Ejercicios: Proporcionalidad inversa

Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa:

1. a) El número de amigos que se juntan para comprar un regalo de $\$60$ y la cantidad de dinero que debe poner cada uno.
2. b) El tiempo que dejas cargando un celular y el porcentaje de batería que recupera.
3. c) La velocidad a la que camina un excursionista y el tiempo que tarda en recorrer una ruta de $10 \text{ km}$.
4. d) El número de páginas de un libro y el peso total del mismo.

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Calcula primero la constante de proporcionalidad inversa $k$.

Un grupo de $4$ estudiantes de 3º de ESO ha decidido limpiar un tramo de playa después de un festival de música. Calculan que tardarán $6$ horas en dejarlo todo impecable. Si finalmente se unen otros $4$ amigos más (siendo $8$ en total), ¿cuánto tiempo tardarán en terminar la limpieza si todos trabajan al mismo ritmo?

Para el viaje de fin de curso, los alumnos alquilaron un ómnibus. Si van $40$ alumnos, cada uno debe pagar $\$15$. A última hora, $10$ alumnos se enferman y no pueden ir. ¿Cuánto deberá pagar cada uno de los alumnos restantes para cubrir el costo total del ómnibus?

Un ganadero tiene forraje almacenado para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si decide vender $5$ de sus vacas para reducir gastos, ¿durante cuántos días podrá alimentar a las vacas que le quedan con la misma cantidad de forraje?

Tres llaves de agua iguales tardan $10$ horas en llenar el tanque de agua de un complejo deportivo. Si queremos que el tanque se llene en solo $6$ horas para poder abrir las instalaciones antes, ¿cuántas llaves iguales a las anteriores necesitaremos tener abiertas en total?

Un ciclista que avanza a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$ tarda $45$ minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. Si aumentara su velocidad hasta los $30 \text{ km/h}$, ¿cuántos minutos tardaría en realizar el mismo recorrido?

En una pequeña imprenta, $2$ máquinas trabajando a pleno rendimiento tardan $40$ minutos en imprimir los folletos de una fiesta local. Si una de las máquinas se avería y solo puede trabajar una, ¿cuánto tiempo (en minutos y horas) tardará en completar el mismo trabajo? ¿Y si tuvieran $4$ máquinas iguales funcionando?

Marcos está planificando un viaje en carro de $360\text{ km}$ entre Madrid y Zaragoza. Sabe que manejando a una velocidad media reglamentaria de $120\text{ km/h}$ tarda exactamente $3$ horas. Para consumir menos combustible, decide viajar a una velocidad media de $90\text{ km/h}$ y escribe el siguiente planteamiento en su libreta para calcular el tiempo $t$ que tardará:

Concluye convencido de que tardará $2$ horas y $15$ minutos.

1. a) Sin realizar cálculos adicionales, razona por qué el resultado obtenido por Marcos contradice el sentido común y explica qué error conceptual ha cometido respecto a la relación de proporcionalidad entre la velocidad y el tiempo.
2. b) Corrige el ejercicio: halla la constante de proporcionalidad inversa $k$, indica qué magnitud física representa en este contexto y calcula cuánto tiempo tardará realmente Marcos a $90\text{ km/h}$ (expresa el resultado final en horas enteras).

Un grupo de $4$ amigos alquila una casa de campo en la Sierra del Escambray para pasar un fin de semana. El precio total del alquiler es fijo y han acordado repartirlo a partes iguales, correspondiendo exactamente $75$ dólares a cada uno. Justo antes de hacer la reserva definitiva, se unen $2$ amigos más al viaje, de manera que el grupo final pasa a ser de $6$ personas.

1. a) Antes de calcular el precio exacto, realiza una estimación razonada: ¿el precio que pagará cada uno estará entre $37,50$ dólares y $75$ dólares, o bien será menor de $37,50$ dólares? Justifícalo analizando qué habría ocurrido si el número de amigos inicial se hubiera duplicado.
2. b) Comprueba tu estimación calculando la constante de proporcionalidad inversa $k$ (el precio total del alojamiento) y el costo exacto por persona para las $6$ personas. ¿Coincide el resultado con tu predicción previa?

