Ejercicios: Proporcionalidad directa

Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:

1. a) El número de seguidores de un "influencer" y los "likes" que recibe en su última foto.
2. b) La cantidad de kilos de manzanas que compras y el precio total a pagar.
3. c) La edad de una persona y su altura en centímetros.
4. d) El tiempo que dejas el celular cargando y el porcentaje de batería que recupera (suponiendo que carga de forma constante).

Un grupo de amigos quiere ir al cine. Sabemos que $3$ entradas han costado $22,50$ dólares. Completa la siguiente tabla y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por entrada):

Para preparar un batido de frutas para $4$ personas, se necesitan $600$ ml de leche. Si el próximo sábado vas a invitar a $10$ amigos a casa, ¿cuánta leche necesitarás comprar para que todos tengan su batido? Resuelve utilizando una regla de tres simple directa.

Un carro a control remoto recorre $12$ metros en apenas $8$ segundos manteniendo una velocidad constante. Si sigue moviéndose de la misma forma:

1. a) ¿Qué distancia recorrerá en un minuto ($60$ segundos)?
2. b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una pista de $30$ metros?

Tu celular tiene una capacidad total de almacenamiento de $128$ GB. Si el sistema operativo y las aplicaciones instaladas ya ocupan el $25\%$ del espacio, ¿cuántos gigabytes están ocupados actualmente?

Has visto un suéter que te encanta en una tienda en línea. Su precio original es de $45$ dólares, pero hoy tiene un descuento del $15\%$. ¿Cuántos dólares te ahorras gracias a la rebaja? (No es necesario calcular el precio final).

Una impresora 3D tarda $45$ minutos en fabricar una pieza que pesa $60$ gramos. Si queremos imprimir una figura del mismo material que pesa $100$ gramos, ¿cuánto tiempo tardará la impresora? Expresa el resultado en horas y minutos.

Marcos acompaña a su abuela a una frutería del mercado de su barrio en La Habana. Ven un cartel que indica que una malla de $3\text{ kg}$ de naranjas cuesta $\$4,20$. Marcos quiere calcular cuánto costará una malla de $5\text{ kg}$ de la misma variedad y realiza en su teléfono la operación $3 : 4,20 \approx 0,71$. A continuación, le dice a su abuela: «El kilo sale a $\$0,71$, así que la malla de $5\text{ kg}$ nos costará $5 \cdot 0,71 = \$3,55$».

1. a) Explica de forma razonada por qué el resultado final de Marcos es a todas luces absurdo sin necesidad de hacer operaciones complejas.
2. b) Identifica el error conceptual que cometió Marcos al calcular la constante de proporcionalidad directa. ¿Qué magnitud representa realmente el número $0,71$ que obtuvo y cuáles son sus unidades de medida?
3. c) Corrige el procedimiento: calcula la constante de proporcionalidad adecuada (precio por kilogramo), escribe la fórmula de la función de proporcionalidad directa $y = k \cdot x$ y determina el precio exacto que pagarán por la malla de $5\text{ kg}$.

En una estación meteorológica de la AEMET situada en Grazalema (Cádiz), un pluviómetro digital registra una precipitación constante durante un temporal de otoño. El aparato marca que han caído exactamente $18\text{ litros por metro cuadrado}$ ($18\text{ mm}$) en un periodo continuado de $40\text{ minutos}$.

1. a) Antes de realizar cualquier operación matemática exacta en papel, estima mentalmente cuántos litros por metro cuadrado se habrán recogido si el temporal continúa con la misma intensidad constante durante un total de $2\text{ horas y }15\text{ minutos}$. Explica por escrito qué aproximaciones o deducciones rápidas has utilizado para obtener tu estimación previa.
2. b) Comprueba tu estimación calculando el valor exacto mediante proporcionalidad directa: halla la constante de proporcionalidad (en litros por metro cuadrado y minuto) y obtén la cantidad final acumulada para los $135\text{ minutos}$.
3. c) Compara tu estimación del apartado a) con el resultado exacto del apartado b) y valora si tu aproximación inicial era razonable, explicando por qué esta comprobación es útil en situaciones reales.

Un creador de contenido en una plataforma de video recibe ingresos directamente proporcionales al número de visualizaciones de sus videos. Por cada $1250$ visualizaciones, el sistema le genera un beneficio de $3,75$ dólares. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala calculando la razón de proporcionalidad $k$:

La batería de una patineta eléctrica se consume de forma proporcional a la distancia recorrida. Si para realizar un trayecto de $4,5$ km se ha gastado un $12 \%$ de la capacidad total de la batería, calcula mediante reducción a la unidad cuánta batería se consumirá en un recorrido de $15$ km por el mismo tipo de terreno.

Para organizar una convivencia escolar, se ha decidido preparar una receta de limonada casera. La receta original indica que para $6$ personas se necesitan $1,5$ litros de agua y $450$ g de azúcar. Si finalmente se han apuntado $42$ personas, ¿cuántos litros de agua y cuántos kilos de azúcar se deben comprar para mantener la proporción exacta?

