reparten $140$ puntos extra de forma inversamente proporcional al número de errores cometidos en el circuito. Si el equipo "Alfa" cometió $1$ error, el equipo "Beta" cometió $2$ errores y el equipo "Gamma" cometió $4$ errores, ¿cuántos puntos recibirá cada equipo?

Tres hermanos ayudan a sus abuelos a recoger la cosecha de almendras. Los abuelos les dan una propina total de $90$ dólares para repartir de forma directamente proporcional a las horas que cada uno ha trabajado. Si el mayor trabajó $5$ horas, el mediano $3$ horas y el pequeño $1$ hora, ¿cuánto dinero le toca a cada uno?

Un gobierno municipal quiere premiar el reciclaje y reparte $3000$ dólares entre tres escuelas de forma directamente proporcional a los kilogramos de papel reciclado. La escuela "El Olivo" recicló $600$ kg, la escuela "La Ceiba" $900$ kg y la escuela "El Pino" $1500$ kg. Determina la cantidad de dinero que corresponde a cada escuela.

Tres amigos alquilan un carro para hacer un viaje y deben pagar una fianza de $180$ dólares. Deciden que el reparto de la devolución de la fianza (si no hay daños) será inversamente proporcional a las veces que cada uno haya tenido que ser advertido por el chofer por no ponerse el cinturón. Si Dani tuvo $2$ avisos, Elena $3$ avisos y Fede $6$ avisos, ¿qué parte de los $180$ dólares recuperará cada uno?

Tres camareros de una cafetería han decidido repartirse el bote de propinas de la semana, que asciende a $210$ dólares, de forma directamente proporcional a los días que ha trabajado cada uno: Juan trabajó $2$ días, Marta $5$ días y Pedro trabajó la semana completa ($7$ días). ¿Cuánto dinero de las propinas le corresponde a cada uno?

Daniel quiere repartir $180$ dólares entre sus tres sobrinos de $6$, $8$ y $12$ años de forma inversamente proporcional a sus edades para premiar a los más pequeños. Para resolverlo, Daniel afirma: «Como es un reparto inverso, le asigno a cada uno la edad del otro: al de $6$ años le corresponden $12$ partes, al de $12$ años le corresponden $6$ partes y al de $8$ años le dejo $8$ partes. Sumo $12 + 8 + 6 = 26$, calculo la constante dividiendo $180$ entre $26$ y multiplico por las partes de cada uno». a) Explica detalladamente por qué el razonamiento de Daniel es matemáticamente erróneo al haber tres participantes y qué propiedad de las fracciones no ha tenido en cuenta. b) Corrige el ejercicio realizando el reparto inversamente proporcional de forma adecuada y comprueba que la suma de las cantidades repartidas coincide con los $180$ dólares disponibles.

Tres estudiantes comparten apartamento en La Habana durante el mes de julio y acuerdan repartir la factura de la electricidad y el aire acondicionado ($90$ dólares) de forma directamente proporcional a los días que ha residido cada uno en la vivienda: Lucía estuvo $15$ días, Marcos estuvo $20$ días y Sara estuvo $25$ días. a) Antes de calcular el resultado exacto, estima de forma razonada la cantidad aproximada que pagará Sara: teniendo en cuenta que la suma de los días es $60$, ¿su aportación debe ser mayor o menor que un tercio del total ($30$ dólares)?, ¿y mayor o menor que la mitad ($45$ dólares)? Justifica tu previsión. b) Realiza el reparto proporcional directo exacto calculando la constante de proporcionalidad $k$ (costo por día) y la cantidad que debe pagar cada estudiante. c) Comprueba que la suma de las tres aportaciones es de $90$ dólares y analiza si el resultado obtenido para Sara confirma tu estimación inicial.

Tres amigos deciden participar en un torneo de E-Sports por equipos. Tras ganar el primer premio, la organización les entrega un cofre con $2700$ monedas virtuales. Para ser justos, deciden repartir las monedas de forma directamente proporcional a los puntos de experiencia (XP) que cada uno aportó en la partida final: Álex aportó $12$ puntos, Bea $15$ puntos y Cristian $18$ puntos. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada uno?

Para fomentar la lectura, una biblioteca juvenil reparte un lote de $155$ cómics entre los tres usuarios que más libros han leído en el último trimestre. El reparto será directamente proporcional al número de libros leídos. Si los usuarios leyeron $12$, $18$ y $32$ libros respectivamente, ¿cuántos cómics recibirá cada uno? (Nota: Si el resultado no es entero, redondea a la unidad más cercana y justifica si el reparto es exacto).

Tres hermanos deben repartirse las tareas del hogar. Su madre decidió que el número de horas que cada uno dedicará a limpiar el jardín será inversamente proporcional a las notas medias que han obtenido en el curso: Arnaldo tiene un $9$, Amina un $8$ y Jorge un $6$. Si en total tienen que cubrir $74$ horas de trabajo entre los tres, ¿cuántas horas le corresponden a cada uno?

Tres socios de una "startup" de mensajería ecológica invirtieron inicialmente diferentes cantidades: $\$4000$, $\$7000$ y $\$9000$. Al finalizar el año, han obtenido un beneficio neto de $\$12000$. ¿Cómo deben repartirse las ganancias de forma directamente proporcional a su inversión inicial?

Un grupo de tres agricultores decide alquilar una maquinaria por $\$570$. El costo se repartirá de forma directamente proporcional a la superficie de sus parcelas, que miden $3$, $5$ y $7$ hectáreas respectivamente. Sin embargo, el dueño de la maquinaria les hace un descuento del $10 \%$ sobre el total por ser temporada baja. ¿Cuánto tendrá que pagar cada agricultor después de aplicar el descuento?

