Ejercicios: Razones y proporciones

Calcula el valor de la razón de cada par de cantidades e interpreta el resultado:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerezas cuestan $\$10,50$.

1. b) Una grava ciclista recorre $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$.

1. c) Una botella contiene $2\ \text{L}$ y un bidón, $25\ \text{L}$.

Comprueba, calculando el producto de extremos y el producto de medios, si los siguientes pares de razones forman una proporción:

1. a) $\frac{6}{4}$ y $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ y $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ y $\frac{5}{8}$

Halla el cuarto proporcional en cada caso:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Dos varillas metálicas miden $8\ \text{dm}$ y $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcula la razón entre la longitud de la primera y la de la segunda, y simplifícala.

1. b) Calcula la razón entre la segunda y la primera.

1. c) ¿Cómo son entre sí las dos razones obtenidas? ¿Ocurre siempre?

Con los números $3$, $6$, $4$ y $8$, forma:

1. a) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los extremos.

1. b) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los medios.

1. c) Comprueba en ambas que el producto de extremos es igual al producto de medios.

Un mapa de carreteras está dibujado a escala $1 : 300.000$.

1. a) Explica el significado de esa razón.

1. b) ¿Qué distancia real representan $5\ \text{cm}$ del mapa?

1. c) Dos pueblos distan $21\ \text{km}$ en la realidad. ¿A qué distancia están en el mapa?

Lucía y su hermano preparan un refresco mezclando jugo de naranja y agua con gas en una razón de $3 : 2$ (es decir, por cada $3$ vasos de jugo de naranja añaden $2$ vasos de agua). Como llegan amigos a casa y necesitan más cantidad, Lucía propone: «Para hacer más refresco manteniendo exactamente el mismo sabor, añadamos $2$ vasos más de naranja y $2$ vasos más de agua; como sumamos la misma cantidad a los dos ingredientes, la proporción no cambia».\na) Calcula el valor numérico de la razón original y el valor de la nueva razón tras aplicar la propuesta de Lucía. ¿Tienen el mismo sabor ambos refrescos? Justifica tu respuesta comparando los valores decimales de ambas razones.\nb) Identifica y explica razonadamente el error conceptual que ha cometido Lucía sobre el significado de razón y proporción.\nc) Corrige la receta de Lucía: si decide añadir $3$ vasos más de agua con gas, ¿cuántos vasos de jugo de naranja debe añadir para conservar exactamente la proporción inicial?

En un albergue de animales, la razón entre el número de gatos y el número de perros acogidos es de $4 : 7$.

1. a) Sabiendo que en total hay más de $30$ animales y menos de $40$, deduce cuántos gatos y cuántos perros hay en el albergue sin recurrir al tanteo a ciegas. Explica con claridad la propiedad numérica en la que te basas para asegurarlo.
2. b) Escribe la proporción matemática completa que relaciona el número de gatos y perros con la razón simplificada dada, indicando explícitamente cuáles son los extremos y cuáles los medios.
3. c) Si mañana se adoptan $2$ gatos y $2$ perros, comprueba mediante la regla de los productos cruzados si la proporción entre ambas especies se mantiene o se altera.

Halla el valor de $x$ en estas proporciones:

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Halla el medio proporcional en cada caso, es decir, el valor positivo de $x$ que cumple la proporción continua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Un carpintero fabrica marcos cuya parte decorativa central es un cuadrado. Para que el marco guarde la misma proporción en todos los tamaños, el lado $x$ del cuadrado debe ser el medio proporcional entre el ancho interior y el ancho exterior del marco.

1. a) Para un marco con ancho interior de $9\ \text{cm}$ y ancho exterior de $25\ \text{cm}$, plantea la proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ y halla el lado del cuadrado.

1. b) Comprueba que las dos razones valen lo mismo.

1. c) Si el ancho interior es de $8\ \text{cm}$ y el cuadrado decorativo mide $12\ \text{cm}$ de lado, ¿cuál es el ancho exterior del marco?

Dos comarcas vinícolas comparan su producción. La comarca A cosecha $4.500\ \text{t}$ de uva en $1.800\ \text{ha}$ de viñedo; la comarca B, $6.240\ \text{t}$ en $2.400\ \text{ha}$.