Un grupo de estudiantes de 3.º de ESO está organizando una cena de fin de curso. El restaurante les ha dado un presupuesto fijo por el alquiler del salón y el menú especial, que se repartirá a partes iguales entre todos los asistentes.

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla para analizar cómo varía el precio por persona dependiendo de cuántos alumnos se apunten finalmente:

Calcula la constante de proporcionalidad inversa $k'$ y explica qué significado tiene en este contexto.

Para completar un desafío de una aplicación de entrenamiento, Lucía debe recorrer una distancia de $12$ km con su patineta eléctrica. Si mantiene una velocidad constante de $15$ km/h, tarda exactamente $48$ minutos.

Si al día siguiente decide ir más tranquila a una velocidad de $10$ km/h para ahorrar batería, ¿cuántos minutos tardará en completar el mismo recorrido? ¿Y si quisiera tardar solo media hora, a qué velocidad debería ir?

Una protectora de animales ha recibido una donación de sacos de pienso. Con los $45$ perros que tienen actualmente en el refugio, hay comida suficiente para $20$ días.

Sin embargo, tras una campaña de rescate, el número de perros aumenta hasta los $60$. ¿Cuántos días durará ahora la misma cantidad de pienso? Si quisieran que la comida durase $25$ días, ¿cuál es el número máximo de perros que podrían mantener en el refugio?

Tres llaves iguales tardan $10$ horas en llenar un tanque de agua destinado al riego de un huerto escolar. Se quiere reducir el tiempo de llenado para que el agua esté lista antes de que empiecen las clases.

¿Cuántas llaves del mismo tipo habría que añadir para que el tanque se llene en solo $6$ horas? Expresa el resultado en número de llaves adicionales.

En un concurso de diseño de videojuegos, el jurado reparte un premio de $2800$ dólares de forma inversamente proporcional al número de errores detectados en la fase de testeo.

El equipo "Pixel" tuvo $2$ errores, el equipo "Voxel" tuvo $4$ errores y el equipo "Sprite" tuvo $5$ errores. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada equipo?

Un equipo de $8$ operarios de una empresa de eventos tarda $12$ horas en montar todo el escenario y la iluminación para un festival de música, trabajando a un ritmo constante.

Si el festival adelanta su apertura y solo disponen de $6$ horas para el montaje, ¿cuántos operarios deberían trabajar en total? Si finalmente cuentan con $16$ operarios, ¿en cuánto tiempo terminarían el trabajo?

Para envasar una partida de aceite de oliva ecológico, se han utilizado $400$ botellas de $0,75$ litros cada una. Por motivos de marketing, la cooperativa decide cambiar el formato de las botellas a envases de un tercio de litro ($1/3$ de litro).

¿Cuántas botellas de este nuevo tamaño se necesitarán para envasar la misma cantidad de aceite? Si disponemos de $1200$ botellas de medio litro ($0,5$ litros), ¿podremos envasar toda la partida?

Cinco impresoras 3D de última generación tardan $4$ horas en imprimir las piezas de $20$ maquetas de robots escolares.

Calcula cuántas impresoras de las mismas características se necesitarían para fabricar esas mismas $20$ maquetas en tan solo $100$ minutos. (Ten cuidado con las unidades de tiempo antes de realizar los cálculos).

En una almazara de Jaén durante la campaña de recogida de aceituna, una cuadrilla de $8$ jornaleros equipados con vareadoras mecánicas tarda $15$ horas de trabajo continuo en recolectar y llenar un remolque especial de gran capacidad.