Una competición de relevos reparte $\$900$ entre los tres equipos que llegaron primero a la meta. El premio es inversamente proporcional al tiempo total empleado. El equipo "Rayo" tardó $10$ minutos, el equipo "Gacela" tardó $12$ minutos y el equipo "Flecha" tardó $15$ minutos. ¿Qué cantidad de dinero corresponde a cada equipo? Explica por qué el equipo que tardó menos tiempo recibe la mayor cantidad.

En una jornada escolar de atletismo organizada por el gobierno municipal se reparten $420$ puntos de clasificación entre tres escuelas de forma directamente proporcional al número de medallas obtenidas. La Escuela San Viator consiguió $5$ medallas y la Escuela Parque de las Avenidas logró $7$ medallas. Al publicarse los resultados oficiales, a la tercera escuela, la Escuela Mayorazgo, le correspondieron exactamente $180$ puntos. a) A partir de la definición de constante de proporcionalidad o planteando una ecuación, deduce cuántas medallas consiguió la Escuela Mayorazgo. b) Calcula cuántos puntos recibió cada una de las otras dos escuelas y comprueba que la suma de las puntuaciones de los tres centros asciende a los $420$ puntos totales.

Una comunidad de regantes de la huerta murciana recibe una subvención autonómica de $38\,000$ dólares destinada a modernizar sus acequias frente a la sequía. La asamblea acuerda distribuir el dinero combinando dos criterios: de forma directamente proporcional a la superficie cultivada (en hectáreas) e inversamente proporcional al consumo de agua registrado en la campaña previa (en miles de $\text{m}^3$), premiando a quienes tienen más tierra pero han demostrado mayor ahorro. Los datos de tres fincas son: Parcela A ($12$ ha y consumo de $4$ miles de $\text{m}^3$), Parcela B ($10$ ha y consumo de $2$ miles de $\text{m}^3$) y Parcela C ($9$ ha y consumo de $6$ miles de $\text{m}^3$). a) Modela la situación calculando el índice de reparto relativo de cada parcela al combinar ambos criterios. b) Halla la cuantía de la subvención correspondiente a cada una de las fincas y comprueba que la suma total cubre exactamente los $38\,000$ dólares asignados.

Una empresa de "Escape Room" ofrece un bono mensual de $\$450$ a repartir entre los tres equipos que logren salir de su sala más difícil en menos de una hora. El reparto se hace de forma inversamente proporcional al tiempo empleado. El equipo "Alpha" salió en $40$ minutos, el equipo "Beta" en $45$ minutos y el equipo "Gamma" en $50$ minutos. Calcula la parte del premio que le corresponde a cada equipo.

Tres municipios deciden subvencionar un proyecto de reforestación con un total de $\$120000$. El aporte de cada municipio será inversamente proporcional al número de hectáreas de bosque quemadas en su territorio el año anterior. El municipio A tuvo $200$ ha quemadas, el B tuvo $500$ ha y el C tuvo $800$ ha. Si el municipio con más incendios reclama la decisión y se decide que el reparto sea directamente proporcional a dichas hectáreas para ayudar a los más afectados, ¿cuánta diferencia de dinero habría para el municipio B entre el primer método y el segundo?

Un abuelo desea repartir $\$44400$ entre sus tres nietos de $15, 20$ y $30$ años de manera que el reparto sea inversamente proporcional a sus edades. Antes de realizar el reparto, el nieto mediano decide donar el $25\%$ de su parte a una ONG. ¿Qué cantidad neta acabará recibiendo el nieto de $20$ años?

Un club ciclista dispone de un premio de $1860$ dólares para repartir entre tres corredores de forma inversamente proporcional a las penalizaciones de tiempo acumuladas en la temporada: Brais cometió $2$ minutos de penalización, Carmen acumuló $3$ minutos y Diego tuvo $5$ minutos. Para resolverlo, dos miembros de la directiva proponen caminos distintos: Método A (usar directamente los inversos fraccionarios $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ y $\dfrac{1}{5}$, sumarlos y calcular $k = \dfrac{1860}{\sum \text{inversos}}$) y Método B (reducir los inversos a común denominador mediante $\text{m.c.m.}(2, 3, 5) = 30$, tomar los numeradores enteros resultantes $15$, $10$ y $6$, y repartir directamente a esos números). a) Desarrolla por completo ambos métodos paso a paso y comprueba que los importes asignados a cada ciclista coinciden en los dos casos. b) Justifica formalmente por qué multiplicar todas las fracciones por el m.c.m. en el Método B no altera la proporción del reparto. c) Argumenta cuál de los dos métodos resulta más eficiente y con menor riesgo de error en un examen si el reparto fuera entre cuatro o más personas con denominadores grandes.

Una empresa de mensajería urgente en Santa Clara reparte una gratificación trimestral de $6600$ dólares entre tres de sus mensajeros (Alba, Bruno y Clara) de forma inversamente proporcional al número de paquetes entregados con retraso. En el registro consta que Alba tuvo $2$ retrasos y Bruno acumuló $6$ retrasos, pero el dato de Clara ($c$ retrasos) se ha borrado por un fallo informático. No obstante, el informe contable confirma que Alba recibió en su salario exactamente $2200$ dólares más que Bruno. a) Modela la constante de proporcionalidad $k$ y la asignación económica de cada trabajador mediante expresiones algebraicas en función del valor desconocido $c$. b) A partir de la diferencia de dinero entre Alba y Bruno, plantea y resuelve una ecuación de primer grado para determinar con exactitud cuántos retrasos $c$ cometió Clara. c) Realiza el reparto definitivo con el número de retrasos hallado y comprueba que se satisfacen simultáneamente las dos condiciones: que la suma de los tres pagos sea $6600$ dólares y que la diferencia entre Alba y Bruno sea de $2200$ dólares.