Tres amigos, Alba, Bruno y Carla, han comprado juntos un pack de $50$ sobres de cartas coleccionables que costaba $75$ dólares. Alba aportó $15$ dólares, Bruno $27$ dólares y Carla el resto. Si deciden repartir los sobres de forma directamente proporcional al dinero que puso cada uno, ¿cuántos sobres le corresponden a cada uno?

Un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama está dibujado a una escala $1:25000$. Un grupo de estudiantes planea una ruta que en el mapa mide $14,4$ cm.

1. ¿Cuántos kilómetros reales recorrerán en total?

2. Si caminan a una velocidad constante y tardan $45$ minutos en recorrer los primeros $3$ km, ¿cuánto tiempo total les llevará completar la ruta?

Un centro de reciclaje paga a los usuarios por el peso del plástico entregado. El lunes, un colegio entregó $120$ kg y recibió $18$ dólares. El martes, otro colegio entregó una cantidad desconocida y recibió $24,75$ dólares.

1. ¿Cuál es el precio por kilo de plástico reciclado?

2. ¿Cuántos kilos entregó el segundo colegio?

A la misma hora del día, la sombra de una señal de tráfico de $2,2$ metros de altura mide $1,4$ metros. Si justo al lado hay una torre de alta tensión cuya sombra mide $10,5$ metros, ¿qué altura tiene la torre? Realiza un dibujo esquemático de la situación antes de resolver el problema.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una empresa de fabricación de componentes para smartphones utiliza una máquina que produce $150$ microchips cada $20$ minutos.

1. ¿Cuántos microchips producirá en una jornada laboral de $8$ horas sin detenerse?

2. Si por un fallo técnico la máquina reduce su velocidad de producción a la mitad, ¿cuántas horas tardará en fabricar un pedido urgente de $2250$ microchips?

Laura es la responsable de cocina de una escuela con comedor escolar. Sabe por los registros oficiales que para atender a $180$ comensales diarios se cocinan exactamente $27\text{ kg}$ de arroz. La próxima semana se celebran unas jornadas de orientación y el número de comensales variará: el martes comerán $210$ alumnos; el jueves, $195$; y el viernes, $240$.

Para calcular la cantidad de arroz necesaria para cada uno de esos tres días, Laura duda entre dos estrategias:

• Método 1 (Regla de tres): Plantear tres reglas de tres directas independientes mediante productos cruzados, una para cada día.

• Método 2 (Reducción a la unidad): Calcular primero la constante de proporcionalidad directa (la ración de arroz por comensal) y luego aplicarla a los comensales de cada día.

1. a) Aplica ambos métodos para calcular los kilos de arroz del martes ($210$ comensales) y comprueba que ambos procedimientos conducen al mismo resultado.
2. b) Emplea el Método 2 para calcular los kilos necesarios para el jueves ($195$ comensales) y el viernes ($240$ comensales).
3. c) Justifica de manera argumentada cuál de los dos métodos resulta más ventajoso y eficiente en este caso particular. ¿Cambiaría tu recomendación si Laura únicamente tuviera que calcular la comida para un solo día aislado? Razona tu respuesta.

Un poste de recarga de la red pública municipal suministra energía eléctrica a una potencia neta constante de $22\text{ kW}$ (es decir, transfiere exactamente $22\text{ kWh}$ por cada hora completa de conexión continua). Un usuario conecta su carro eléctrico, cuya batería tiene una capacidad total de $50\text{ kWh}$, en el momento en que la batería se encuentra al $10\,\%$ de su carga. La tarifa municipal fija un precio de $\$0,38$ por cada $\text{kWh}$ recargado.

1. a) Calcula cuántos $\text{kWh}$ de energía necesita recibir el vehículo para alcanzar el $80\,\%$ de su capacidad (nivel recomendado habitualmente por los fabricantes para alargar la vida de las baterías).
2. b) Modela la relación entre el tiempo transcurrido $t$ (en horas) y la energía transferida $E$ (en $\text{kWh}$) mediante una función de proporcionalidad directa. ¿Cuánto tiempo exacto (expresado en horas, minutos y segundos) debe permanecer el carro enchufado para alcanzar dicho $80\,\%$?
3. c) Modela la función que expresa el costo económico total $C$ (en dólares) en función del tiempo de carga $t$ (en horas). Halla la constante de proporcionalidad directa de esta relación, indica sus unidades e interpreta qué significa en la práctica. ¿Cuánto pagará el usuario en total por dicha recarga?

Un estudio de arquitectura está diseñando una maqueta de un rascacielos utilizando una impresora 3D de alta precisión. Han comprobado que para imprimir una sección de la estructura que tiene un volumen de $450\text{ cm}^3$ se necesitan $12,5\text{ metros}$ de filamento plástico y la impresora tarda $3\text{ horas y }45\text{ minutos}$. Si el rascacielos completo en la maqueta requiere un volumen total de plástico de $2,16\text{ dm}^3$:

1. a) ¿Cuántos carretes de filamento de $50\text{ metros}$ deberán comprar como mínimo para completar la maqueta?
2. b) Si la impresora trabaja sin interrupciones, ¿cuántos días y horas tardará en terminar el trabajo?