1. a) Modela la situación: define las dos variables que intervienen, escribe la fórmula de la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{k}{x}$ que las relaciona e interpreta qué significado físico concreto tiene la constante $k$ en este contexto de trabajo agrícola.
2. b) Para evitar que la aceituna pierda propiedades organolépticas, la almazara exige que el remolque se llene en un plazo máximo de $6$ horas. Suponiendo que todos los trabajadores rinden al mismo ritmo, ¿cuántos jornaleros como mínimo deberán trabajar simultáneamente para lograrlo?
3. c) Desde el punto de vista matemático y físico, explica por qué la gráfica de esta función (una hipérbola) nunca puede cortar al eje de ordenadas ($x = 0$) ni al eje de abscisas ($y = 0$).

Una función de proporcionalidad inversa tiene por expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$ (con $x > 0$). Su gráfica pasa por un punto desconocido $(a, b)$. Se comprueba que si a la variable independiente se le suman $6$ unidades (es decir, pasa a valer $a + 6$), el valor de la variable dependiente se reduce a la cuarta parte de su valor original, transformándose en $\frac{b}{4}$. Además, se conoce el dato adicional de que para $x = 8$, el valor de la función es $y = 4,5$.

1. a) Plantea una ecuación igualando los productos cruzados de las dos situaciones que involucran a la constante $k$ para deducir el valor exacto de $a$.
2. b) A partir del valor de $a$ y del dato adicional, calcula la constante $k$, escribe la fórmula definitiva de la función y da las coordenadas exactas del punto $(a, b)$.
3. c) Inventa una situación cotidiana verosímil (indicando magnitudes y unidades de medida) que quede descrita con exactitud por la fórmula que has obtenido.

Una empresa de logística utiliza drones para repartir paquetes en una zona residencial. Se ha comprobado que $12$ drones, trabajando $8$ horas al día, tardan $6$ días en entregar todos los pedidos de una semana. Debido a una actualización del software, la eficiencia de cada dron aumenta un $20\%$. Si la empresa decide reducir la jornada de los drones a solo $5$ horas diarias y el volumen de pedidos ha aumentado de modo que ahora hay un $25\%$ más de paquetes, ¿cuántos drones se necesitarán para completar el reparto en solo $4$ días?

El sistema de transmisión de una bicicleta de competición consta de un plato (conectado a los pedales) y un piñón (conectado a la rueda trasera). Cuando el ciclista usa un plato de $52$ dientes y un piñón de $13$ dientes, por cada pedalada completa, la rueda trasera da $4$ vueltas. Si el ciclista cambia a un piñón de $26$ dientes para subir una pendiente, ¿cuántas vueltas dará la rueda trasera por cada pedalada? Si en la cima cambia el plato a uno de $34$ dientes manteniendo el piñón de $26$, calcula la nueva relación de transmisión (vueltas de rueda por pedalada). Razona por qué la relación entre el número de dientes y las vueltas es inversamente proporcional.

El gobierno municipal contrata a una brigada de $15$ operarios para construir un "skatepark" en $20$ días, trabajando $6$ horas diarias. Tras $8$ días de trabajo, el gobierno municipal solicita que la obra esté terminada $4$ días antes de lo previsto para que coincida con los festejos locales. En ese mismo momento, $3$ operarios causan baja. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar los operarios restantes para cumplir con el nuevo plazo de entrega?

Un grupo de biólogos marinos estudia la relación entre la presión y el volumen de un gas en el interior de un dispositivo de muestreo (Ley de Boyle). A nivel del mar ($1$ atm de presión), el gas ocupa un volumen de $24$ litros. Al sumergirse a una profundidad determinada, la presión aumenta a $3,2$ atm. ¿Cuál será el nuevo volumen del gas? Si el dispositivo solo soporta una compresión máxima que deje el volumen en $5$ litros, ¿cuál es la presión máxima que puede soportar antes de romperse?

Para renderizar (procesar) una película de animación de $90$ minutos, un estudio utiliza una "granja" de $40$ servidores trabajando a pleno rendimiento durante $12$ días. El estudio quiere lanzar un nuevo cortometraje de solo $15$ minutos, pero necesita que el renderizado esté listo en tan solo $2$ días. Sin embargo, los nuevos servidores que han comprado son un $50\%$ más potentes que los antiguos. ¿Cuántos servidores de los nuevos serán necesarios para renderizar el cortometraje a tiempo?