1. a) Calcula la razón entre la producción y la superficie en cada comarca, con su unidad.

1. b) ¿Cuál de las dos obtiene mayor rendimiento por hectárea?

1. c) Si la comarca A aumentara su superficie a $2.000\ \text{ha}$ manteniendo el rendimiento, ¿qué producción esperaría?

Una lanzadora de jabalina entrena con una señal situada a $60\ \text{m}$ y tarda $4,8\ \text{s}$ en recorrer esa distancia en su carrera de impulso.

1. a) Calcula la razón entre la distancia y el tiempo, en $\text{m/s}$.

1. b) Exprésala en $\text{km/h}$.

1. c) ¿Es correcto calcular la razón entre $60\ \text{m}$ y $4,8\ \text{s}$ sin fijarse en las unidades? ¿Por qué hay que indicarlas siempre al interpretar una razón?

El Partenón de Atenas se diseñó buscando la proporción áurea: la razón entre el lado mayor y el menor de sus rectángulos es aproximadamente $\frac{8}{5} = 1,6$.

1. a) Una ventana mide $1,92\ \text{m}$ de alto y $1,20\ \text{m}$ de ancho. Calcula la razón entre sus lados. ¿Está en proporción áurea?

1. b) Otra ventana mide $2\ \text{m}$ de alto. ¿Cuánto debe medir de ancho para que la razón entre el alto y el ancho sea $1,6$?

1. c) Mide en tu casa tres rectángulos cotidianos (una puerta, un libro, una pantalla) y comprueba si alguno se acerca a la proporción áurea.

Para organizar una excursión senderista por la Sierra del Escambray, utilizas un mapa oficial del Instituto Cubano de Geodesia y Cartografía (ICGC) a escala $1 : 25.000$. En el mapa, la longitud del recorrido que quieres realizar mide exactamente $18,4\text{ cm}$.\na) Antes de calcular el valor exacto, haz una estimación: razona cuántos metros reales representa $1\text{ cm}$ en el mapa y estima mentalmente entre qué dos valores enteros de kilómetros se encontrará la distancia real del recorrido.\nb) Plantea la proporción que define la escala del mapa, calcula la distancia real en kilómetros utilizando la igualdad de productos cruzados y comprueba si tu estimación inicial era acertada.\nc) Si el grupo camina a una razón constante de $4\text{ km/h}$, calcula cuánto tiempo tardará en completar el trayecto (expresa el resultado en horas y minutos) y valora si es razonable realizar la excursión en una sola mañana.

Según el informe oficial de la Dirección General del Agua de España, la cuenca hidrográfica del Guadalquivir dispone de una capacidad total de $8.030\text{ hm}^3$ y contiene $2.409\text{ hm}^3$ embalsados, mientras que la cuenca del Cantábrico Oriental tiene una capacidad total de $70\text{ hm}^3$ y contiene $56\text{ hm}^3$ embalsados.\na) Modela la situación calculando la razón entre el volumen embalsado y la capacidad total para cada una de las dos cuencas. Interpreta qué información aporta cada resultado más allá de la cifra bruta de agua.\nb) Un titular de prensa afirma: «La cuenca del Guadalquivir goza de una situación hídrica mucho mejor porque acumula más de $40$ veces la cantidad de agua del Cantábrico Oriental». Argumenta críticamente por qué esa afirmación es engañosa apoyándote en las razones calculadas.\nc) Plantea una proporción para determinar cuántos hectómetros cúbicos de agua tendría que tener embalsados la cuenca del Guadalquivir para encontrarse en la misma proporción de llenado relativo que la del Cantábrico Oriental, y calcula dicho cuarto proporcional.

Una alumna afirma lo siguiente:

«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, entonces también se cumple $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque solo he cambiado el orden de los números.»

1. a) Comprueba si la primera igualdad es una proporción verdadera.

1. b) Comprueba si la segunda igualdad también es cierta. ¿Ha acertado?

1. c) La regla correcta dice que en una proporción se pueden permutar los medios o permutar los extremos. Aplícala a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ y escribe dos proporciones equivalentes verdaderas.