Un servidor de streaming de video ajusta el tamaño de sus archivos de forma proporcional a la duración y a la resolución (número total de píxeles). Un video de $10\text{ minutos}$ a una resolución de $1280 \times 720$ píxeles ocupa $450\text{ MB}$.

Calcula cuánto ocupará una película de $1\text{ hora y }45\text{ minutos}$ si se sube con una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles, sabiendo que la relación entre el peso y el total de píxeles es directamente proporcional. Expresa el resultado en Gigabytes ($1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$).

En un mapa estelar, la distancia entre dos estrellas es de $18\text{ cm}$. Se sabe que este mapa representa una escala donde $1\text{ cm}$ equivale a $4,5$ años luz. Si una nave espacial viaja a una velocidad constante y tarda $240\text{ años}$ en recorrer $0,8$ años luz:

1. a) ¿A qué distancia real en años luz están las dos estrellas?
2. b) ¿Cuántos siglos tardaría la nave en viajar de una estrella a otra? (Considera que la relación entre tiempo y distancia recorrida es directamente proporcional).

Una planta desalinizadora produce agua potable de forma proporcional al tiempo de funcionamiento de sus turbinas. Durante un periodo de $8\text{ horas}$, la planta produce agua suficiente para abastecer a una población de $3.500\text{ personas}$, consumiendo $1.400\text{ kWh}$ de energía.

Debido a una ola de calor, el consumo de agua por persona aumenta un $25\%$. Si la planta ahora debe abastecer a una población de $5.000\text{ personas}$ en estas nuevas condiciones, ¿durante cuántas horas deberá funcionar y cuál será el consumo energético total previsto? (Supón que el consumo de energía es también directamente proporcional al tiempo de funcionamiento).

En el laboratorio de Física de 3.º de ESO se analizan dos muelles elásticos, $A$ y $B$, que verifican la ley de Hooke: la fuerza aplicada $F$ (en Newtons, $\text{N}$) es directamente proporcional al alargamiento experimentado $x$ (en centímetros, $\text{cm}$), cumpliendo $F = k \cdot x$.

El alumnado encuentra una ficha de laboratorio antigua en la que se han borrado varios datos, pero conserva intactas tres anotaciones:

1. Al someter el muelle $A$ a una fuerza de $10\text{ N}$, su alargamiento registrado es de $8\text{ cm}$.

2. Bajo una misma fuerza desconocida $F_1$, el muelle $A$ se alarga exactamente $3\text{ cm}$ más que el muelle $B$.

3. Si se duplica esa fuerza desconocida (aplicando $2 \cdot F_1$), el alargamiento total que experimenta el muelle $B$ es igual al alargamiento que tenía el muelle $A$ bajo la fuerza original $F_1$.

1. a) Calcula la constante elástica de proporcionalidad $k_A$ del muelle $A$ e interpreta su significado físico indicando sus unidades.
2. b) A partir exclusivamente de las propiedades teóricas de la proporcionalidad directa y de las condiciones 2 y 3, deduce la constante de proporcionalidad elástica $k_B$ del muelle $B$ sin calcular previamente el valor numérico de la fuerza $F_1$.
3. c) Reconstruye los datos perdidos del ensayo: halla el valor numérico exacto de la fuerza $F_1$ (en $\text{N}$) y los alargamientos que tuvieron ambos muelles bajo esa fuerza.

La Empresa Provincial de Ómnibus (la empresa de transporte urbano) monitorea el consumo energético de sus ómnibus eléctricos urbanos. En condiciones normales de circulación, el consumo de energía es directamente proporcional a la distancia recorrida, con una constante de proporcionalidad de $1,20\text{ kWh/km}$. Sin embargo, durante los meses de verano, el uso ininterrumpido del sistema de climatización incrementa el consumo por kilómetro en un $25\,\%$.

1. a) Escribe la ecuación de proporcionalidad directa $E = k \cdot d$ que relaciona la energía consumida $E$ (en $\text{kWh}$) con la distancia recorrida $d$ (en $\text{km}$) en cada uno de los dos escenarios: régimen estándar ($k_1$) y régimen de verano ($k_2$).
2. b) Un ómnibus inicia su jornada con la batería completamente cargada ($320\text{ kWh}$). Por normativa de seguridad, la central exige que el vehículo regrese a la base antes de que la batería descienda al $15\,\%$ de su capacidad. Calcula la autonomía máxima (en kilómetros) que puede recorrer el ómnibus en régimen de verano antes de tener que retirarse a la base.
3. c) Durante una jornada especial de pruebas, un ómnibus realiza un trayecto total de $180\text{ km}$: los primeros $120\text{ km}$ con la climatización encendida a tope y los últimos $60\text{ km}$ en modo estándar. Calcula la constante de proporcionalidad global del día (el consumo medio real por kilómetro). Un informe técnico provisional proponía calcular dicha constante haciendo la media aritmética simple de $k_1$ y $k_2$: $\frac{1,20 + 1,50}{2} = 1,35\text{ kWh/km}$. Justifica rigurosamente por qué esa media simple es conceptualmente errónea y cómo interviene la ponderación de las distancias en el cálculo correcto.