Un refugio de animales tiene reservas de pienso para alimentar a sus $80$ perros durante $45$ días, dándoles $3$ raciones diarias de $200$ g cada una. Tras $10$ días, llegan $20$ perros más rescatados de una inundación. Además, el veterinario recomienda aumentar la cantidad de cada ración a $250$ g pero reduciendo el número de raciones a $2$ diarias para mejorar la digestión. ¿Cuántos días durará el pienso restante para todos los perros con las nuevas condiciones?

En un laboratorio de física se está probando un motor magnético. Se sabe que la velocidad de rotación ($V$) es inversamente proporcional al peso de la carga ($P$) y directamente proporcional al voltaje aplicado ($U$). Con un voltaje de $120$ V y una carga de $10$ kg, el motor gira a $2.400$ rpm. Si mantenemos el motor girando a $2.400$ rpm pero aumentamos la carga a $15$ kg, ¿cuál debe ser el nuevo voltaje? Si finalmente bajamos el voltaje a $80$ V con esa carga de $15$ kg, ¿a qué velocidad girará el motor?

Durante la campaña de prevención de incendios forestales en la Sierra del Rosario (Pinar del Río), una brigada compuesta por $6$ bomberos forestales consume una reserva de agua de $18\,000\text{ litros}$ en $10$ días durante sus labores de vigilancia y desbroce. El centro de mando necesita calcular cuántos días durará un nuevo depósito de $25\,200\text{ litros}$ si el equipo se amplía a $7$ bomberos, asumiendo que el consumo diario por bombero no varía.

Dos técnicos de emergencias proponen estrategias distintas:

• Método 1 (Reducción a la unidad): Calcular cuántos litros consume un solo bombero en un solo día, y a partir de esa tasa calcular los días que durará la nueva reserva para los $7$ bomberos.

• Método 2 (Proporcionalidad compuesta): Identificar la relación (directa o inversa) de cada magnitud con el número de días y plantear la ecuación de fracciones correspondiente.

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos paso a paso y comprueba que se obtiene exactamente el mismo resultado.
2. b) Analiza críticamente los dos procedimientos: ¿cuál de los métodos ofrece una mayor comprensión del significado físico de cada paso intermedio y cuál resultaría computacionalmente más ágil si tuvieras que programar una hoja de cálculo para evaluar $20$ escenarios con diferentes brigadas y depósitos? Justifica tu respuesta.

La Empresa Provincial de Ómnibus de una ciudad cubana gestiona una ruta circular de ómnibus urbano cuyo recorrido total mide $18\text{ km}$. Durante el horario valle, los ómnibus circulan a una velocidad media constante de $15\text{ km/h}$ (incluyendo paradas e intercambios de pasajeros). La frecuencia de paso o intervalo de espera entre ómnibus consecutivos en una parada ($y$, en minutos) depende exclusivamente del número de vehículos asignados a la ruta ($x$).

1. a) Demuestra que el tiempo que tarda un ómnibus en dar una vuelta completa al recorrido es de $72$ minutos y deduce la expresión de la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{k}{x}$ que determina la frecuencia $y$ (en minutos) en función del número de ómnibus $x$.
2. b) En hora pico, la congestión del tráfico reduce la velocidad comercial de la ruta a $12\text{ km/h}$. El Gobierno Provincial fija por contrato que la frecuencia máxima entre ómnibus no debe superar los $6$ minutos ($y \le 6$). Si en horario valle la ruta operaba con una frecuencia de $12$ minutos, ¿cuántos ómnibus adicionales es necesario incorporar al servicio durante la hora pico para cumplir la exigencia municipal?
3. c) Si la Empresa pretendiera reducir el tiempo de espera entre ómnibus exactamente a $0$ minutos ($y = 0$), ¿qué respuesta arroja el modelo matemático? Explica por qué, en una vía urbana real, este modelo de proporcionalidad inversa colapsa cuando el valor de $x$ se hace excesivamente grande.