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa, suponiendo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es una proporción verdadera. Justifícalo usando el producto de extremos y medios:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»

Se quiere construir un cuadrado que tenga exactamente el mismo área que un rectángulo de $9\ \text{cm}$ por $16\ \text{cm}$, como se muestra en la figura.

1. a) Si el lado del cuadrado es $x$, plantea la ecuación $x^2 = 9 \cdot 16$.

1. b) Reescribe la ecuación como una proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. ¿Qué es $x$ respecto a $9$ y $16$?

1. c) Calcula $x$ y comprueba que las áreas coinciden.

1. d) ¿Cuál sería el lado del cuadrado equivalente a un rectángulo de $5\ \text{cm}$ por $45\ \text{cm}$?

Tarea de decisión. Una tienda de electrónica anuncia tres monitores como «panorámicos 16:9», es decir, con una razón entre el ancho y el alto de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. Las medidas reales del panel de cada modelo son:

• Modelo 1: $53\ \text{cm}$ de ancho y $30\ \text{cm}$ de alto.

• Modelo 2: $62\ \text{cm}$ de ancho y $34\ \text{cm}$ de alto.

• Modelo 3: $71\ \text{cm}$ de ancho y $40\ \text{cm}$ de alto.

1. a) Calcula la razón ancho/alto de cada modelo con dos decimales.

1. b) ¿Qué modelos cumplen de verdad la proporción 16:9 (admite un error de $0,02$)?

1. c) Un cliente quiere colocar el monitor en un hueco de $65\ \text{cm}$ de ancho y $38\ \text{cm}$ de alto. ¿Qué modelo, de los que cumplen la proporción, cabe en el hueco? Justifica tu decisión con cálculos.

Un estudio de arquitectura diseña dos ventanas rectangulares. La ventana A mide $60\text{ cm}$ de ancho por $90\text{ cm}$ de alto, y la ventana B mide $80\text{ cm}$ de ancho por $120\text{ cm}$ de alto. Para verificar si ambas ventanas son proporcionales, se barajan tres métodos:\n- Método 1: Calcular la razón interna $\dfrac{\text{alto}}{\text{ancho}}$ de cada ventana y comparar si los resultados coinciden.\n- Método 2: Calcular las razones externas entre medidas homólogas ($\dfrac{\text{ancho B}}{\text{ancho A}}$ y $\dfrac{\text{alto B}}{\text{alto A}}$) y verificar si son iguales.\n- Método 3: Plantear la proporción $\dfrac{60}{90} = \dfrac{80}{120}$ y comprobar si se cumple la igualdad de productos cruzados: $60 \cdot 120 = 90 \cdot 80$.\na) Desarrolla numéricamente los tres métodos y demuestra formalmente por qué la igualdad $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ garantiza matemáticamente que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$ y que $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$.\nb) Ahora te piden analizar una ventana C de $75\text{ cm} \times 110\text{ cm}$. Elige razonadamente cuál de los tres métodos resulta más directo para comprobar si es proporcional a la ventana A y aplícalo justificando tu conclusión.\nc) Si se construye una ventana D cuyas dimensiones multiplican por $3$ el perímetro de la ventana A manteniendo la proporción entre sus lados, ¿en qué razón varían su ancho, su alto y el valor de su razón de aspecto?

En una proporción continua, los medios son iguales: $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$, de modo que el término $x = \sqrt{a \cdot b}$ recibe el nombre de medio proporcional entre los extremos $a$ y $b$.\na) Encuentra todos los pares de números enteros positivos $(a, b)$ con $a < b$ tales que su medio proporcional sea exactamente $x = 12$. Muestra el procedimiento deductivo a partir de la descomposición factorial de $12^2$, sin recurrir a tanteos desordenados.\nb) De todas las parejas obtenidas en el apartado anterior, identifica cuál presenta la menor diferencia posible entre sus extremos ($b - a$) y escribe la proporción continua correspondiente comprobando que los productos cruzados coinciden.\nc) Demuestra de forma algebraica y general que si $x$ es el medio proporcional entre dos números positivos cualesquiera $a$ y $b$, entonces el medio proporcional entre $k \cdot a$ y $k \cdot b$ (siendo $k > 0$) es exactamente igual a $k \cdot x$.